（2022高考数学一轮复习(创新设计)）加强练(十二)　平面解析几何.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 加强练(十二)平面解析几何 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1(2021温州适应性考试)双曲线 2y2x21 的一个顶点坐标是() A( 2，0)B. 2 2 ，0 C(0， 2)D. 0， 2 2 答案D 解析双曲线 2y2x21 的标准方程为y 2 1 2 x21，则其顶点坐标为 0， 2 2 ，故 选 D. 2已知 0 4，则双曲

2、线 C 1： x2 sin2 y2 cos21 与 C 2： y2 cos2 x2 sin21 的( ) A实轴长相等B虚轴长相等 C离心率相等D焦距相等 答案D 解析0 4，sin 0， b0)的一条渐近线的倾斜角为 130， 则 C 的离心率为() A2sin 40B2cos 40 C. 1 sin 50 D. 1 cos 50 答案D 解析由题意可得b atan 130， 所以 e1b 2 a2 1tan 2130 1sin 2130 cos2130 1 |cos 130| 1 cos 50.故选 D. 5已知 F1，F2分别为椭圆 C： x2 4 y 2 3 1 的左、右焦点，点 P

3、为椭圆 C 上的动点， 则PF1F2的重心 G 的轨迹方程为() A.x 2 36 y2 271(y0) B.4x 2 9 y21(y0) C.9x 2 4 3y21(y0)Dx24y 2 3 1(y0) 答案C 解析依题意知 F1(1，0)，F2(1，0)，设 P(x0，y0)， G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得 xx011 3 ， yy0 3 即 x03x， y03y， 代入x 2 0 4 y 2 0 3 1， 得重心 G 的轨迹方程为9x 2 4 3y21(y0) 6已知抛物线 y24x，过点 P(4，0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2) 两点，则 y21

4、y 2 2的最小值为() A12B24C16D32 答案D 解析当直线的斜率不存在时，其方程为 x4，由 x4， y24x，得 y 14，y24， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 y21y2232.当直线的斜率存在时，设其方程为 yk(x4)，由 y24x， yk（x4） ，得 ky24y16k0，y1y24 k，y 1y216，y21y22(y1y2)22y1y216 k2 32 32，综上可知，y21y2232.y21y 2 2的最小值为 32.故

5、选 D. 7已知点 P 是椭圆x 2 16 y2 8 1(x0，y0)上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点， O 是原点，若 M 是F1PF2的角平分线上一点，且F1M MP ，则|OM |的取值范围 是() A0，3B(0，2 2) C2 2，3)D0，4 答案B 解析采用特殊点法，当点 P 在椭圆短轴端点，垂足 M 与原点重合时，|OM |最小 为 0，当点 P 在椭圆长轴端点，垂足 M 与 F1重合时，此时|OM |最大为|OF1 |c 2 2，但此时F1PF20，所以选 B. 8(2020山东卷改编)已知曲线 C：mx2ny21，下列结论不正确的是() A若 mn0，则 C 是椭圆，其

6、焦点在 y 轴上 B若 mn0，则 C 是圆，其半径为 n C若 mn0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 ym n x D若 m0，n0，则 C 是两条直线 答案B 解析对于 A，当 mn0 时，有1 n 1 m0，方程化为 x2 1 m y 2 1 n 1，表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确； 对于 B，由 mn0，方程变形为 x2y21 n，该方程表示半径为 1 n的圆，故 B 错误； 对于 C，由 mn0 知曲线表示双曲线，其渐近线方程为 ym n x， 故 C 正确； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高

7、中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 对于 D，当 m0，n0 时，方程变为 ny21 表示两条直线，故 D 正确 9(2020天津卷)设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，过抛物线 y 24x 的焦点和点(0， b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行， 另一条渐近线与 l 垂直， 则双曲线 C 的方程为() A.x 2 4 y 2 4 1Bx2y 2 4 1 C.x 2 4 y21Dx2y21 答案D 解析由题意知抛物线的焦点为 F(1，0)，直线 l 的斜率 klb0 01b b a，解得 a1. 又b a(b)1，ba1，

