一轮复习大题专练20—解三角形（周长问题）-2022届高三数学一轮复习.doc

1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 20解三角形（周长问题）解三角形（周长问题） 1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知 222 sinsinsinsinsinBACAC （1）求B； （2）若3b ，当ABC的周长最大时，求它的面积 解： （1）因为 222 sinsinsinsinsinBACAC， 所以 222 bacac，可得 222 acbac ， 由余弦定理可得 222 1 cos 222 acbac B acac ， 因为(0, )B， 所以 2 3 B （2）因为 2 3 B ，3b ， 所以由余弦定理知， 2222222 3 92cos()()()() 24 ac

2、 bacacBacacacac ， 当且仅当3ac时，等号成立， 所以2 3ac ，即ABC的周长最大值为32 3，此时3ac ， 所以ABC的面积 1133 3 sin3 2224 SacB 2在ABC中，已知3a ，2bc （1）若 2 3 A ，求 ABC S （2）若2sinsin1BC，求 ABC C 解： （1）由余弦定理得 2222 2 159 cos 224 bcac A bcc ， 解得 2 9 7 c ， 2 139 3 sin2 2414 ABC SbcAc ； （2）2bc，由正弦定理得sin2sinBC，又2sinsin1BC， 1 sin 3 C， 2 sin 3

3、B ，sinsinCB，CB，C为锐角， 2 12 2 cos1( ) 33 C 由余弦定理得： 222 2coscababC，又3a ，2bc， 22 948 2ccc，得： 2 38 290cc，解得： 4 25 3 c 当 4 25 3 c 时， 8 22 5 3 b ，34 25 ABC C； 当 4 25 3 c 时， 8 22 5 3 b ，34 25 ABC C 3 已知在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 满足 51 sin()sin() 664 AA （1）求角A的大小； （2）若ABC为锐角三角形，1a ，求ABC周长的取值范围 解： （1）因为 51 sin

4、()sin() 664 AA ， 所以 31311 (sincos)(sincos) 22224 AAAA ，即 22 3311 sincossincos 2444 AAAA ， 所以 3311 sin2(1cos2 )(1cos2 ) 4884 AAA ，整理可得 311 sin2cos2 444 AA， 所以可得 1 sin(2) 62 A ， 因为(0, )A，可得2( 66 A ， 13 ) 6 ， 所以 5 2 66 A ，可得 3 A （2）由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，且1a ， 3 A ， 所以 2 3 sin 3 bB， 2 3 sin 3 cC； 所以

5、2 32 32 1(sinsin)1sinsin(? )12sin() 3336 abcBCBBB 因为ABC为锐角三角形， 所以得 0 2 2 0 32 B B ， 解得 62 B 所以12sin()(13 6 B ，3； 即ABC周长的取值范围是(13，3 4在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，S为ABC的面积，且 230SAB AC （1）求A的大小； （2）若7a 、1b ，D为直线BC上一点，且ADAB，求ABD的周长 解： （1） 230SAB AC ， 1 2sin3cos0 2 b cAb cA ， 又0b c，sin3cos0AA，即tan3A ， 又(0, )A

6、， 2 3 A ； （2）在ABC中，由余弦定理得： 222 2cosabcbcA， 又7a 、1b ， 2 3 A ， 2 60cc，又0c ，2c ， 在ABC中，由正弦定理得 21 sin 14 B ， 又ab，B为锐角， 2 5 7 cos1sin 14 BB， 在Rt ABD中，cos AB B BD ， 4 7 5 BD ， 4 7212 3 sin 5145 ADBDB， ABD的周长为 2 35 7102 34 7 2 5145 5已知函数 2 ( )sin()sin()2cos 662 x f xxx ，xR （1）求函数( )f x的值域； （2）在ABC中，a，b，c分别

7、为内角A，B，C的对边，若2a 且f（A）0，ABC 的面积为3，求ABC的周长 解： （1） 2 3131 ( )sincossincos2cos 22222 x f xxxxx 3sincos12sin()1 6 xxx ， 当2sin()1 6 x 时，( )f x取得最小值3， 当2sin()1 6 x 时，( )f x取得最大值 1， 即函数( )f x的值域是 3，1 （2）由f（A）2sin()10 6 A 得 1 sin() 62 A ， 0A， 5 666 A ， 则 66 A ，得 3 A ， ABC的面积为3，2a ， 13 sin3 234 bcbc ，则4bc ， 又

8、 2222 2cos()2 3 abcbcbcbcbc ， 即 2 4()12bc， 得 2 ()16bc， 即4bc， 则周长426abc 6 在ABC中 ， 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 已 知 ( 3sin)sin(1coscos)bcACcAC （）求B的值； （）在 9 3 4 ABC S， 4 A ，2ac这三个条件中任选一个，补充在下列问题中， 并解决问题若3b ，_，求ABC的周长 解： （）因为( 3sin)sin(1coscos)bcACcAC， 可得3 sincos()0bCcACc，即sin( 3sincos)sinCBBC， 因为(0, )C，sin

9、0C ， 所以3sincos2sin()1 6 BBB ，即 1 sin() 62 B ， 因为0B， 5 666 B ， 所以 66 B ，可得 3 B （）若选择条件， 因为 9 31 sin 423 ABC Sac ， 所以9ac ， 由余弦定理可得 22 91 cos 322 ac ac ，所以 22 18ac，可得 2 ()36ac，又0ac， 解得6ac， 因此ABC的周长为9abc 若选择条件 4 A ， 在ABC中，由正弦定理可得 3 2 3 sinsinsin sin 3 abc ABC ， 所以2 3sin6 4 a ， 3 26 2 3sin() 342 c ， 所以AB

10、C的周长为 3 263 23 66 63 22 abc 若选择条件2ac，由余弦定理可得 22 91 cos 322 ac ac ， 所以 222 492ccc，即 2 3c ，解得3c ，2 3a ， 因此ABC的周长为33 3abc 7如图，在四边形ABCD中，3 3CD ，7BC ， 7 cos 14 CBD （1）求BDC； （2）若 3 A ，求ABD周长的最大值 解： （1）在BCD中， 7 cos 14 CBD ， 所以 22 73 21 sin11() 1414 CBDcosCBD ， 利用正弦定理得 sinsin CDBC CBDBDC ， 所以 3 21 7 sin1 14

11、 sin 23 3 BCCBD BDC CD ， 又因为CBD为钝角，所以BDC为锐角， 故 6 BDC ； （2）在BCD中，由余弦定理得 2222 7277 cos 2142 73 3 BCBDCDBD CBD BC BD ， 解得4BD 或5BD （舍去） ， 在ABD中， 3 A ，设ABx，ADy， 由余弦定理得 22222 161 cos 222 ABADBDxy A AB ADxy ，即 22 16xyxy， 整理得 2 ()163xyxy， 又0 x ，0y ， 利用基本不等式得 2 2 3() ()163 4 xy xyxy ，即 2 ()64xy，当且仅当4xy时，等 号成立， 所以xy的最大值为 8， 所以ABADBD的最大值为8412， 所以ABD周长的最大值为 12