一轮大题专练10—导数（双变量与极值点偏移问题2）-2022届高三数学一轮复习.doc

1、一轮大题专练一轮大题专练 10导数（双变量与极值点偏移问题导数（双变量与极值点偏移问题 2） 1已知函数 2 11 1 ( )()(1) 24 xx x f xmklnxn eeaxa ，其中2.718e 是自然对数的底 数，( )fx是函数( )f x的导数 （）若1m ，0n ， （）当1k 时，求曲线( )f x在1x 处的切线方程 （）当0k 时，判断函数( )f x在区间(1，e上零点的个数 （）若0m ，1n ，当 7 8 a 时，求证：若 12 xx，且 12 2xx ，则 12 ()()2f xf x （）解： （）当1m ，0n ，1k 时， 2 ( ) 2 x f xlnx

2、， 则f（1） 1 2 ， 1 ( )fxx x ，所以 f （1）0， 故切点坐标为 1 (1, ) 2 ，切线的斜率为 0， 故切线方程为 1 2 y ； ( )ii由 2 ( )(0) 2 x f xklnx k可得， 2 ( ) kxk fxx xx ， 令( )0fx，解得xk， 当0 xk时，( )0fx，则( )f x单调递减， 当xk时，( )0fx，则( )f x单调递增， 所以当xk时，( )f x取得极小值即最小值 (1) () 2 klnk fk ， 当0ke时，( )f x无零点； 当ke时，( )f x在区间(1，e上单调递减，且()0fe ， 所以xe是( )f

3、x在(0，e上的唯一零点； 当ke时，( )f x在区间(0,)e上单调递减，且 又f（1） 1 0 2 ，()0 2 ek fe ， 所以( )f x在区间(1，e上仅有一个零点 综上所述，当0ke时，( )f x在区间(1，e上无零点； 当k e时，( )f x在区间(1，e上仅有一个零点； （）证明：当0m ，1n ，当 7 8 a 时， 1111 171173 ( )()(1) 488484 xxxx f xeexeex ， 令1xt ， 12 0tt，不妨设 1 10tx ， 173 ( )() 484 tt h teet， 令 171171 ( )()() 288288 tttt

4、H teetee 171 ()()()() 288 tttttttt eeeet eeee 711 () ()()()2 0 8216 tttttttt eeeeteeee ， 其中 11 ()()1 0 22 tttt eetee ， 因为(0)2H， 所以当0t 时，( )2H t ， 故若 12 xx，且 12 2xx ，则 12 ()()2f xf x 2已知函数 2 ( )( ,)f xaxbxlnx a bR （1）当1a ，3b 时，求( )f x的单调区间； （2） 当2b 时， 若函数( )f x有两个不同的极值点 1 x， 2 x， 且不等式 1212 ()()f xf x

5、xxt 有解，求实数t的取值范围； （3）设 2 ( )( )g xf xax，若( )g x有两个相异零点 1 x， 2 x，求证： 2 12 x xe 解： （1）当1a ，3b 时， 2 ( )3f xxxlnx， 2 1231(1)(21) ( )23 xxxx fxx xxx ， 0 x ，令( )0fx，则 1 01 2 xx或， 令( )0fx，则 1 1 2 x， ( )f x的单调递增区间为 1 (0, ),(1,) 2 ，单调递减区间为 1 ( ,1) 2 ； （2）证明：由题可得 2 221 ( )(0) axx fxx x ， 函数 2 ( )2f xaxxlnx有两个

6、不同的极值点 1 x， 2 x， 方程 2 2210axx 有两个不相等的正实数根， 于是有 12 12 480 1 0 1 0 2 a xx a x x a 解得 1 0 2 a 不等式 1212 ()()f xf xxxt有解， 1212 ()()()maxtf xf xxx 22 121211122212 ( )()()()f xf xxxaxxlnxaxxlnxxx 2 12121212 2 ()22()()1(2 )a xxx xxxln x xlna a 设h（a） 21 1(2 )(0) 2 lnaa a ，h（a） 2 2 0 a a ， 故h（a）在 1 (0, ) 2 上单

7、调递增，故h（a） 1 ( )5 2 h ， 5t 故实数t的取值范围为(, 5) （3）( )g xlnxbx，设( )g x的两个相异零点为 1 x， 2 x， 设 12 0 xx，欲证 2 12 x xe，需证 12 2lnxlnx 1 ()0g x， 2 ()0g x， 11 0lnxbx， 22 0lnxbx， 1212 ()lnxlnxb xx， 1212 ()lnxlnxb xx 要证 12 2lnxlnx，即证 12 ()2b xx， 即 12 1212 2lnxlnx xxxx ，即 112 212 2()xxx ln xxx ， 设 1 2 1 x t x 上式转化为 2(

8、1) (1) 1 t lntt t ， 设 2(1) ( ) 1 t g tlnt t ， 2 2 (1) ( )0 (1) t g t t t ， ( )g t在(1,)上单调递增， ( )g tg（1）0， 2(1) 1 t lnt t ， 12 2lnxlnx， 2 12 x xe 3已知函数( )2 x f xxe （1）求函数( )f x的图象在点(0，(0)f处的切线方程； （2）若存在两个不相等的数 1 x， 2 x，满足 12 ()()f xf x，求证： 12 2 2xxln （1）解：函数( )2 x f xxe，则( )2 x fxe，则(0)211 f ，又(0)1f