8、 双曲线 C 的方程为 x2y21.故选 D. 10(2021杭州质检)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，抛 物线 y22px(p0)的焦点为 F2.设两曲线的一个交点为 P，若PF2 F1F2 1 6p 2，则椭 圆的离心率为() A.1 2 B. 2 2 C. 3 4 D. 3 2 答案A 解析设椭圆的焦点为 F1(c，0)，F2(c，0)，由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重 合得 p2c.由椭圆和抛物线的对称性不妨设点 P(x0，y0)位于第一象限，则由 PF2 F1F2 2c(cx0)1 6p 22 3c 2得 x02 3c，代入抛物线方程得 y

9、 2 08 3c 2.又因为点 P 在椭圆上，则4c 2 9a2 8c2 3b21，即 4b 2c224a2c29a2b2，化简得 4e437e290.因 为 0e0)经过点(3， 4)，则 b_，该双曲线的渐近线方程是_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案2y 2x 解析因为双曲线 x2y 2 b21(b0)经过点(3， 4)， 所以 9 16 b21(b0)， 解得 b 2， 即双曲线方程为 x2y 2 2 1，其渐近线方程为 y 2x. 12(

10、2020新高考山东卷)斜率为 3的直线过抛物线 C：y24x 的焦点，且与 C 交 于 A，B 两点，则|AB|_ 答案 16 3 解析由题意得，抛物线焦点为 F(1，0)， 设直线 AB 的方程为 y 3(x1) 由 y 3（x1） ， y24x， 得 3x210 x30. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x210 3 ， 所以|AB|x1x2216 3 . 13(2020浙江新高考仿真三)加斯帕尔蒙日是 19 世纪著名的几何学家，创立了 画法几何学， 推动了空间解析几何学的独立发展 他给出了蒙日圆的定义， 即“在 椭圆中， 任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上， 它

11、的圆心是椭圆中心， 半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根”已知椭圆方程为x 2 5 y 2 4 1，写 出该椭圆任意两条互相垂直的切线的交点形成的圆的方程_；过点(3，6) 且与该圆相切的直线的一般方程为_ 答案x2y29x3 或 3x4y150 解析由题意得椭圆的中心为(0，0)，长半轴为 5，短半轴为 2，则其蒙日圆的 圆心为(0，0)，半径为 543，所以所求圆的方程为 x2y29；当过点(3，6) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 的直线斜率

12、不存在时， 直线方程 x3 与圆相切；当过点(3，6)的直线斜率存在时， 设其方程为 yk(x3)6， 即 kxy3k60， 则由直线与圆相切得|3k6| k21 3，解得 k3 4，则所求直线方程为 3 4xy3 3 460，即 3x4y150.综上所 述，过点(3，6)且与该圆相切的直线的一般方程为 x3 或 3x4y150. 14(2021镇海中学模拟)已知点 A(4，4)在抛物线 y22px(p0)上，该抛物线的焦 点为 F，过点 A 作直线 l：xp 2的垂线，垂足为 B，则 p_，BAF 的 平分线所在的直线方程为_ 答案2y1 2x2 解析因为点 A(4，4)在抛物线 y22px

13、(p0)上，所以 4224p，解得 p2，则 抛物线的焦点为 F(1，0)，直线 l 为 x1，为抛物线的准线，则易得|AF|AB| 5.设BAF 的平分线交 x 轴于点 C，则有ACFBACCAF，所以|FC| |AF|5，则点 C(4，0)，所以直线 AC 的方程为 y 40 4（4）x(4)，即 y 1 2x2. 15(2021宁波十校联考)已知直线 l：yk(x1)(k0)，椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1，点 F(1， 0)， 若直线和椭圆有两个不同交点 A， B， 则ABF 的周长是_， ABF 的重心纵坐标的最大值是_ 答案8 3 6 解析因为直线 l：yk(x1)(k0)过

