一轮大题专练12—导数(有解问题2)-2022届高三数学一轮复习.doc
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1、一轮大题专练一轮大题专练 12导数(有解问题导数(有解问题 2) 1已知函数( )sin1 x f xeaxxx,0 x,aR (1)当 1 2 a 时,求证:( ) 0f x ; (2)若函数( )f x有两个零点,求a的取值范围 解: (1)证明:当 1 2 a 时, 1 ( )sin1 2 x f xexxx, 则 1 ( )( cossin )1 2 x fxexxx, 1 ( )sincos 2 x fxexxx, 因为0 x, 所以1 x e , 1 sin0 2 xx, 因此( ) 1cos0fxx, 所以( )fx在0,上单调递增, 于是( )(0)0fxf, 因此( )f x
2、在0,上单调递增, 所以( )f xf(0)0 (2)由(1)知,当 1 2 a时, 1 ( )sin1 0 2 x f xexxx,当且仅当0 x 时取等号, 此时函数( )f x仅有 1 个零点, 当 1 2 a 时,因为( )sin1 x f xeaxxx, 所以( )( cossin )1 x fxea xxx, ( )( sin2cos ) x fxea xxx, 当 2 x ,时,( )0fx,( )fx单调递增, 当0 x, 2 时,( )(3sincos ) x fxeaxxx, 因为0 x e ,(3sincos ) 0axxx, 所以( )0fx,所以( )fx单调递增,
3、又(0)120fa , 2 ()0 22 fea , 因此( )fx在0, 2 上存在唯一的零点 0 x,且 0 (0,) 2 x 当 0 (0,)xx时,( )0fx,所以( )fx单调递减, 当 0 (xx,) 2 时,( )0fx,所以( )fx单调递增, 又(0)0f , 0 ()(0)0fxf,( )10fea , 因此( )fx在0,上存在唯一的零点 1 x,且 10 (xx,), 当 1 (0,)xx时,( )0fx,所以( )f x单调递减, 当 1 (xx,)时,( )0fx,所以( )f x单调递增, 又f(0)0, 1 ()f xf(0)0,( )10fe , 所以( )
4、f x在 1 (x,)上存在唯一零点, 因此( )f x在0,上有两个零点, 综上,a的取值范围是 1 ( 2 ,) 2已知函数( )2 x f xxeaxa (1)当1a 时,求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程; (2)若( )f x有两个零点,求实数a的取值范围 解: (1)当1a 时,( )21 x f xxex, ( )(1)2 x fxxe, 因为(0)3 f ,(0)1f , 所以曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为310 xy (2)因为( )f x有两个零点,所以方程( )0f x 有两个不同的根, 即关于x的方程(21) x xaxe有两个不同的
5、解, 当 1 2 x 时,方程不成立,所以 1 2 x , 令( ) 21 x xe g x x ,则ya与( ) 21 x xe g x x 的图象有两个交点, 且 2 22 (21)(1)(21) ( ) (21)(21) xx xxexxe g x xx , 令( )0g x,得 1 2 x 或1x ,令( )0g x,得 11 22 x或 1 1 2 x, 所以( )g x在 1 (,),(1,) 2 上单调递增,在 1 11 (, ),( ,1) 2 22 上单调递减, 当 1 2 x 时,( )g x取得极大值 11 () 24 g e , 当1x 时,( )g x取得极小值g(1
6、)e, 因为 1 4 e e ,且当0 x 时,( )0g x , 所以a的取值范围是 1 (0,)( ,) 4 e e 3已知函数 2 1 ( ) 2 f xxax (1)若( )( )g xf xxalnx,讨论( )g x的单调性; (2)已知( )2 ( )42h xf xxlnxa,若方程( )0h x 在 1 ,) 2 有且只有两个解,求实数a 的取值范围 解: (1)依题可得 2 1 ( )(1) 2 g xxaxalnx,定义域为(0,), 所以 2 (1)(1)() ( )(1) axaxaxxa g xxa xxx 当0a时,由( )0g x,得01x,由( )0g x,得
7、1x , 则( )g x的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,) 当01a时,由( )0g x,得1ax,由( )0g x,得xa或1x , 则( )g x的单调递减区间为( ,1)a,单调递增区间为(0, )a和(1,) 当1a 时,( ) 0g x恒成立,则( )g x的单调递增区间为(0,) 当1a 时,由( )0g x,得1xa,由( )0g x,得1x 或xa, 则( )g x的单调递减区间为(1, )a,单调递增区间为(0,1)和( ,)a (2) 2 ( )2 ( )42242h xf xxlnxaxaxxlnxa 方程( )0h x 在 1 ,) 2 有且只有两个解,
8、 即关于x方程 2 2 2 2 xxlnx a x 在 1 ,) 2 上有两个 不相等的实数根 令 2 2 ( ) 2 xxlnx t x x , 1 ,) 2 x,则 2 2 324 ( ) (2) xxlnx t x x 令 2 ( )324p xxxlnx, 1 ,) 2 x,则 (21)(2) ( ) xx p x x , 因为( ) 0p x在 1 ,) 2 上恒成立,故( )p x在 1 ,) 2 上单调递增 因为p(1)0,所以当 1 ,1) 2 x时,有( )0p x ,即( )0t x,所以( )t x单调递减; 当1x,)时,有( )0p x ,即( )0t x,所以( )
9、t x单调递增 因为 192 ( ) 2105 ln t,t(1)1, 41 (4)32( ) 32 tlnt, 所以a的取值范围是 192 ( , 2 2010 ln 4已知实数aR,设函数 2 ( )() x f xxa eax,xR ()若0a ,讨论( )f x的单调性; ()若方程( )0f x 有唯一实根 0 x,求实数 0 x的取值范围 解: ()若0a ,则 2 ( ) x f xx e,令 2 ( )2(2) xxx fxxex exex, 令( )0fx,解得2x 或0 x ,令( )0fx,解得20 x , 函数( )f x在(, 2) ,(0,)单调递增,在( 2,0)
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