(2022高考数学一轮复习(步步高))第二章 §2.2 第2课时 奇偶性、对称性与周期性.pptx
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1、大一轮复习讲义 第二章2.2函数的基本性质 第2课时奇偶性、对称性与周期性 例1判断下列函数的奇偶性: 题型一函数奇偶性的判定 师生共研 因此f(x)f(x)且f(x)f(x), 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 函数f(x)为奇函数. 解显然函数f(x)的定义域为(,0)(0,),关于原点对称 当x0, 则f(x)(x)2xx2xf(x); 当x0时,x0, 则f(x)(x)2xx2xf(x); 综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(x)f(x)成立, 函数f(x)为奇函数 解显然函数f(x)的定义域为R, 故f(x)为奇函数. 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 (1)定义域关
2、于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以 首先考虑定义域; (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转 化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x) 0(偶函数)是否成立. 思维升华 解析由函数奇偶性定义知,A中函数为奇函数, B中函数为奇函数, C中函数为非奇非偶函数, D中函数为偶函数. (2)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 下列结论正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)g(x)|是奇函数 C.|f(x)|g(x)是偶函数D.f(|x|)g(x)是奇函
3、数 解析令F1(x)f(x)g(x), F1(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F1(x), F1(x)为奇函数,故A错误; 令F2(x)|f(x)g(x)|, F2(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)| |f(x)g(x)|F2(x), 故F2(x)为偶函数,故B错误; 令F3(x)|f(x)|g(x), F3(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F3(x), F3(x)为偶函数,故C正确; 令F4(x)f(|x|)g(x), F4(x)f(|x|)g(x)f(|x|)g(x)F4(x), F4(x)为偶函数,故D错误. 题型二函数奇偶性的应用 多维探究 命题点1利用奇偶性求
4、参数的值 解析方法一(定义法)f(x)为偶函数, f(x)f(x), 方法二(特值法)f(x)为偶函数, f(1)f(1), 又f(1)a2,f(1)a1, 命题点2利用奇偶性求解析式 例3(2019全国)设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)ex1,则当x0 时,f(x)等于 A.ex1 B.ex1 C.ex1 D.ex1 解析当x0, 当x0时,f(x)ex1, f(x)ex1. 又f(x)为奇函数, f(x)f(x)ex1. 命题点3利用奇偶性求函数值 例4已知函数f(x)ax3bx52.若f(x)在区间t,t上的最大值为M, 最小值为m,则Mm_. 解析令g(x)ax3bx5, 则g
5、(x)为奇函数, 当xt,t时,g(x)maxg(x)min0, 又f(x)g(x)2, Mg(x)max2,mg(x)min2, Mmg(x)max2g(x)min24. 4 利用函数奇偶性可以解决以下问题 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇 偶性的定义求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(x)0得到关于 参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象. (5)求特殊值:利用奇
6、函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函 数值. 思维升华 跟踪训练2(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x) 2xxb,则f(1)的值为 A.b3 B.b3 C.2 D.2 解析f(x)为R上的奇函数,f(0)0, 即200b0,b1, f(1)f(1)(211b)2. (2)已知函数f(x)asin xbtan x1,若f(a)2,则f(a)_. 解析令g(x)asin xbtan x, 则g(x)为奇函数,且f(x)g(x)1, f(a)g(a)12,g(a)3, f(a)g(a)1g(a)14. 4 题型三函数的周期性、对称性 多维探究 命题点1函数的周
7、期性 解析因为f(x2)f(x),所以f(x)的周期为2. 解析f(x)f(x2), f(x)的周期为4,f(2 020)f(0)f(2)(22log22)5. 函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(xa)f(x),则T2a(a0). 思维升华 (4)若f(xa)f(x)c,则T2a(a0,c为常数). 命题点2函数的对称性 例6(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2x)f(2x), 且f(x)f(x),则下列结论正确的是 A.f(x)的图象关于x2对称 B.f(x)的图象关于(2,0)对称 C.f(x)的最小正周期为4 D.yf(x4)为偶函
8、数 解析f(2x)f(2x),则f(x)的图象关于x2对称,故A正确,B 错误; 函数f(x)的图象关于x2对称,则f(x)f(x4),又f(x)f(x), f(x4)f(x),T4,故C正确; T4且f(x)为偶函数,故yf(x4)为偶函数,故D正确. 对称性的三个常用结论 思维升华 (1)若函数f(x)满足f(ax)f(bx),则yf(x)的图象关于直线x 对称. (2)若函数f(x)满足f(ax)f(bx),则yf(x)的图象关于点 对称. (3)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)c,则函数f(x)的图象关于点 对称. 跟踪训练3(1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x3)f(x)
9、,且当x0,3) 时,f(x)2xx21,则f(0)f(1)f(2)f(2 021)_.2 696 解析f(x3)f(x),T3, 又x0,3)时,f(x)2xx21, f(0)1,f(1)2,f(2)1, f(0)f(1)f(2)1214, f(0)f(1)f(2)f(2 021) 67442 696. (2)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,其图象关于直线x2对 称.当x0,4时,f(x)x24x,则f(2 022)_.4 解析f(x)的图象关于直线x2对称, f(x)f(x4), 又f(x)为奇函数, f(x)f(x), 故f(x4)f(x),T8, 又2 0222528
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