一轮大题专练17—导数（最值问题）-2022届高三数学一轮复习.doc

1、一轮大题专练一轮大题专练 17导数（最值问题）导数（最值问题） 1已知函数 32 111 ( ) 323 f xxmx （1）求曲线( )yf x上一点 2 (1, ) 3 处的切线方程； （2）当(0,2)m时，( )f x在区间0，1的最大值记为( )H m，最小值记为( )h m，设 ( )( )( )G mH mh m，求( )G m的最小值 解： （1）因为点 2 (1, ) 3 在曲线上，所以 1112 (1) 3233 fm，解得0m ， 所以 3 11 ( ) 33 f xx，求导得 2 ( )fxx， 切点为 2 (1, ) 3 ， 2 00 ()kfxx， 故切线斜率1k

2、， 所求切线方程为 1 3 yx （2）因为 32 111 ( ) 323 f xxmx，(0,2)m，0 x，1 所以 2 ( )()fxxmxx xm令( )0fx，得0 x 或m 所以(0,)xm，( )0fx，( )f x为减函数；( ,)xm，( )0fx，( )f x为增函数 当12m 时，( )f x在0，1上单调递减 所以依题意， 1 ( )(0) 3 H mf， 43 ( )(1) 6 m h mf ， 所以 321 7 ( )( )( ) , ) 66 6 m G mH mh m 当01m时，( )f x在0，)m上单调递减，在(m，1上单调递增， 又因为 1 (0) 3

3、f， 43 (1) 6 m f ， 3 2 ( )( ) 6 m h mf m ， 当 2 1 3 m 时， 431 63 m ，所以 1 ( )(0) 3 H mf， 3 4 1 ( )( )( ), ) 681 6 m G mH mh m， 当 2 0 3 m时，4 31 63 m ， 所以 43 ( )(1) 6 m H mf ， 3 32 ( )( )( ) 6 mm G mH mh m 设 3 2 ( )32(0) 3 xxxx，所以 2 ( )33xx， 当 2 0 3 x时，( )0 x，所以( )x在 2 (0, ) 3 单调递减 又因为( )(0)2 max x， 28 (

4、)( ) 327 min x， 所以 ( )4 1 ( )( )( )(, ) 681 3 x G mH mh m 所以，当且仅当 2 3 m 时，( )( )( )G mH mh m取得最小值 4 81 2已知函数( )f xxlnxa，0a （1）证明：( )f x有且仅有一个零点； （2）当 2 ( 2ae ，0)时，试判断函数 22 11 ( ) 24 g xx lnxxax是否有最小值？若有，设最 小值为h（a） ，求h（a）的值域；若没有，请说明理由 （1）证明：因为0a ， 所以(0,1)x时，( )0f xxlnxa，函数( )f x无零点； 又因为( )1fxlnx ， 所以

5、1x，)时，( )0fx，( )f x单调递增， 又f（1）0a，1 a e，()(1)0 aaa f eaeaae ， 即f（1）()0 a f e， 故存在唯一 0 (1,) a xe，使( )0f x ， 综上可知，函数( )f x有且仅有一个零点 （2）解：( )g xxlnxa， (0 x，1，( )( )0g xf x，(1,)x，( )( )g xf x单调递增， 又g（1）0a， 22 ()20g eea， 故存在唯一 2 1 (1,)xe，使 1 ()0g x，即 11 0 x lnxa， 1 (0,)xx，( )0g x，( )g x单调递减； 1 (xx，)，( )0g

6、x，( )g x单调递增， 因此 22 11 ( ) 24 g xx lnxxax有最小值， h（a） 2222 1111111111 1111 ( )()() 2424 min g xg xx lnxxx lnx xx lnxx ， 令 22 11 ( ) 24 xx lnxx ， 2 (1,)xe，( )0 xxlnxx ， 故( )x单调递减， 进而 2 ( )( ()xe，（1） 4 5 )( 4 e ， 1) 4 ， 即h（a）的值域为 4 5 ( 4 e， 1) 4 3已知函数 2 ( )2f xlnxxax，aR （1）设( )( )(23)g xf xax，求( )g x的极值

