一轮大题专练16—导数（讨论函数单调性）-2022届高三数学一轮复习.doc

1、一轮大题专练一轮大题专练 16导数（讨论函数单调性）导数（讨论函数单调性） 1已知 2 ( )(1) 2 x f xa xalnx，其中a为实数 （1）若1a ，求曲线( )f x在1x 处的切线方程； （2）讨论( )f x的单调性 解： （1）若1a ，则 2 ( )2(0) 2 x f xxlnx x， 1 ( )2fxx x ， 设曲线( )f x在1x 处的切线方程的斜率为k， 则 11 1 ( )|(2)|0 xx kfxx x ，又f（1） 13 2 22 ， 所以，( )f x在1x 处的切线方程为： 3 ()0 2 y ，即 3 2 y ； （2） 2 (1)(1)() (

2、)(1)(0) axaxaxxa fxxax xxx ， 当0a时，(0,1)x，( )0fx，(1,)x，( )0fx， 故( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增； 同理可得， 当01a时，( )f x在(0, )a，(1,)上单调递增，在( ,1)a上单调递减； 当1a 时，在(0,)上单调递增； 当1a 时，在(0,1)，( ,)a 上单调递增，在(1, )a上单调递减； 综上所述， 当0a时，( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增； 当01a时，( )f x在(0, )a，(1,)上单调递增，在( ,1)a上单调递减； 当1a 时，在(0,)上单调递

3、增； 当1a 时，在(0,1)，( ,)a 上单调递增，在(1, )a上单调递减 2已知函数 2 ( )(2)(1) 2 x a f xxex，讨论( )f x的单调性； 解：( )(1)(1)(1)() xx fxxea xxea， 设0a，则当(,1)x 时，( )0fx，当(1,)x时，( )0fx， 所以( )f x在(,1)单调递减，在(1,)上单调递增； 设0a ，由( )0fx得1x 或1xna 若ae，则( )(1)() x fxxee，所以( )f x在R单调递增， 若0ae，则1lna ， 当(x ，)(1lna，)时，( )0fx， 当(,1)xlna时，( )0fx，

4、所以( )f x在(,)lna，(1,)单调递增，在(,1)lna单调递减； 若ae，则1lna ， 当(x ，1)(lna，)时，( )0fx， 当(1,)xlna时，( )0fx， 所以( )f x在(,1)，(,)lna 单调递增，在(1,)lna单调递减； 综上：当0a，( )f x在(,1)单调递减，在(1,)上单调递增， 当0ae，( )f x在(,)lna，(1,)单调递增，在(,1)lna单调递减， 当ae，( )f x在R单调递增， 当ae，( )f x在(,1)，(,)lna 单调递增，在(1,)lna单调递减 3已知函数 2 ( )(1) x f xxaxe，aR （1）

5、若函数( )f x在1x 时取得极值，求a的值； （2）讨论函数( )f x的单调性 解： （1） 2 ( )(1) x f xxaxe， 2 ( )(2)1 x fxxa xae ， ( )f x在1x 处取得极值， 故f（1）(121)0aae，解得：2a ， 2a 时， 2 ( )(21) x f xxxe， 22 ( )(2122)(1) xx fxxxxexe ， 令( )0fx，解得：1x 或1x ， 令( )0fx，解得：11x ， 故( )f x在(, 1) 递增，在( 1,1)递减，在(1,)递增， 故1x 是函数的极大值点，2a 符合题意； （2）由（1）得 2 ( )(2

6、)1(1)(1) xx fxxa xaexxae， 令( )0fx，则1x 或1xa， 0a 时， 2 ( )(1)0 x fxxe， 此时( )f x在R上单调递增， 0a 时，11a ， 当( 1,1)xa 时，( )0fx， 当(x ，1)(1a，)时，( )0fx， 故( )f x在( 1,1)a递减，在(, 1) ，(1,)a 递增， 0a 时，11a ， 此时当(1, 1)xa时，( )0fx， 当(,1)xa ，( 1,) 时，( )0fx， ( )f x在(1,1)a 递减，在(,1)a，( 1,) 递增， 综上：0a 时，( )f x在(, 1) 递增，在( 1,1)a递减，

7、在(1,)a 递增， 0a 时，( )f x在R上单调递增， 0a 时，( )f x在(,1)a递增，在(1, 1)a 递减，在( 1,) 递增 4已知函数( )(21) ()f xalnxax aR （1）当 1 4 a 时，求( )f x在 1 e，1的最大值(e为自然对数的底数，2.71828)e ； （2）讨论函数( )f x的单调性； （3）若0a且 2 ( )f xx，求实数a的取值范围 解： （1）当 1 4 a 时， 11 ( )(0) 42 f xlnxx x， 则 1112 ( ) 424 x fx xx ， 当 11 2 x e 时，( )0fx，则( )f x单调递增，

