（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第9节　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 9 节圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 知 识 梳 理 1最值问题的常用方法 几何转化代数法：将常见的几何问题所涉及的结论转化为代数问题求解常见的 几何问题所涉及的结论：(1)两圆相切时半径的关系；(2)三角形三边的关系；(3) 动点与定点构成线段的和或差的最值， 经常在两点共线时取到， 注意同侧与异侧； (4)几何法转化所求目标，常见的有勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等 函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特

2、征不明显，则可以建立目标函 数，再求出这个函数的最值求函数最值的常用方法有(1)配方法；(2)基本不等式 法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法；(6)导数法等 2范围问题常用方法 几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用 圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决 用代数法求解范围：代数法求范围问题，常需要根据条件构造关于某个变量的不 等式或函数表达式， 然后利用求解不等式、 基本不等式、 函数值域(导数与不等式、 导数与方程)、法等方法求出范围，要特别注意变量的取值范围 3证明问题常用方法 代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉

3、及线段或角相 等以及位置关系等等证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数， 用代数方法证明 1圆锥曲线的弦长问题 设直线与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦|AB| （x1x2）2（y1y2）2 1k2|x1x2|11 k2|y 1y2|. 2设直线方程时要考虑斜率不存在的情况 3直线与圆锥曲线相交，联立方程组，消元后需为一元二次方程且不能忽略判别 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 式大于零 诊 断 自

4、测 1 (2020浙江三校三联)已知过原点 O 的射线 l 与圆(x1)2(y1)22 交于点 P， 与椭圆x 2 3 y21 交于点 Q，则|OP|OQ|的最大值为() A4B2 2C2 3D2 答案A 解析由圆的方程易得以原点 O 和点 A(2，2)为端点的线段为圆的一条直径，且 点 O，P，Q 在同一条直线上，又因为点 P 在圆上，则 OPPA，因为点 Q 在椭 圆上，则不妨设点 Q 的坐标为( 3cos ，sin )，则|OP|OQ|OP OQ OP OQ PA OQ OQ OA 2 3cos 2sin 4sin 3 4，所以|OP|OQ|的最大值为 4， 故选 A. 2(一题多解)(

5、2021长沙四校一联)已知点 F1，F2分别是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b 0)的左、右焦点，在双曲线的右支上存在一点 P，使|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等比 数列，则该双曲线的离心率的取值范围是() A2 5，)B4，) C4，2 5D2 3，) 答案A 解析法一令|PF1|m，|PF2|n，则由|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等比数列，得 m2 n|F1F2|.又 mn2a，|F1F2|2c，所以 m22(m2a)c，即 m22mc4ac0， 则4c216ac，且 mcc24ac.根据0，得 e4.由 mca，得 c24aca，c24aca2，e24e10，所

6、以 e2 5.故选 A. 法二令|PF1|m，|PF2|n，则由|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等比数列，得 m2n|F1F2|. 又 mn2a，|F1F2|2c，所以(n2a)22nc，即 n2(4a2c)n4a20，则 4c216ac， 且nc2a c24ac.根据0， 得e4.由nca， 得 c24aca， c24aca2，e24e10，所以 e2 5.故选 A. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3(2021南宁模拟二)已知抛物线 x22p

7、y(p0)的准线方程为 y1，ABC 的 顶点 A 在抛物线上，B，C 两点在直线 y2x5 上，若|AB AC|2 5，则ABC 面积的最小值为() A5B4C.1 2 D1 答案D 解析依题意得抛物线方程 x24y，因为|AB AC|2 5，所以|CB |2 5，将 y 2xb 代入 x24y 得 x28x4b0，由6416b0 得 b4.此时抛物线 的切线为 y2x4，则两条平行线之间距离为 d 1 5，即点 A 到直线 y2x5 的最小距离，故 SABC的最小值为 1 2|BC|d1. 4椭圆x 2 9 y 2 161 的任意点到直线 l：xy7 的最短距离为_ 答案2 解析设直线 x

8、yk 是椭圆的切线，即 yxk，代入椭圆方程x 2 9 （xk） 2 16 1，即 25x218kx9k21440，则(18k)2425(9k2144)0，解得 k5 或5，则直线为 xy5，两直线间的距离为 2 2 2，此为最短距离 5(2021杭州学军中学模拟)已知椭圆 C： x2 4 y21，P(a，0)为 x 轴上一动点若 存在以点 P 为圆心的圆 P，使得椭圆 C 与圆 P 有四个不同的公共点，则 a 的取值 范围是_ 答案 3 2， 3 2 解析因为圆 P 的圆心在 x 轴上， 则由椭圆和圆的对称性得椭圆 C 与圆 P 的四个 不同的公共点两两关于 x 轴对称，设在 x 轴上方的两