9、， 则切点为(0, 1)，切线的斜率为 1， 所以( )f x的图象在点(0，(0)f处的切线方程为1yx ，即10 xy ； （2）证明：令( )20 x fxe，解得2xln， 当2xln时，( )0fx，则( )f x单调递增， 当2xln时，( )0fx，则( )f x单调递减， 所以当2xln时，( )f x取得极大值，即2xln为极大值点， 不妨设 12 xx，由题意可知， 12 2xlnx， 令( )( 2)( 2)422 xx F xf lnxf lnxxee， 则( )422 xx F xee，因为22 xxxx eeee ， 所以( ) 0F x，则( )F x单调递减，

10、又(0)0F，所以( )0F x 在(0,)上恒成立， 等价于(2)(2)f lnxf lnx在(0,)上恒成立， 所以 12222 ()()(2(2)(2(2)(22)f xf xf lnxlnf lnxlnflnx， 因为 1 2xln， 2 222lnxln， 又( )f x在(,2)ln上单调递增， 所以 12 22xlnx， 故 12 2 2xxln 4已知函数( ) x f xemx有两个不同的零点 1 x， 2 x，且 12 xx （）求实数m的取值范围； （）若不等式 2 ( )(1) x xf xmxx k e对任意的0 x，)恒成立，求实数k的最大值； （）求证： 12 3

11、 e xx m 解： （）显然0 x 不是( )f x的零点，令( )0f x ，则 x e m x ， 依题意，直线ym与函数( ) x e g x x 的图象有两个交点， 又 2 (1) ( ) x ex g x x ，则函数( )g x在(,0)，(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 当0 x 时，( )0g x ，当x 时，( )g x ，g（1）e，其草图如下， 由图象可知，实数m的取值范围为( ,)e ； （） 2 ()(1) xx x emxmxx k e，即( )(1) 0 xx h xxexk e ， (0)0h， ( )(1) 0 xx h xxexk e 的一个必

12、要条件是(0) 0h， 又( )1 xxx h xexeke ， (0)1 10hk ，则2k， 当2k 时，( )2(1) xx h xxexe，( )(1)1 x h xxe，( )0 x h xxe， ( )h x 单调递增，而(0)0h， ( )h x在0，)上单调递增，故( )(0)0h xh，符合题意， 实数k的最大值为 2； （）证明：易知 12 01xx ， 2(1)2(1) ,(0,1),(1,) 11 xx lnxxlnxx xx ， 1 11 1 2(1) 1 x xlnmlnxlnm x ， 2 22 2 2(1) 1 x xlnmlnxlnm x ， 2 1111 (

13、1)22xxxlnmx， 2 2222 (1)22xxxlnmx， 22 21212121 ()2()xxxxxx lnmxx，即 21 12xxlnm，即 21 1xxlnm， 要证 12 3 e xx m ，即证1 3 e lnm m ，只需证2 e lnm m ， 记( ) e F mlnm m ，则 22 1 ( ) eme F m mmm ， 易知( )F m在( ,)e 上单调递增， ( )F mF（e）2，即得证 5已知( )f xlnx， 3 ( )41g xxax （）若( )( )( )F xf xg x在点(1，F（1）)处的切线斜率为4，求实数a的值； （）若 3 (

14、) ( )( )4G xx f xg xx有两个零点，且 12 3xx，求证： 22 21 12 6xx xxe （）解： 3 ( )41F xlnxxax， 2 1 ( )12F xxa x ， 由 F （1）1 124a ，得7a （）证明：( )(1)(0)G xx lnxaxx有两个零点， 即10lnxax 有两个不等根 1 x， 212 (3)xxx， 即 1 12122 121212 112 x ln lnxlnxlnx xx a xxxxxx ， 即 121 12 122 2 xxx lnx xln xxx 令 1 2 3 x t x ，则 12 1 2 1 t lnx xlnt

15、 t 记 1 ( )(3) 1 t tlnt t t ，则 2 1 2 ( ) (1) tlnt t t t 记 1 ( )2(3)u ttlnt t t ，则 2 2 (1) ( )0 t u t t ， 所以( )u tu（3）0，即( )0t， 即( ) t在(3,)上单调递增，即( ) t（3）2 32ln， 所以 23 2 12 2 9 ln x xe e ， 所以 22 21 12 12 6 2 xx x x xxe 6已知函数( )1() x f xxaeaR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2） 当1a 时， 令( )()g xf lnx， 若函数( )g x的图象与直

16、线ykxm相交于不同的两点A， B，设 1 x， 212 ()xxx分别为点A，B的横坐标，求证： 21 11 1k xx （1）解：( )f x的定义域为(,) ，且( )1 x fxae 当0a时，( )0fx，则( )f x在(,) 上单调递增 当0a 时，若(,)xlna ，则( )0fx，( )f x在(,)lna 上单调递增； 若(,)xlna ，则( )0fx，( )f x在(,)lna上单调递减 综上所述，当0a时，( )f x在(,) 上单调递增； 当0a 时，( )f x在(,)lna 上单调递增，在(,)lna上单调递减 （2）证明：当1a 时，( )1 x f xxe，

17、( )()1g xf lnxlnxx， 所以 21221121 212121 ()() 1 g xg xlnxxlnxxlnxlnx k xxxxxx ， 所以 21 21 1 lnxlnx k xx 要证 21 11 1k xx ，即证 21 2211 11lnxlnx xxxx 因为 21 0 xx，所以 21 0 xx，即证 21221 211 xxxxx ln xxx 令 2 1 x t x ，则1t ，即证 1 11(1)lnttt t 令( )1(1)tlnttt ，则 11 ( )10 t t tt ， 所以( ) t在(1,)上单调递减， 所以( ) t（1）0，即10lntt ，1(1)lnttt 令 1 ( )1(1)h tlntt t ，则 22 111 ( )0 t h t ttt ，所以( )h t在(1,)上单调递增， 则( )h th（1）0，即 1 1(1)lntt t 综合得 1 11(1)lnttt t ，所以 21 11 1k xx