（2022高考数学一轮复习(全品版)）第57讲变量间的相关关系、统计案例.pptx

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3、关系,我们将它称为正相关. (2)负相关 在散点图中,点散布在从到的区域,两个变量的这种相关关系 称为负相关. (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在,就称这两个变量之间 具有线性相关关系,这条直线叫作回归直线. 左下角右上角 左上角右下角 一条直线附近 距离的平方和最小 相关关系 正相关 负相关 越强 几乎不存在线性相关关系0.75 y1y2总计 x1aba+b x2cdc+d 总计a+cb+da+b+c+d 不同类别 频数表 a+b+c+d (3)独立性检验 利用随机变量来判断“两个分类变量”的方法称为独立性检 验. K2有关系 1.教材改编下列关系中,属于相

4、关关系的是.(填序号) 正方形的边长与面积; 农作物的产量与施肥量; 人的身高与眼睛近视的度数; 哥哥的数学成绩与弟弟的数 学成绩. 题组一常识题 解析对于,正方形的边长与面积之间的 关系是函数关系,不是相关关系;对于,农作 物的产量与施肥量之间不具有严格的函数 关系,但具有相关关系;对于,人的身高与眼 睛近视的度数之间的关系既不是函数关系 也不是相关关系;对于,哥哥的数学成绩与 弟弟的数学成绩之间既不是函数关系也不 是相关关系. 2.教材改编对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,10), 得到散点图如图9-57-1所示;对变量u,v有观测数据 (ui,vi)(i=1,2,10),

5、得到散点图如图9-57-1所示.由 这两个散点图可以判断,变量x与y,u与v .(填正相关、负相关或不相关) 解析由这两个散点 图可以判断,变量x与y 负相关,u与v正相关. 负相关 正相关 图9-57-1 3.教材改编为调查中学生的近视情况,测得 某校150名男生中有80名近视,140名女生中 有70名近视.在检验这些学生眼睛是否近视 与性别的相关关系时,用下列哪种方法最有 说服力 () A.回归分析B.均值与方差 C.独立性检验 D.概率 解析“近视”与“性别”是两类 变量,其是否有关,应用独立性 检验判断. C 4.教材改编某车间为了确定加工某零件所 花费的时间,进行了5次试验.根据收集

6、到的 数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程 为=0.67x+54.9. 现发现表中有一个数据看不清,则该数据的 值为. 68 零件数x(个)1020304050 加工时间y(分钟)62758189 题组二常错题 索引:混淆相关关系与函数关系致误;利用回归方程分析问题时,将所得的数据 误认为是准确值;忽视回归直线必过样本点的中心. 5.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究 人员获得了一组样本数据,并制作 成如图9-57-2所示的人体脂肪含量 与年龄关系的散点图.根据该图知, 人体脂肪含量与年龄相关,且 脂肪含量的中位数20%. 解析因为散点图呈现上 升趋势,所以人体脂肪含 量与年龄正

7、相关.因为最 中间两个数据大约介于 15到20之间,所以脂肪含 量的中位数小于20%. 正 图9-57-2 小于 7.某设备的使用年限x与其维修费用y的统 计数据如下表: 根据上表可得回归直线方程为=1.3x+, 据此模型预测,若使用年限为14年,则维修 费用约为万元. 使用年限x(年)23456 维修费用y(万 元) 1.54.55.56.57.0 探究点一变量间相关关系的判断 例1 (1)2020山东临沂模拟在如图所示的各 图中,两个变量具有线性相关关系的是 () A.B. C.D. A 解析图中,所有的点 都分布在一条直线附近,具有 线性相关关系.故选A. 总结反思对两个变量的相关关系的

8、判断有两个方法:一是根据散点图进行判 断,具有很强的直观性,直接得出两个变量是正相关或负相关,线性回归分析以 散点图为基础,拟合效果的好坏可由散点图直接判断;二是计算相关系数法,这 种方法能比较准确地反映相关程度,相关系数的绝对值越接近1,相关性就越强, 相关系数就是描述相关性强弱的,相关性有正相关和负相关,强相关和弱相关. 变式题 (1)已知变量x的取值为3,4,5,6,7,变 量y对应的值分别为4,2.5,-0.5,-1,-2;变量u 的取值为1,2,3,4,变量v对应的值分别为 2,3,4,6.则变量x和y,变量u和v的相关关系 是() A.变量x和y是正相关,变量u和v是正相关 B.变