8、 当 1 1 2 x 时，( )0fx，则( )fx单调递减， 故当 1 2 x 时，函数( )f x取得唯一的极大值，即最大值 11 ( )(21) 24 fln ， 所以( )f x在 1 e，1的最大值为 1 (21) 4 ln； （2）函数( )(21)f xalnxax的定义域为(0,)， 则 (21) ( )(21) aaxa fxa xx ， 当21 0a ，即 1 2 a时，(21)0aax， 此时函数( )yf x在(0,)上单调递增； 当210a ，即 1 2 a 时， ( ) i若 1 0 2 a，则0 12 a a ， 令( )0fx，可得 12 a x a ，令( )

9、0fx，可得0 12 a x a ， 此时函数( )yf x在(0,) 12 a a 上单调递增，在(1 2 a a ，)上单调递减； ( )ii若0a，则(21)0ax，则(21)0aax，故 (21) 0 aa x ， 则( )0fx对(0,)x恒成立， 此时函数( )yf x在(0,)上单调递减 综上所述，当若0a时，函数( )yf x在(0,)上单调递减； 当 1 0 2 a时，函数( )yf x在(0,) 12 a a 上单调递增，在(1 2 a a ，)上单调递减； 当 1 2 a时，函数( )yf x在(0,)上单调递增； （3） 2 ( )f xx等价于 2 (21)alnxa

10、x x，即 2 (21)0alnxaxx， 令 2 ( )(21)g xalnxaxx，则( ) 0g x ， 又 ()(21) ( )2(21) axax g xxa xx ， 当0a 时， 2 ( )0g xx 对任意的(0,)x恒成立，符合题意； 当0a 时，令( )0g x，可得xa或 1 2 x （舍)， 当0 xa，( )0g x，则( )g x单调递增， 当xa时，( )0g x，则( )g x单调递减， 所以当xa时，( )g x取得最大值g（a） 2 0alnaaa ， 因为0a ，所以1 0lnaa ， 令h（a）1lnaa，则函数h（a）在(0,)上单调递增， 又h（1）

11、0，故由1 0lnaa ，可得h（a）h（1） ，解得01a 综上所述，实数a的取值范围为0，1 5已知函数 2 ( )f xlnxaxx， 3 ( )1 2 x x g xlnxe （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若( )( )f xg x恒成立，求实数a的取值范围 解： （1） 2 ( )f xlnxaxx，定义域是(0,)， 2 121 ( )21 axx fxax xx ， 当0a 时， 1 ( ) x fx x ， (0,1)x 时，( )0fx，( )f x递增， (1,)x时，( )0fx，( )f x递减， 当0a 时，函数 2 21yaxx时，对称轴为 1 0 4

12、 x a ，0 x 时，1y ， 18a ，当0即 1 8 a时，函数 2 21 0yaxx 即( ) 0f x ，( )f x单调递增， 当0，即 1 0 8 a时，令 2 210axx ， 1 118 4 a x a ， 2 118 4 a x a ， 118 (0,) 4 a x a 时，( )0fx，( )f x单调递增， 118 ( 4 a x a ， 118 ) 4 a a 时，( )0fx，( )f x单调递减， 118 ( 4 a x a ，)时，( )0fx，( )f x单调递增， 当0a 时，180a ，函数 2 21yaxx，对称轴 1 0 4 x a ， 令 2 210

13、axx ，解得： 1 118 0 4 a x a ， 2 118 0 4 a x a （舍)， 118 (0,) 4 a x a 时，( )0fx，( )f x递增， 118 ( 4 a x a ，)时，( )0fx，( )f x递减， 综上， 1 8 a时，( )f x在(0,)递增， 1 0 8 a时，( )f x的单调递增区间是 118 (0,) 4 a a ， 118 ( 4 a a ，)，递减区间是 118 ( 4 a a ， 118 ) 4 a a ， 0a 时，( )f x的递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)， 0a 时，( )f x的递增区间是 118 (0,) 4 a

14、a ，递减区间是 118 ( 4 a a ，)； （2）( )( )f xg x即 23 1 1(0) 2 x lnxaxx lnxexx， 故 23 1 1 2 x axexx，而0 x ，则 3 2 1 1 2 x exx a x 恒成立， 3 2 1 1 2 () x max exx a x ，令 3 2 1 1 2 ( )(0) x exx F xx x ， 故 2 3 1 (2)(1) 2 ( ) x xexx F x x ， 令 2 1 ( )1(0) 2 x p xexxx，则( )1 x p xex，( )1 0 x pxe ， ( )p x单调递增，故( )(0)0p xp，

15、( )p x递增， 故( )(0)0p xp，即 2 1 10(0) 2 x exxx ， 则 2 3 1 (2)(1) 2 ( ) x xexx F x x ， 3 0 x ， 2 1 10 2 x exx ， 故(0,2)x时，( )0F x，( )F x递增， (2,)x时，( )0F x，( )F x递减， 故( )F x的最大值是F（2） 2 7 4 e ， 故a的取值范围是 2 7 4 e ，) 6已知函数 22 1 ( )(2)2() 2 f xxax lnxxax aR （）若0a ，求( )f x的最小值； （）求函数( )f x的单调区间 解： （）函数( )f x的定义域