14、椭圆 C 的左焦点(1，0)，所以ABF 的 周长为点 A，B 分别到两焦点的距离之和，即周长为 2a2a4a8；设点 A(x1， y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为(x0，y0)，且2x00)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛 物线上，且满足FA FBFC0，则1 kAB 1 kAC 1 kBC_ 答案0 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F p 2，0，由FA FBFC 0，得 y1 y2y30.因为 kABy2y1 x2x1 2p y1y2， 所以 k AC 2p y1y3， k BC 2p y2y3， 所以 1 kAB 1 kAC 1 kBC y1y2

15、 2p y3y1 2p y2y3 2p 0. 17(2021衢州、湖州、丽水质检)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 是双曲线 x2 a2 y2 b21(a0， b0)上的异于顶点的任意一点， 过点 M 作双曲线的切线 l， 若 k OMkl 1 3，则双曲线的离心率 e_ 答案 2 3 3 解析设点 M(x0，y0)，则 kOMy0 x0.又双曲线在点 M 处的切线方程为 xx0 a2 yy0 b2 1， 即 yb 2x0 a2y0 x b2 y0，即在点 M 处的切线的斜率 k lb 2x0 a2y0.因为 k OMkly0 x0 b2x0 a2y0 b2 a2 1 3， 所以双曲线

16、的离心率 e1b 2 a2 11 3 2 3 3 . 三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 18(本小题满分 14 分)(2020全国卷)已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直 线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|4 3|AB|. (1)求 C1的离心率； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854

17、 期待你的加入与分享 (2)设 M 是 C1与 C2的公共点若|MF|5，求 C1与 C2的标准方程 解(1)由已知可设 C2的方程为 y24cx，其中 c a2b2. 不妨设 A，C 在第一象限，由题设得 A，B 的纵坐标分别为b 2 a ，b 2 a ；C，D 的纵 坐标分别为 2c，2c，故|AB|2b 2 a ，|CD|4c. 由|CD|4 3|AB|得 4c 8b2 3a ，即 3c a22 c a 2 . 解得c a2(舍去)或 c a 1 2. 所以 C1的离心率为1 2. (2)由(1)知 a2c，b 3c，故 C1： x2 4c2 y2 3c21. 设 M(x0，y0)，则

18、x20 4c2 y20 3c21，y 2 04cx0， 故 x20 4c2 4x0 3c 1. 因为 C2的准线为 xc， 所以|MF|x0c，而|MF|5，故 x05c， 代入得（5c） 2 4c2 4（5c） 3c 1， 即 c22c30，解得 c1(舍去)或 c3. 所以 C1的标准方程为x 2 36 y2 271， C2的标准方程为 y212x. 19(本小题满分 15 分)(2021北京丰台区一模)如图，已知抛物线 x2y，点 A 1 2， 1 4 ，B 3 2， 9 4 ，抛物线上的点 P(x，y) 1 2x 3 2 ，过点 B 作直线 AP 的垂 线，垂足为 Q. (1)求直线

19、AP 斜率的取值范围； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)求|PA|PQ|的最大值 解(1)由题意得 P(x，x2)，1 2x 3 2. 设直线 AP 的斜率为 k，故 k x21 4 x1 2 x1 2(1，1)， 故直线 AP 斜率的取值范围为(1，1) (2)由(1)知 P(x，x2)，1 2x 3 2， 则直线 AP 的方程为：ykx1 2k 1 4， 直线 BQ 的方程为：y1 kx 3 2k 9 4， 联立直线AP与BQ的方程 ykx1

20、 2k 1 4， y1 kx 3 2k 9 4， 解得点Q的横坐标是xQ34kk 2 2k22 ， 因为|PA| 1k2 x1 2 1k2(k1)， |PQ| 1k2(xQx)（k1） （k1） 2 k21 ， 所以|PA|PQ|(k1)(k1)3， 令 f(k)(k1)(k1)3，则 f(k)(4k2)(k1)2， 当 k 1，1 2 时，f(k)0；当 k 1 2，1时，f(k)0， 所以 f(k)在区间 1，1 2 上单调递增，在区间 1 2，1上单调递减因此当 k1 2时， |PA|PQ|取得最大值27 16. 20(本小题满分 15 分)(2019浙江卷)如图，已知点 F(1，0)为

