（2022 高考数学一轮复习(全品版)）第34讲　数列的综合问题.pptx

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3、是应用等差、等比数列的通项公 式、前n项和公式,建立关于两个基本量,即首项a1和公差d或公比q的方程组,以 及解决等差中项、等比中项等问题. (2) 数列和函数 数列是特殊的函数,等差数列的通项公式和前n项和公式分别是关于n的一次函 数和二次函数,等比数列的通项公式和前n项和公式在公比不等于1的情况下是 公比q的指数型函数,可以根据函数的性质解决一些数列问题. (3)数列和不等式 以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题,体现了在 知识交汇点上命题的特点.这类问题一般通过数列求通项以及求和去解决一个 不等式问题,这里的不等式通常是关于正整数的不等式,可以通过比较法、基本 不等

4、式法、导数方法和数学归纳法解决. 2.数列应用题常见模型 等差数列 模型 如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差数列模型,增 加(或减少)的量就是公差 等比数列 模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比数 列模型,这个固定的数就是公比 递推数列 模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,即随着项的变化而 变化时,应考虑an与an-1的递推关系,或前n项和Sn与Sn-1之间的递推关 系 题组一常识题 1.教材改编已知公差d0的等差数 列an满足a1=1,且a2,a4-2,a6成等比 数列,若正整数m,n满足m-n=10,则am- an=. 解析由题知(a4

5、-2)2=a2a6,即(3d-1)2= (1+d)(1+5d),解得d=3或d0(舍去),所 以am-an=(m-n)d=30. 30 2.教材改编某学校餐厅每天供应500 名学生用餐,每星期一都有A,B两种菜 可供选择,调查资料表明,凡是在星期 一选A种菜的,下星期一会有20%的人 改选B种菜,而选B种菜的,下星期一会 有30%的人改选A种菜,用an,bn分别表 示在第n个星期一选A种菜的人数和选 B种菜的人数,若a1=300,则a10的值为 . 300 3.教材改编某厂2008年的产值为a万 元,预计产值每年以n%递增,则该厂到 2021年末的产值(单位:万元)是 . 解析 2008年的产

6、值为a万元,预计 产值每年以n%递增,每一年的产值 构成以a为首项,1+n%为公比的等比数 列,a2021=a2008(1+n%)13=a(1+n%)13. a(1+n%)13 4.教材改编已知数列an,bn满足 a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则a5=, b10=. 解析由an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的 两个零点,可得anan+1=2n,an+an+1=bn,又 a1=1, a2=2,a3=2,a4=4,a5=4,a6=8,a7=8,a8= 16,a9=16,a10=32,a11=32,b10=a10+a11=3 2+32=64.

7、 4 64 题组二常错题 索引:数列实际问题的两个易错点,即项数和年(月)份数. 4 6.某食品加工厂2019年获利20万元,经调整食品结构,开发新产品,计划从2020年开始 每年比上一年获利增加20%,则从年开始这家食品加工厂年获利超过60万 元.(已知lg 20.301 0,lg 30.477 1) 2026 探究点一等差、等比数列的综合问题 例1 2020宁德6月质检 已知等差 数列an中,a1=1,且a1,a2,a7-4成等比 数列.数列bn的前n项和为Sn, 且3bn-2Sn=1. (1)求数列an,bn的通项公式; 探究点一等差、等比数列的综合问题 例1 2020宁德6月质检 已知

8、等差 数列an中,a1=1,且a1,a2,a7-4成等比 数列.数列bn的前n项和为Sn, 且3bn-2Sn=1. (1)求数列an,bn的通项公式; 总结反思解决由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据两数列的 概念,设出相应的基本量,然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确 定基本量.解综合问题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联 系和隐含条件 变式题 2020衡水中学三模 已知等差数列an的公差为d,Sn 是数列an的前n项和,等比数 列bn的公比为q(q1),Tn是数 列bn的前n项 和,a3+b3=0,b1=1,T3=3,d=-q. (1)求数列bn的通项公

