（2022 高考数学一轮复习(全品版)）第33讲　数列求和.pptx

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3、相加法. (2)并项求和法 数列an满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用求其前n 项和.如通项公式形如an=(-1)nf(n)的数列. 同一个常数 并项法 3.裂项相消法 把数列的通项拆成,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求 得其和. 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之_ 构成的,那么求这个数列的前n项和时即可用错位相减法. 两项之差 积 题组一常识题 2n-1 (n-1)2n+1+2 题组二常错题 索引:利用分组(或并项)求和法求和时不能准确分组或不分奇数项与偶数项致 错;利用裂项相消法求和时消项出错或不能准确裂项致错;利用错位相减法求和

4、时出现符号错误或不能准确“错项对齐”致错. 5.已知数列an的通项公式为an= (-1)n(2n-2),则数列an的前n项和Sn= . 7. 331+532+(2n+1)3n=. n3n+1 探究点一分组转化法求和 例1已知数列an的前n项和为Sn,且 2Sn=3n2-5n. (1)求数列an的通项公式; 思路点拨利用通项an与前n项和Sn的关 系可求得通项公式. 解:因为在数列an中,2Sn=3n2-5n,所以 2Sn-1=3(n-1)2-5(n-1)(n2), 两式相减得2an=6n-8,即an=3n-4(n2), 当n=1时,a1=S1=-1,满足上式,所以 an=3n-4(nN*).

5、探究点一分组转化法求和 例1已知数列an的前n项和为Sn,且2Sn=3n2-5n. (2)若等比数列bn满足b1=a2,b2=a4,求数列2an-3bn的前n项和Tn. 思路点拨首先根据(1)确定数列2an-3bn的通项,然后分组,利用等差、等比数 列的前n项和公式计算可得结果. 探究点一分组转化法求和 例1已知数列an的前n项和为Sn,且2Sn=3n2-5n. (2)若等比数列bn满足b1=a2,b2=a4,求数列2an-3bn的前n项和Tn. 变式题 2020郴州质检 已知等 比数列an中,a1=1,且a1,a2,a3-1 成等差数列. (1)求数列an的通项公式; 变式题 2020郴州质

6、检 已知等 比数列an中,a1=1,且a1,a2,a3-1 成等差数列. (2)若数列bn满足bn=2n-1+an (nN*),设数列bn的前n项和为 Sn,试比较Sn与n2+2n的大小. 探究点二错位相减法求和 例2 2021河南周口、驻马店联考 设an,bn是关于x的一元二次方程 x2-2n+3x+34n+1=0(nN*)的两根,且anbn. (1)求an,bn,并证明:a1,a2,b1,a3依次成等差数列. 思路点拨根据an,bn是关于x的一元二次方程x2-2n+3x+34n+1=0(nN*)的两根 及anbn,得到an,bn,然后求出a1,a2,b1,a3,即可证明; 解:an,bn是

7、关于x的一元二次方程x2-2n+3x+34n+1=(x-2n+1)(x-32n+1)=0的两根, 且anbn,an=2n+1,bn=32n+1,则a1=4,a2=8,a3=16,b1=12,故a1,a2,b1,a3依次成等差 数列. 探究点二错位相减法求和 例2 2021河南周口、驻马店联考 设an,bn是关于x的一元二次方程 x2-2n+3x+34n+1=0(nN*)的两根,且anbn. (2)设cn=nan+bn,求数列cn的前n项和Sn. 思路点拨由an,bn的通项公式,可得cn=(n+3)2n+1,然后利用错位相减法求和即 可. 探究点二错位相减法求和 例2 2021河南周口、驻马店联

8、考 设an,bn是关于x的一元二次方程 x2-2n+3x+34n+1=0(nN*)的两根,且anbn. (2)设cn=nan+bn,求数列cn的前n项和Sn. 总结反思 (1)若数列cn的通项公式为cn=anbn,且数列an是等差数列,数列 bn是等比数列,则可采用错位相减法求数列cn的前n项和. (2)用错位相减法求和时,应注意在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应将两式“错项 对齐”,即将两式中指数相同的两项对齐,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. 变式题 2020全国卷 设数列 an满足a1=3,an+1=3an-4n. (1)计算a2,a3,猜想an的通项公 式并加以证明;

9、 解:a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得 an+1-(2n+3)=3an-(2n+1), an-(2n+1)=3an-1-(2n-1), a2-5=3(a1-3). 因为a1=3,所以an=2n+1. 变式题 2020全国卷 设数列an满足a1=3,an+1=3an-4n. (2)求数列2nan的前n项和Sn. 解:由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=32+522+723+(2n+1)2n. 从而2Sn=322+523+724+(2n+1)2n+1. -得-Sn=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1. 所以Sn=(2n-1)2n+1+2. 5 5 5

10、C 43 思路点拨由已知求得等差数列an 的首项与公差,进而可得an的通项 公式; 变式题 2020凉山州模拟 设Sn为等差 数列an的前n项和,已知a1+a7=14, S9=81. (1)求an及Sn. 【备选理由】例1考查分组求和法的应用;例2考查利用错位相减法、分组求和 法以及裂项相消法求数列的前n项和;例3考查裂项相消法的应用与不等式的证 明. 例1配合例1使用 2020惠州模 拟 设等差数列an的前n项和为 Sn,S3=9,a4+a5+a6=27. (1)求数列an的通项公式; 例2配合例1、例2、例4使用 2020烟台模拟 在等差数列an中, 已知a6=12,a18=36. (1)求数列an的通项公式;