（2022 高考数学一轮复习(全品版)）第32讲　等比数列及其前n项和.pptx

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3、N*) na1 等比数列定义式(q0且q为常数) 等比中项 通项公式或 前n项和公式 当q=1时,Sn=; 当q1时,Sn= 2.等比数列的性质 已知an是等比数列,Sn是an的前n项和. (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则有aman=. (2)若公比q-1,或q=-1且m为奇数,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成数列, 其公比为. apaq 等比 qm 题组一常识题 1.教材改编设an是等比数列,若 a1=1,a5=16,则a7=. 64 2.教材改编数列an为等比数列,其 前n项和为Sn,若8a2+a5=0,S5=22,则a1= ,公比q=. 2-2 3.

4、教材改编设数列bn为等比数列. 若bn0,且b5b6+b4b7=4, 则b1b2b10=. 解析由b5b6+b4b7=4,可得b5b6=2,则 b1b2b10=(b5b6)5=25=32. 32 题组二常错题 索引:忽视项的符号的判断;忽视等比数列的项不为0的特点;忽视对公比的讨 论;对等比数列的性质不熟导致出错. 5.已知在等比数列an中,a2a3a4=1, a6a7a8=64,则a5=. 2 6.已知x,2x+2,3x+3是一个等比数列 的前三项,则x的值为. 解析由题意得(2x+2)2=x(3x+3),即 x2+5x+4=0,解得x=-1或x=-4.当x=-1 时,x,2x+2,3x+3

5、分别为-1,0,0,不构成一 个等比数列,故x-1;当x=-4 时,x,2x+2,3x+3分别为-4,-6,-9,能构成 一个等比数列.所以x的值为-4. -4 2 2n-1 8.已知等比数列an的前n项和为Sn, 且S5=4,S10=12,则S15=. 解析因为等比数列an的前n项和为 Sn,所以S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,因 为S5=4,S10=12,所以S10-S5=8, S15-S10=16,故S15=12+16=28. 28 探究点一等比数列的基本运算 例1 (1)2020四川南充模拟已 知等比数列an中,a2=1,a5=-8,则 an的前6项和为. 思路点拨首先根

6、据已知条件利用等比数 列的通项公式求得首项a1与公比q,然后利 用前n项和公式求前6项和. (2)已知等比数列an的前n项和为Sn,且S4=2S3+1,2a4=2a3+3a2+2,则a1= . 思路点拨设公比为q,利用等比数列的通项公式与前n项和公式将已知两个等 式化为关于a1,q的方程组,解此方程组即可求得a1. 1 总结反思 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,已 知其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”). (2)运用等比数列的前n项和公式时,注意对公比q=1和q1的分类讨论. C (2)2020吉林辽源调研等比数列an 的前n项和为Sn,且4

7、a1,2a2,a3成等差数 列,若a1=1,则S4= () A.7B.8 C.15D.16 C (3)2020宜宾期末河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗 产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.龙门石窟的某处 “浮雕像”共有7层,每一层的数量是它下一层的2倍,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案. 已知该处共有1016个“浮雕像”,则正中间那层的“浮雕像”的个数为() A.508B.256C.128D.64 D 思路点拨设等比数列an的公比为q, 由题意易知q1,S10,S20-S10,S30-S20为等比 数列,代入求解即可. C (2)2020辽宁锦州

8、一模已知等比数 列an中,a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11 的值为 () A.128B.64 C.16D.8 B 总结反思 (1)在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n项和 公式,建立方程组求解, 若可以灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则有aman=apaq”,则 可减少运算量. (2)等比数列的项经过适当组合后构成的新数列也具有某种性质. 变式题(1)2020唐山调研已知 等比数列an中,an0,a5,a95为方 程x2-10 x+16=0的两根,则 a20a50a80= () A.32B.64 C.256D.64 B (2)

9、2020宜宾四中二诊已知各项都 为正数的数列an,对任意的m,nN*, aman=am+n恒成立,且a3a5+a4=72,则 log2a1+log2a2+log2a7=. 21 思路点拨求出数列的公差,即可得到 数列的前n项和; 探究点三等比数列的判定与证明 例32020福州三模已知数列an 和bn的前n项和分别为 Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn. (1)若数列an为等差数列,求Sn; 思路点拨利用数列的递推关系式推出an+1=an+2bn(n2),bn+1=bn+2an(n2), 然后证明数列an+bn是以3为首项,3为公比的等比数列,数列an-bn是以-1为 首项

10、,-1为公比的等比数列. 探究点三等比数列的判定与证明 例32020福州三模已知数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且 an+1=a1+2Tn. (2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列an+bn和an-bn均为等比数列. 探究点三等比数列的判定与证明 例32020福州三模已知数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且 an+1=a1+2Tn. (2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列an+bn和an-bn均为等比数列. 探究点三等比数列的判定与证明 例32020福州三模已知数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且 an+1=a1+2Tn. (2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列an+bn和an-bn均为等比数列. 【备选理由】例1考查等比数列的基本运算;例2重点考查等比数列的性质;例3 考查等比数列的判定、通项公式与前n项和公式. 例1配合例1使用2020江苏盐 城中学一模设Sn是等比数列an 的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且 a2+a5=2am,则m=. 8 例2配合例2使用2020黄冈黄州 区一中月考已知等比数列an的首 项为1,项数是偶数,且所有的奇数项 之和为85,所有的偶数项之和为170, 则等比数列an的项数为() A.4B.6 C.8D.10 C