9、量x和y是正相关,变量u和v是负相关 C.变量x和y是负相关,变量u和v是负相关 D.变量x和y是负相关,变量u和v是正相关 D 解析变量x增加,变量y减少,所 以变量x和y是负相关;变量u增 加,变量v也增加,所以变量u和v 是正相关.故选D. (2)2020辽宁多校联盟模拟相关变量x,y的散点图如 图9-57-5所示,现对这两个变量进行线性相关分析,方案 一:根据图中所有数据,得到回归直线方程,相 关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下数据得到 回归直线方程,相关系数为r2.则() A.0r1r21 B.0r2r10 C.-1r1r20 D.-1r2r10 解析由散点图得x

10、与y负相关,所以 r1,r20,因为剔除点 (10,21)后,剩下的数 据线性相关性更强, 所以-1r2r10.故 选D. D 图9-57-5 月份代码t1234567 销售量y(万件)y1y2y3y4y5y6y7 (1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系. 思路点拨根据题中数据,计算相关系数的值,即可得出结论. (2)求y关于t的回归方程 (系数精确到0.01). 思路点拨根据题中数据,计算出,即可得到回归 方程. 思路点拨将t=8代入(2)中得到的方程, 结合题中条件,即可求出结果. 总结反思回归分析问题的类型及解题方法: (1)求回归直线方程. 根据散点图判断两变量

11、是否线性相关. 利用公式,求出回归系数. 利用回归直线过样本点的中心求系数. (2)利用回归方程进行预测,把回归直线方程看作一次函数,求函数值. (3)利用回归直线判断正、负相关,决定正相关还是负相关的是系数. (4)可以利用R2来判断模型的拟合效果.当R2越大,模型的拟合效果越好;当R2越 小,模型的拟合效果越差. 月份789101112 销售单价x(元)99.51010.5118 销售量y(千件)111086514 (1)根据7至11月份的数据,求 出y关于x的回归直线方程. (2)若由回归直线方程得到的 估计数据与剩下的检验数据 的误差不超过0.5,则认为得 到的回归直线方程是理想的,

12、试问(1)中的回归直线方程是 否理想? (3)预计在今后的销售中,销 售量与销售单价仍然服从(1) 中的关系,若该种机器配件 的成本是2.5元/件,那么该配 件的销售单价应定为多少元 才能获得最大利润? (注:利润=销售收入-成本) 解:设利润为W,则W=(x-2.5)(-3.2x+40) 1000=-3200 x2+48000 x-100000=-3200(x- 7.5)2+80000, 所以当x=7.5时,W取得最大值. 故该产品的销售单价定为7.5元时,获得的 利润最大. 例3 某科研单位研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究,发现该细菌繁殖 的个数y(单位:个)随时间x(单位:天)的变

13、化情况如表1: 表1 令=lny,与y的对应关系如表2: 表2 探究点三非线性回归方程及应用 x123456 y510265096195 y510265096195 1.612.303.263.914.565.27 9-57-6 思路点拨根据散点图可直接得到结果.(1)根据散点图判断, 与,哪一个更适合作为细 菌的繁殖数量y关于时间x的回归 方程类型?(给出判断即可,不必说 明理由) (2)根据(1)的判断结 果及表中数据,建立y 关于x的回归方程(系 数精确到0.01). 思路点拨利用还原法,将非线性的转化为线性 的,然后根据线性回归系数计算公式计算 即可. (3)若要使细菌的繁殖数量不超过

14、 4030个,请根据(2)的结果预测细菌 繁殖的天数不超过多少天? 思路点拨根据(2)的结论,计算= e0.74x+0.904030即可. 解:当=e0.74x+0.904030 时,0.74x+0.90ln40308.30, 所以0.74x8.30-0.90=7.4,所以x10, 故细菌繁殖的天数不超过10天. 总结反思解决非线性回归分析问题的一般思路是换元,化非线性为线性进而 应用线性回归的方法进行求解.如y=x型,首先两端取对数得lgy=lg+lgx,令 y=lgy,x=lgx,则y=lg+x,进而通过求解回归直线方程系数的办法求解即可. 变式题 习近平总书记在十九大报告中指出,必须树立