21、抛物线 y22px(p0) 的焦点过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得ABC 的 重心 G 在 x 轴上， 直线 AC 交 x 轴于点 Q， 且 Q 在点 F 的右侧 记AFG， CQG 的面积分别为 S1，S2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求 p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S1 S2的最小值及此时点 G 的坐标 解(1)由题意得p 21，即 p2. 所以抛物线的准线方程为 x1. (2)设 A(xA，

22、yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心 G(xG，yG) 令 yA2t，t0，则 xAt2. 由于直线 AB 过 F，故直线 AB 的方程为 xt 21 2t y1， 代入 y24x，得 y22（t 21） t y40， 故 2tyB4，即 yB2 t ，所以 B 1 t2， 2 t . 又 xG1 3(x AxBxC)，yG1 3(y AyByC)及重心 G 在 x 轴上，得 2t2 t yC0， 得 C 1 t t 2 ，2 1 t t ，G 2t42t22 3t2 ，0 . 所以直线 AC 的方程为 y2t2t(xt2)， 得 Q(t21，0) 由于 Q 在焦点 F 的右侧，故

23、 t22.从而 S1 S2 1 2|FG|y A| 1 2|QG|y C| 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 | 2t42t22 3t2 1|2t| |t 212t 42t22 3t2 | 2 t 2t| 2t 4t2 t41 2t 22 t41. 令 mt22，则 m0， S1 S22 m m24m32 1 m3 m4 2 1 2m3 m4 1 3 2 . 当 m 3时，S1 S2取得最小值 1 3 2 ，此时 G(2，0) 21(本小题满分 15 分

24、)(2020北京卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 A(2， 1)，且 a2b. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 B(4，0)的直线 l 交椭圆 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别交直线 x 4 于点 P，Q，求|PB| |BQ|的值 解(1)由椭圆过点 A(2，1)，得 4 a2 1 b21. 又 a2b， 4 4b2 1 b21，解得 b 22， a24b28，椭圆 C 的方程为x 2 8 y 2 2 1. (2)当直线 l 的斜率不存在时，显然不合题意 设直线 l：yk(x4)， 由 yk（x4） ， x24y28 得(4k21)x232k2x64k

25、280. 由0，得1 2k 1 2. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x232k 2 4k21，x 1x264k 28 4k21 . 又直线 AM：y1y11 x12(x2)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 令 x4，得 yP2（y11） x12 1. 将 y1k(x14)代入，得 yP（2k1） （x14） x12 . 同理 yQ（2k1） （x24） x22 . yPyQ(2k1) x14 x12 x24 x22 (2k1)2x

26、1x26（x1x2）16 （x12） （x22） (2k1) 2（64k28） 4k21 6（32k 2） 4k21 16 （x12） （x22） (2k1)128k 216192k264k216 （4k21） （x12） （x22）0. |PB|BQ|，|PB| |BQ|1. 22(本小题满分 15 分)(2021衢州、湖州、丽水质检)如图，设抛物线 y22px(p 0)的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1. (1)求 p 的值； (2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的 直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点

27、 M，求 M 的横坐标的取值范围 解(1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x1 的距 离， 由抛物线的定义得p 21，即 p2. (2)由(1)得抛物线方程为 y24x，F(1，0)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 可设 A(t2，2t)，t0，t1. 因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF：xsy1(s0)，由 y24x， xsy1，消去 x 得 y24sy40. 故 y1y24，所以 B 1 t2， 2 t . 又直线 AB 的斜率为 2t t21， 故直线 FN 的斜率为t 21 2t ， 从而得直线 FN：yt 21 2t (x1)，直线 BN：y2 t . 所以 N t23 t21， 2 t . 设 M(m，0)，由 A，M，N 三点共线得 2t t2m 2t2 t t2t 23 t21 ， 于是 m 2t2 t21 ，所以 m0 或 m2. 经检验，m0 或 m2 满足题意 综上，点 M 的横坐标的取值范围是(，0)(2，)