9、个交点为 A(x1，y1)，B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 ykxb，与椭圆方程联立消去 y 化简得(4k21)x28kbx 4b240，由64k2b24(4k21)(4b24)0 得 b24k21，此时 x1x2 8kb 4k21 ， 则 y1 y2 k(x1 x2) 2b 2b 4k21 ， 则 AB 的 中 点 坐 标 为 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4kb 4k21， b 4k21 ，线段 AB 的垂直平分线方程为 y b 4k2

10、1 1 k x 4kb 4k21 ， 令 y0 得点 P 的横坐标 a 3kb 4k21， 则 a 2 9k2b2 （4k21）2 9k2（4k21） （4k21）2 9 4 1 k2 9 4，所以 3 2a 3 2. 6(2021北京顺义区期末)过抛物线 y28x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两 点，交抛物线的准线于点 C，满足：BC FB(0)，若|AF|6，则_； 若|AF |6，则的取值范围为_ 答案3(2，) 解析由题意，抛物线 y28x 的准线为 x2，|AF|6，所以 A(4，4 2)(另一 种情况同理) 所以 AF 的斜率为 2 2，方程为 y2 2(x2)， 代入抛

11、物线方程可得 x25x40， 所以可得 B(1， 2 2)， 因为BC FB(0)， 所以12 213， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AB 的方程为 yk(x2)，代入 y28x，可得 k2x2 (4k28)x4k20， x1x24， 由 yk（x2） ， x2， 可得 C(2，4k)， BC (2x2，4ky2)，FB(x22，y2)， BC FB(0)，2x2(x22)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 x222 1 ，x14（

12、1） 2 ， |AF |x1p 2 4（1） 2 26 12 26， 解得2. 微课一圆锥曲线中的最值、范围问题 题型一圆锥曲线中的最值问题 【例 1】 (2020浙江卷)如图，已知椭圆 C1：x 2 2 y21，抛物线 C2：y22px(p 0)，点 A 是椭圆 C1与抛物线 C2的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 C1于点 B，交抛 物线 C2于点 M(B，M 不同于 A) (1)若 p 1 16，求抛物线 C 2的焦点坐标； (2)若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值 解(1)由 p 1 16，得抛物线 C 2的焦点坐标是 1 32，0. (2)由题

13、意可设直线 l：xmyt(m0，t0)，点 A(x0，y0) 将直线 l 的方程代入椭圆 C1：x 2 2 y21，得 (m22)y22mtyt220， 所以点 M 的纵坐标 yM mt m22. 将直线 l 的方程代入抛物线 C2： y22px， 得 y22pmy2pt0， 所以 y0yM2pt， 解得 y02p（m 22） m ， 因此 x02p（m 22）2 m2 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由x 2 0 2 y201，得 1 p24 m

14、2 m 2 2 m2 m 4 160， 当且仅当 m 2，t 10 5 时，p 取到最大值 10 40 . 感悟升华圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两 种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、 性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 (些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 【训练 1】 (2021浙江名师预测五)已知抛物线 y22px(p0)的焦点 F2(1，0)，椭 圆与抛物线有一个相同的焦点，且长轴长为 2p. (1)求抛物线与椭圆的方程； (2)如图，P 是抛物线上一点，F1为椭圆

15、的左焦点，直线 PF1交椭圆于 A，B 两点， 直线 PF2与抛物线交于另外一点 Q，当|AB| |PQ|取得最大值时，求点 P 的坐标 解(1)由题意可得p 21，则 p2， 所以抛物线的方程为 y24x； 因为 c1，2a2p4，即 a2， 所以 b 3， 所以椭圆的方程是x 2 4 y 2 3 1. (2)设直线 AB：xmy1，直线 PQ：xny1， 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4) 联立 x2 4 y 2 3 1， xmy1， 消去 x 得(3m24)y26my90， 显然0，则 y1y2 6m 3m24，y 1y2 9 3m24， 本资料分

16、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以|AB| 1m2|y1y2|1m2 （y1y2）24y1y2 1m212 1m 2 3m24 12（m21） 3m24 . 联立 y24x， xny1，消去 x 得 y 24ny40， 16n2160，则 y3y44n， 所以|PQ|x3x42n(y3y4)44n24. 又 xmy1， xny1， 则 x3mn mn， y3 2 mn， 所以 2 mn 2 4mn mn，则 m 2n21，m21， 所以|PQ|4m2， 所以