7、： （2）若函数( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()xxx求 12 2 ()()f xf x的最小值 解： （1） 2 ( )( )(23)3g xf xaxlnxxx，定义域是(0,)， 2 1231(21)(1) ( )23 xxxx g xx xxx ， 令( )0g x，解得：1x 或 1 0 2 x，令( )0g x，解得： 1 1 2 x， 故( )g x在 1 (0, ) 2 递增，在 1 ( 2 ，1)递减，在(1,)递增， 故 15 ( )2 24 g xgln 极大值 ，( )g xg 极小值 （1）2 ； （2）函数 2 ( )2f xlnxxax，(0,)x

8、， 2 221 ( ) xax fx x ， 1 x， 2 x是函数( )f x的极值点， 1 x， 2 x是方程 2 2210 xax 的两不等正根， 则 2 480a， 12 0 xxa， 12 1 2 xx，故2a ， 2 22 a ， 即 1 2 (0,) 2 x ， 2 2 ( 2 x ，)，且 2 11 221axx， 2 22 221axx， 22 12111222 2 ( )()2(2)(2)f xf xlnxxaxlnxxax 2222 111222 2(21)(21)lnxxxlnxxx 22 1122 221xlnxlnxx 22 22 22 11 2()21 22 xl

9、nlnx xx 22 22 2 2 13 2 21 22 xlnxln x ， 令 2 2 tx，则 1 (2t，)， 13 ( )221 22 g ttlntln t ， 22 13(21)(1) ( )1 222 tt g tt tt ， 当 1 (2t，1)上递减，当(1,)t上递增， 故( )ming tg（1） 142 2 ln ， 故 12 2 ()()f xf x的最小值为 142 2 ln 4已知函数 2 ( )(1) x f xxeax，aR （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0a 时，函数( )fx的最小值为e（其中( )fx为( )f x的导函数） ，求a的值 解

10、： （1）( )2(2 ) xx fxxeaxx ea， ( ) i当0a时，20 x ea，( )f x在区间(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增， ( )ii当 1 0 2 a时，由20 x ea，得(2 )0 xlna， ( )f x在区间(，(2 )lna上单调递增，在( (2 )lna，0)上单调递减，在区间(0,)上单调 递增， ()iii当 1 2 a 时，由20 x ea，得(2 )0 xlna，( )f x在R上单调递增， ()iV当 1 2 a 时，由20 x ea，得(2 )0 xlna， ( )f x在区间(,0)上单调递增，在区间(0，(2 )lna上单调递减，在

11、( (2 )lna，)上单调 递增， 综上：当0a时，( )f x在区间(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增， 当 1 0 2 a时，( )f x在区间(，(2 )lna上单调递增，在( (2 )lna，0)上单调递减，在区间 (0,)上单调递增， 当 1 2 a 时，( )f x在R上单调递增， 当 1 2 a 时，( )f x在区间(,0)上单调递增，在区间(0，(2 )lna上单调递减，在( (2 )lna， )上单调递增 （2）设( )( )2 x g xfxxeax，且0a ， ( )(1)2 x g xxea， 设( )(1)2 x h xxea，( )(2) x h xxe，

12、 ( )h x在(, 2) 上单调递减，在( 2,)上单调递增， 且当0a 时， 2 ( 2)20hea ， 又当x 时，( )0h x ，当x 时，( )0h x ， ( )h x在( 2,)上必存在唯一零点 0 x，使得 0 ()0h x， 即在 0 (,)x上，( )0g x，( )g x单调递减， 在 0 (x，)上，( )0g x，( )g x单调递增， ( )g x在 0 xx处取得最小值， 又 0 000 ()()(1)20 x h xg xxea ， 0 0 2(1) x axe， 则 0000 2 0000000 ( )()2(1) xxxx min fxg xx eaxx

13、exx ex ee ， 设 2 ( )(2) x t xx ex ，( )(2) x t xx xe ， 当( 2,0)x 时，( )0t x，( )t x单调递增， 故 2 4( )0et x ，此时( )t xe ，当(0,)x时，( )0t x，( )t x单调递减， 故( )0t x ，又t（1）e ，故 0 1x ， 故 0 0 (1) 2 x xe ae 5已知函数 1 ( ) a f xxalnx x ，aR （1）求( )f x的单调性； （2）若0a ，且( )f x的最小值小于42 3ln，求a的取值范围 解： （1） 2 222 1(1)(1)(1) ( )1 aaxax

