第四章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念.pptx

1、大一轮复习讲义 4.1任意角和弧度制、三角函数的概念 第四章三角函数、解三角形 考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 内容 索引 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.角的概念的推广角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着_从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形. (2)分类 按旋转方向不同分为_、_、_. 按终边位置不同分为_和轴

2、线角. (3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个 集合S|k360，kZ. 知识梳理 端点 正角负角零角 象限角 2.弧度制的定义和公式弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记 作rad. 半径长 (2)公式 角的弧度数公式| (弧长用l表示) 角度与弧度的换算 弧长公式弧长l_ 扇形面积公式 S_ |r 3.任意角的三角函数任意角的三角函数 (1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin _，cos _，tan _. y x (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起 点都在

3、x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中 有向线段MP，OM，AT分别叫做角的_，_和_. 正弦线余弦线正切线 1.总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律. 提示一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点， 怎样定义角的三角函数？ 提示设点P到原点O的距离为r， 微思考 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.() (2)角k (kZ)是第一象限角.() (3)若sin ，则 .() (4)300角与60角的终边相同

4、.() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.终边落在第一象限角平分线上的角的集合是_. (用角度表示) |k360 45 ， kZ 3.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度. 4.若角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 P(1,2)，则sin cos tan _. 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.(多选)已知角2的终边在x轴的上方，那么角可能是 A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 解析因为角2的终边在x轴的上方， 所以k3602k360180，kZ， 则有k180k18090，kZ. 故当k2n，nZ时，n360n36090，

5、nZ，为第一象 限角； 当k2n1，nZ时，n360180n360270，nZ， 为第三象限角 故选AC. 6.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(1，y)是 角终边上的一点，且sin ，则y_. 3 所以y0， 解得y3. TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 1.下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是 A.2k45(kZ)B.k360 (kZ) C.k360315(kZ)D.k (kZ) 但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确. 题型一角及其表示 自主演练 3.设集合M ， N ， 那么 A.MN B.MN C.NMD.MN 解析由

6、于M中，x 18045k9045(2k1)45，2k 1是奇数； 而N中，x 18045k4545(k1)45，k1是整数， 因此必有MN，故选B. 解析是第二象限角， 一或三 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与 这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋 值来求得所需的角. (2)确定k， (kN*)的终边位置的方法 先写出k或 的范围，然后根据k的可能取值确定k或 的终边所在位置. 思维升华 例1一扇形的圆心角 ，半径R10 cm，求该扇形的面积. 题型二弧度制及其应用 师生共研 引申探究 1.若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓

7、形的面积. S弓形S扇形S三角形 2.若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角为 多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解由已知得，l2R20，则l202R(0R10). 所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad. (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三 角形. 应用弧度制解决问题的方法 思维升华 跟踪训练1(1)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，其 中有这样一个问题：“今有宛田，下

8、周三十步，径十六步.问为田几何？” 其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步， 问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为 A.120B.240C.360 D.480 解析圆的直径为16步， 圆的半径为8步， 又弧长为30步， 题型三三角函数的概念 师生共研 解析设O为坐标原点， 则4k24k2(kZ)， 所以2的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上， 所以sin 20，cos 2可正可负也可为零. (1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函 数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置. (2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象

9、限，然后结 合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注 意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 思维升华 KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.给出下列四个命题： 是第二象限角； 是第三象限角；400是第四象限 角；315是第一象限角. 其中正确命题的个数为 A.1B.2C.3D.4 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 中40036040，从而正确. 中31536045，从而正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三

10、象限D.第四象限 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意知tan 0，cos 0，根据三角函数值的符号规律可知，角 的终边在第二象限.故选B. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.若角的终边在直线yx上，则角的取值集合为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由图知，角的取值集合为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设扇形的圆心角为， 5.(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项可能正确的有 A.圆的半径为2B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1D.圆心角的

11、弧度数是2 解析设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为， 12345678910 11 12 13 14 15 16 可得圆心角的弧度数是4或1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)关于角度，下列说法正确的是 A.时钟经过两个小时转过的角度是60 B.钝角大于锐角 C.三角形的内角必是第一或第二象限角 D.若是第二象限角，则 是第一或第三象限角 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A，时钟经过两个小时转过的角度是60，故错误； 对于B，钝角一定大于锐角，显然正确； 对于C，若三角形的内角为90，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误

12、； 对于D，角的终边在第二象限， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_. 解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r， 9.已知点P(sin ，cos )是角终边上的一点，其中 ，则与角终边相 同的最小正角为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小 无关； 若sin sin ，则与的终边相同； 若cos 0，

13、所以是第四象限角. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.若角的终边过点P(4a,3a)(a0). (1)求sin cos 的值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为角的终边过点P(4a,3a)(a0)， 所以x4a，y3a，r5|a|， (2)试判断cos(sin )sin (cos )的符号. 12345678910 11 12 13 14 15 16 综上，当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为负； 当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为正. 12345678910 11 12 13 14 15

14、16 技能提升练 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析角的终边在第一象限， 14.(2018北京)在平面直角坐标系中 ， ， ， ，是圆 x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为 始边，OP为终边，若tan cos sin ，不满足； 在 上，tan sin ，不满足； 在 上，sin 0，cos 0，tan tan ，满足； 在 上，tan 0，sin 0，cos 0，不满足.故选C. CD EF GH AB 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 12345678910 11 12 13 14 15 16 又由s

15、in cos 0知，sin 0， 所以角只能是第三象限角. 记P为角的终边与单位圆的交点， 设P(x，y)(x0，y0)， 则|OP|1(O为坐标原点)， 即x2y21， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.在一块顶角为120、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用 电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要 切割时间最短，问哪一种方案最优？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为AOB是顶角为120、腰长为2的等腰三角形， 12345678910 11 12 13 14 15 16 由此可见：两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短. 因此方案一最优. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：