9、式. 解:由b1=1,T3=b1(1+q+q2)=3,得q=-2或 q=1(舍去), bn=(-2)n-1. 变式题 2020衡水中学三模 已知等差数列an的公差为d,Sn是数列an的前n 项和,等比数列bn的公比为q(q1),Tn是数列bn的前n项 和,a3+b3=0,b1=1,T3=3,d=-q. (2)是否存在正整数,使得关于k的不等式(30+Sk)10有解?若存在,求出的值; 若不存在,说明理由. 探究点二数列在实际生活中的应用 例2 (1)我国车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验规定:车辆驾驶 人员100 mL血液中酒精含量在20,80)(单位:mg)内为饮酒后驾车,80 mg及

10、以上 认定为醉酒后驾车.某人喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到0.8 mg/mL,此时他停止饮酒,其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少,为避免 酒后驾车,他至少经过n小时才能开车,则n的最小整数值为() A.5B.6C.7D.8 思路点拨先计算出100 mL血液中酒精含量,再计算n小时后100 mL血液中酒精含 量,列出不等式,求得结果; C 探究点二数列在实际生活中的应用 例2 (1)我国车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验规定:车辆驾驶 人员100 mL血液中酒精含量在20,80)(单位:mg)内为饮酒后驾车,80 mg及以上 认定为醉酒后驾车.某人喝了一定量的酒后,其血

11、液中的酒精含量上升到0.8 mg/mL,此时他停止饮酒,其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少,为避免 酒后驾车,他至少经过n小时才能开车,则n的最小整数值为() A.5B.6C.7D.8 解析0.8100=80,喝酒后驾驶员100 mL血液中酒精含量为80 mg,则n小时 后的血液中酒精含量为80(1-20%)n=800.8n(mg),由800.8n20,解得n7,故选C. C 思路点拨根据题意,依次分析孩子在1周岁时、2周岁时、17周岁时存入 的a元产生的本利合计,进而可得取回的钱的总数 S=a(1+r)17+a(1+r)16+a(1+r),由等比数列的前n项和公式分析可得答案. D

12、解析根据题意,当孩子18周岁生日时,孩子在1周岁生日时存入的a元产生的 本利合计为a(1+r)17元,同理,孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为 a(1+r)16元,孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)15元, 孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)元, D D 总结反思解决实际问题所涉及的数列模型:首先要认真阅读领悟,学会翻译 (数学化);其次再考虑用熟悉的数列知识建立数学模型,求出问题的解;最后还需 验证求得的解是否符合实际. 变式题 (1)某大学毕业生为自主创业于2017年8月初向银行贷款240 000元,与银 行约定按“等额本金还款法”分

13、10年进行还款,从2017年9月初开始,每个月月初 还一次款,贷款月利率为0.5%,现因经营状况良好准备向银行申请提前还款,计 划于2022年8月初将剩余贷款全部一次还清,则该大学毕业生按现计划的所有 还款数额比按原约定所有还款数额少 () (注:“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期所还款金 额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利 息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.1年按12个月计算) A.18 000元B.18 300元C.28 300元D.36 300元 B 解析由题意可知,该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240 000

14、 元,两种还款方式的本金没有差额.该大学毕业生决定2022年8月初将剩余 贷款全部一次还清,从2017年9月初第一次还款到2022年8月初这5整年即60 个月两种还款方式所还的利息也是一样的,按原约定所有还款数额-按现计 划的所有还款数额=原约定还款方式从2022年9月起到最后还完这整60个月所 还的利息. 每月应还本金为240 000120=2000(元),2022年8月还完后本金还剩240 000- 200060=120 000(元),2022年9月应还利息为120 0000.5%元,2022年10月 应还利息为(120 000-2000)0.5%元,2022年11月应还利息为(120 0

15、00- 20002)0.5%元,最后一次应还利息为(120 000-200059)0.5%元.后60个 月所还的利息为120 0000.5%+(120 000-2000)0.5%+(120 000- 20002)0.5%+(120 000-200059)0.5%=0.5%120 000+(120 000- 2000)+(120 000-20002)+(120 000-200059)=0.5%120 00060- 2000(1+2+59)=18 300(元).故选B. (2) 2020上海静安区二模 当急需住院人数等于或大于医院所能收治的病人 数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象.在新冠肺炎爆发期