14、axxa fx xxxx ，(0)x ， 当1a时，( ) 0fx恒成立，( )f x在(0,)上单调递增， 当1a 时，令( )0fx，则01xa，令( )0fx，则1xa， ( )f x在(0,1)a 上单调递减，在(1,)a 上单调递增， 综上：当1a时，( )f x在(0,)上单调递增， 当1a 时，( )f x在(0,1)a 上单调递减，在(1,)a 上单调递增， （2）由（1）知( )(1)1 1(1) min f xf aaaln a ，则(1)22 3aaln aln， 令( )(1)g xxxln x，则 1 ( )1(1)(1) 11 x g xln xln x xx ，

15、令 1 ( )(1) 1 h xln x x ， 2 11 ( )0 1(1) h x xx ， ( )h x在( 1,) 上单调递减，又(0)10h ，h（1） 1 20 2 ln， 存在 0 (0,1)x ，使得 0 ()0h x， 即 0 ()0g x，( )g x在 0 (0,)x上单调递增，在 0 (x，)上单调递减， 又(0)022 3gln，g（2）22 3ln， g（a）2232lna a的取值范围为(2,) 6已知函数( )f xlnx，( ) x h xe （）设 2 ( )( )g xxt f x ，若函数( )g x在区间1，2上是减函数，求实数t的取值范围； （）若函

16、数( )()()F xh xaf xa区间(0,)上的最小值为 1，求实数a的值 解： （）( )f xlnx， 22 ( )( )g xxt f xxtlnx ，(0)x ， 2 2 ( )2 txt g xx xx ， ( )g x在1，2上单调递减， 当1x，2时，( ) 0g x恒成立，即 2 2 0 xt x ，又0 x ， 2 20 xt ， 2 2tx，又1x，2， 2x时， 2 2yx 取最小值8， 故t的取值范围是(，8； （）( )()()() x a F xh xaf xaeln xa ， 1 ( ) x a F xe xa ， x a ye 在(0,)递增， ( )F

17、x在(0,)递增，在(0,)上存在唯一零点 0 x， 使得 0 0 0 1 ()0 xa F xe xa ，故 0 0 1 xa e xa ， ( )F x在(0,)上单调递增， 0 (0,)xx 时，( )0F x，( )F x递减， 0 (xx，)时，( )0F x，( )F x递增， 0 000 0 1 ( )()()()1 xa min F xF xeln xaln xa xa ， 显然 0 1xa是方程的解， 令 1 ylnx x 是减函数，则 2 11 0y xx ， 0 0 1 ()1ln xa xa 有且只有唯一的解， 0 1xa， 0 1xa ， 又 0 0 1 xa e x

18、a ， 1 2 1 a e ， 1 2 a 7设函数( )2 x f xeax （1）若0a ，求( )f x的极值； （2）若1a ，且当0 x 时，函数( )()( )F xxk fx的图象在直线10 xy 的上方，求 整数k的最大值 解： （1）( )2 x f xeax，则( ) x fxea， 若0a ，令( )0fx，解得：xlna，令( )0fx，解得：xlna， 故( )f x在(,)lna递减，在(,)lna 递增， 故( )f x的极小值是()2f lnaaalna，无极大值； （2）1a 时，( )2 x f xex，( )1 x fxe， 故( )()(1) x F x

19、xk e， 0 x 时函数( )F x的图象在直线10 xy 的上方， 问题转化为()(1)1 0 x xk ex 在(0,)恒成立， 令( )()(1)1 x h xxk ex，(0)x ，( )(1) x h xxke， 1 0k 即1k时，( ) 0h x，( )h x在(0,)单调递增， 故( )(0)10h xh ，符合题意； 10k 即1k 时，令( )0h x，解得：1xk，令( )0h x，解得：1xk， 故( )h x在(0,1)k 递减，在(1,)k 递增， 故 1 ( )(1)10 k min h xh kke ， 由 11 1(1)2 kk keke ，令1tk，则0t ， 则 1 (1)22 kt kete ， 令( )2 t m tte ，(0)t ，则( )10 t m te ， 故( )m t在(0,)递减，而m（1）30e，m（2） 2 40e， 故整数t的最大值是 1，故1k 的最大值是 1，即整数k的最大值是 2