16、为(0,) 若0a ，则 22 1 ( ) 2 f xx lnxx，( )2fxxlnx， 令( )0fx，得1x ， 随x的变化，( )fx，( )f x的变化情况如下表所示 x(0,1) 1 (1,) ( )fx 0 ( )f x 单调递减极小值f（1）单调递增 所以0a 时，( )f x的最小值为 1 (1) 2 f （6 分） （）因为( )2()(0)fxxa lnx x， 当0a时，0 xa， 令( )0fx，得0lnx ，所以1x ，( )f x在区间(1,)上单调递增， 令( )0fx，得0lnx ，所以01x，( )f x在区间(0,1)上单调递减 当01a时，令( )0fx

17、，得1x 或xa， 随x的变化，( )fx，( )f x的变化情况如下表所示 x(0, )aa( ,1)a 1 (1,) ( )fx 0 0 ( )f x 单调递增f（a）单调递减f（1）单调递增 所以( )f x在区间(0, )a上单调递增，在区间( ,1)a上单调递减，在区间(1,)上单调递增 当1a 时，因为( )2(1)0fxxlnx，当且仅当1x 时，( )0fx， 所以( )f x在区间(0,)上单调递增 当1a 时，令( )0fx，得1x 或xa， 随x的变化，( )fx，( )f x的变化情况如下表所示 x(0,1) 1 (1, )aa( ,)a ( )fx 0 0 ( )f

18、x 单调递增f（1）单调递减f（a）单调递增 所以( )f x在区间(0,1)上单调递增，在区间(1, )a上单调递减，在区间( ,)a 上单调递增 综上所述， 当0a时，( )f x的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(0,1)； 当01a时，( )f x的单调递增区间为(0, )a，(1,)，单调递减区间为( ,1)a； 当1a 时，( )f x的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间； 当1a 时，( )f x的单调递增区间为(0,1)，( ,)a ，单调递减区间为(1, )a （15 分） 7已知函数( )() () x f xexm ln xmx，2m （1）当1m 时，求函数在

19、0 x 处的切线方程； （2）证明：函数( )f x为单调递增函数 解： （1）函数( )f x的定义域为(,)m， 对函数( )f x求导可得( )() x fxeln xm， 1m 时，( )(1) (1) x f xexln xx，则( )(1) x fxeln x， 故(0)1f，(0)1f ， 故切线方程是：10yx ，即1yx； （2）证明：由第（1）问可得( )() x fxeln xm， 令( )(1) x g xex，则( )1 x g xe， 可知在(,0)上，( )0g x，在(0,)上，( )0g x， 即( )g x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增， 于是有

20、( )(1)(0)0 x g xexg，即1 x ex 恒成立， 构造函数( )(1)(2)h xxln x，则 1 ( )1 2 h x x ， 可知在( 2, 1)上，( )0h x，在( 1,) 上，( )0h x， 即( )h x在( 2, 1)上单调递减，在( 1,) 上单调递增， 于是有( )(1)(2)( 1)0h xxln xh，即(2)1ln xx恒成立， 当2m时，()(2)1ln xmln xx成立， 综上可得，1() x exln xm， 即有( ) 0fx，函数( )f x为单调递增函数 88已知函数，aR （1）当1a 时，求证：( )4 2f xln； （2）当0

21、a时，讨论函数( )f x的单调性 解： （1）证明：当1a 时， 2 ( )42f xxlnxx，该函数的定义域为(0,)， 2 42242(1)(2) ( )22 xxxx fxx xxx ， 当02x时，( )0fx，此时函数( )f x单调递减； 当2x 时，( )0fx，此时函数( )f x单调递增 所以，( )minf xf（2）42ln ，因此，当1a 时，( )4 2f xln； （2）当0a时，函数 2 ( )42(2)f xxalnxax的定义域为(0,)， 2 422(2)42()(2) ( )22(2) axaxaxa x fxxa xxx 当0a 时，即当0a 时，则

22、( )2(2)fxx 由( )0fx可得02x，由( )0fx可得2x 此时，函数( )f x的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)； 当02a 时，即当20a 时， 由( )0fx可得2ax ，由( )0fx可得0 xa 或2x 此时，函数( )f x的单调递减区间为(,2)a，单调递增区间为(0,)a、(2,)； 当2a 时，即当2a 时，则 2 2(2) ( )0 x fx x 对任意的0 x 恒成立， 此时，函数( )f x的单调递增区间为(0,)； 当2a 时，即当2a 时， 由( )0fx可得2xa ，由( )0fx可得02x或xa 此时，函数( )f x的单调递减区间为(2,)a，单调递增区间为(0,2)、(,)a 综上所述，当0a 时，函数( )f x的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)； 当20a 时，函数( )f x的单调递减区间为(,2)a，单调递增区间为(0,)a、(2,)； 当2a 时，函数( )f x的单调递增区间为(0,)； 当2a 时，函数( )f x的单调递减区间为(2,)a，单调递增区间为(0,2)、(,)a