16、间,境外某市每日下班 后统计住院人数,从中发现:该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后 统计的住院人数增加约25%,但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院.已知 该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗,该市的医院共可收治4000名 新冠肺炎患者.若继续按照这样的规律发展,该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资 源挤兑”现象,只需要约 () A.7天B.10天C.14天D.16天 C 思路点拨利用待定系数法,求出a1和 an的公差d,依照题意列两个方程,即 可求出an的通项公式. 探究点三数列与函数、不等式的综合问题 角度1数列与不等式的综合 例3 2020淮北一中模拟 已知数列 an为递

17、增的等差数列,其中a3=5, 且a1,a2,a5成等比数列. (1)求an的通项公式; 探究点三数列与函数、不等式的综合问题 角度1数列与不等式的综合 例3 2020淮北一中模拟 已知数列 an为递增的等差数列,其中a3=5, 且a1,a2,a5成等比数列. (1)求an的通项公式; 思路点拨首先确定bn的表达式,容易 想到裂项相消法求bn的前n项和Tn, 然后根据恒成立的意义和单调性求出 数列中的最值,进而确定出m的最小正 整数. 总结反思数列中不等式的恒成立问题:以数列为背景的不等式恒成立问题,多 与数列求和相联系,求解的思路一般有两种,一是求和后直接利用基本不等式求 解数列中的最值,二是

18、求和后抓住和式的特征,利用函数的思想,借助数列的单 调性求解,此时需注意变量的取值范围. 总结反思数列与函数的综合问题主要有以下两类:已知函数条件,解决数 列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像来解决;已知数列条件,解决函 数问题,此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对所给条件 化简变形. 变式题 2020云南师大附中月考 定义 在0,+)上的函数f(x)满足:当0 x2 时,f(x)=-x3+3x-1;当x2时,f(x)=3f(x-2). 记函数f(x)的极大值点从小到大依次记 为a1,a2,an,并记相应的极大值为 b1,b2,bn,则a1b1+a2b2+a18b18 的值为

19、 () A.18319+1B.18318+1 C.17317+1D.17318+1 解析 当0 x2时,f(x)=-3x2+3= -3(x+1)(x-1),易知f(x)=-x3+3x-1的极 大值点为1,极大值为1.当x2时, f(x)=3f(x-2),则极大值点构成首项 为1,公差为2的等差数列,极大值构 成首项为1,公比为3的等比数列,故 an=2n-1,bn=3n-1,故anbn=(2n-1)3n-1. D 变式题 2020云南师大附中月考 定义 在0,+)上的函数f(x)满足:当0 x2 时,f(x)=-x3+3x-1;当x2时,f(x)=3f(x-2). 记函数f(x)的极大值点从小

20、到大依次记 为a1,a2,an,并记相应的极大值为 b1,b2,bn,则a1b1+a2b2+a18b18 的值为 () A.18319+1B.18318+1 C.17317+1D.17318+1 D 【备选理由】例1考查等差数列与等比数列的综合;例2考查数列的实际应用;例 3考查数列与不等式的综合. 例1配合例1使用 2020大庆实 验中学月考 已知an是公差为1的 等差数列,bn是正项等比数 列,a1=b1=1,cn=anbn(nN*). (1)在b3=a4,a3=3b3,a2=4b2这 三个条件中任选一个,补充在上面 横线处,判断cn是否是递增数列, 并说明理由; 例1配合例1使用 202

21、0大庆实 验中学月考 已知an是公差为1的 等差数列,bn是正项等比数 列,a1=b1=1,cn=anbn(nN*). (1)在b3=a4,a3=3b3,a2=4b2这 三个条件中任选一个,补充在上面 横线处,判断cn是否是递增数列, 并说明理由; 解:因为an是首项为1,公差为1的等 差数列,所以an=1+n-1=n. 设bn的公比为q. 若选,由a3=3b3=3,得b3=1,又b1=1,所 以q=1,所以bn=1,则cn=n, 则cn=n0,其前n项和为Sn(nN*).数列 bn是等差数列,且满足a1=1, a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求数列an和bn的通项公式; 解:由a1=1,a3=a2+2,得q2=q+2,解得 q=-1或q=2. 因为q0,所以q=2,故an=2n-1. 由a4=b3+b5可得8=2b4,解得b4=4. 由a5=b4+2b6可得16=4+2b6,解得 b6=6,由此易知bn=n.