15、和践行“绿水青山就是金山银山” 的生态文明发展理念.某苗圃基地拟选用某种植物支援荒山绿化,在相同种植条件下,对 该种植物幼苗从种植之日起,第x天的高度y(单位:cm)进行观测,下表是某株幼苗的观测 数据: 作出散点图如图9-57-7所示. 附: 图9-57-7 第x天14916253649 高度y0479111213 140285615674676283 (1)请根据散点图判 断, 哪一个更适宜作为幼苗高度y 关于时间x的回归方程类 型?(给出判断即可,不必说明 理由) (2)根据(1)的判断结果 及表中数据,建立y关于 x的回归方程(系数精确 到0.1).已知幼苗的高度 达到29cm才可以移

16、植, 预测幼苗需要在苗圃基 地培育多长时间? 探究点四独立性检验 P(K2k0)0.1000.0500.0100.001 k02.7063.8416.63510.828 思路点拨根据列联表,计算K2的值,结合附表,即可得到结论. P(K2k0)0.0100.0050.001 k06.6357.87910.828 【备选理由】例1考查了回归模型的拟合及应用与相关系数的求法;例2考查了 统计案例的有关知识,通过实际背景训练学生分析与解决问题的能力.例3通过 茎叶图中的数据完成列联表,锻炼学生分析、整理数据的能力,是对例4的补充. 例1配合例2使用湖南省从2021年开始将全面推行“3+1+2”的新高

17、考模式,新高考对化 学、生物、地理和政治四门选考科目,制定了计算转换分T(即记入高考总分的分数)的 “等级转换赋分规则”(详见附1和附2),具体的转换步骤为:原始分Y等级转换;原始分 等级内等比例转换赋分. 某校的一次年级统考中,政治、生物两选考科目的原始分(均为整数)分布如表: 等级ABCDE 比例约15%约35%约35%约13%约2% 政治学科各等级对应 的原始分区间 81,9872,8066,7163,6560,62 生物学科各等级对应 的原始分区间 90,10077,8969,7666,6863,65 现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据,作出茎叶图如图所示. 附1

18、:等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间. 等级ABCDE 原始分从高到低排序的等级 人数占比 约15%约35%约35% 约13%约2% 转换分T的赋分区间86,100 71,85 56,70 41,55 30,40 解:根据茎叶图知,政治成绩的中位数为72,生 物成绩的众数为73. (1)根据茎叶图,分别求出政 治成绩的中位数和生物成 绩的众数; (2)该校的甲同学选考政 治学科,其原始分为82,乙 同学选考生物学科,其原 始分为91,根据赋分转换 公式,分别求出这两位同 学对应学科的转换分; (3)根据生物成绩在等级B 的6个原始分和对应的6个 转换分,得到样本数据 (Yi,Ti)

19、(i=1,2,6),请计算生 物原始分Y与生物转换分T 之间的相关系数r,并根据这 两个变量的相关系数谈谈 你对新高考这种“等级转换 赋分规则”的看法. 例2 配合例3使用2020福建莆田模拟为了研究历年某电商平台的销售额的变化趋 势,某机构统计了2010年到2019年该电商平台的销售额数据y(单位:亿元),如下表: 根据以上数据绘制散点图,如图所示. 年份201020112012201320142015201620172018 2019 编号x12345678910 销售额y0.98.722.4416594132.5 172.5218268 (1)根据散点图判断, 哪一个更适合作为销售额y关

20、于x的回归方程 类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结 果及表中的数据,建 立y关于x的回归方程, 并预测2021年该电商 平台的销售额.(注:数 据保留小数点后一位) (3)把销售额不超过100亿 元的年份叫“平销年”,把 销售额低于10亿元的年 份叫“试销年”,从2010年 到2019年这十年的“平销 年”中任取2个,用表示取 到“试销年”的个数,求的 分布列和数学期望. 012 P P(K2k0)0.100.050.010 0.005 0.001 k02.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)根据所给数据完成下面的22列 联表. 解:补全22列联表如下: 喜食蔬菜 喜食肉类 总计 35岁以上 35岁以下 总计 喜食蔬菜 喜食肉类 总计 35岁以上16218 35岁以下4812 总计201030 (2)能否有99%的把握认为该单位 员工的饮食习惯与年龄有关?