17、|AB| |PQ| 3（m21） m2（3m24），m 21. 令 tm21(t2)， 则|AB| |PQ| 3t （t1） （3t1） 3 3t1 t 2 6 7， 当 t2 时取最大值，此时 m1，n0， 所以点 P(1，2) 题型二圆锥曲线的范围问题 【例 2】 (2021杭州质检)如图，已知 M(1，2)为抛物线 C：y22px(p0)上一点， 过点 D(2， 2)的直线与抛物线 C 交于 A， B 两点(A， B 两点异于 M)， 记直线 AM， BM 的斜率分别为 k1，k2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人

18、教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求 k1k2的值； (2)记AMD，BMD 的面积分别为 S1，S2，当 k11，2时，求S1 S2的取值范围 解(1)将点 M(1，2)代入抛物线 C：y22px 得 p2， 所以抛物线 C 的方程为 y24x， 设直线 AB 的方程为 xm(y2)2， 代入抛物线 C 的方程，消去 x 得 y24my8m80. 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1y24m，y1y2(8m8)， k1k2y12 x11 y22 x21 y12 y21 4 1 y22 y22 4 1 16 （y12） （y22） 1

19、6 y1y22（y1y2）44， 所以 k1k24. (2)由(1)知 k1 4 y121，2，所以 y 122，4 又 k2 4 y22， 4 y12 4 y224， 所以S1 S2 |AD| |BD| |y12| |y22| （y12）2 4 1，4 感悟升华求解范围问题的常见方法： (1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围 (2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核心是在两个 参数之间建立等量关系 (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围 (4)利用基本不等式求出参数的取值范围 (5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变

20、量的目标函数，通过求这 个函数的值域确定目标变量的取值范围在建立函数的过程中，要根据题目的其 他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【训练 2】 (2021宁波适考)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)，F 1，F2为其左、右 焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形 F1B1F2B2的面积为 2. (1)求椭圆 E 的长轴 A1A2的最小值，并确定此时椭圆 E 的方程； (2)

21、对于(1)中确定的椭圆 E，设过定点 M(2，0)的直线 l 与椭圆 E 相交于 P，Q 两点，若MP MQ ，当 1 3， 1 2 时，求OPQ 的面积 S 的取值范围 解(1)依题意四边形 F1B1F2B2的面积为 2bc，2bc2， |A1A2|2a2 b2c22 2bc2 2， 当且仅当 bc1 时等号成立，此时 a 2， 长轴 A1A2的最小值为 2 2， 此时椭圆 E 的方程为x 2 2 y21. (2)依题意，可设直线 l：xty2，联立得 xty2， x2 2 y21，得(t 22)y24ty20.由 0，得 t22. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由根与系数的关系

22、得 y1y2 4t t22， y1y2 2 t22. 由MP MQ ，得 y1y2， （1）y2 4t t22， y22 2 t22， 由 2 得1 2 8t2 t22， y1 2 在 1 3， 1 2 上单调递减， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1 2 9 2， 16 3 ， 9 2 8t2 t22 16 3 ，18 7 t24，满足0. OPQ 的面积 SSOMQSOMP 1 2|OM|y 1y2|y1y2| （y1y2）24y1y22 2 t

23、22 t22 . 设 m t22，则 m 2 7 7 ， 2 ，t2m22， S2 2m m24 2 2 m4 m ， ym4 m在 m 2 7 7 ， 2 上单调递减， S 关于 m 单调递增，OPQ 的面积 S 14 8 ，2 3 . 1(2021浙江名师协作体模拟)已知 A，B 是 x 轴正半轴上两点(A 在 B 的左侧)， 且|AB|a(a0)，过 A，B 分别作 x 轴的垂线，与抛物线 y22px(p0)在第一象 限分别交于 D，C 两点 (1)若 ap，点 A 与抛物线 y22px 的焦点重合，求直线 CD 的斜率； (2)若 O 为坐标原点，记OCD 的面积为 S1，梯形 ABC

24、D 的面积为 S2，求S1 S2的取 值范围 解(1)由题意知 A p 2，0，则 B p 2a，0，D p 2，p，则 C p 2a， p 22pa ， 又 ap，所以 kCD 3pp 3p 2 p 2 31. (2)设直线 CD 的方程为 ykxb(k0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由 ykxb y22px ，得 ky22py2pb0， 所以4p28pkb0，得 kbp 2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 又 y1y22p k ，y1

25、y22pb k ，由 y1y22p k 0，y1y22pb k 0， 可知 k0，b0，因为|CD| 1k2|x1x2| a 1k2， 点 O 到直线 CD 的距离 d |b| 1k2， 所以 S11 2a 1k 2 |b| 1k2 1 2ab. 又 S21 2(y 1y2)|x1x2|1 2 2p k aap k ， 所以S1 S2 kb 2p， 因为 0kbp 2，所以 0 S1 S2 1 4. 即S1 S2的取值范围为 0，1 4 . 2(2021浙江新高考仿真卷三)已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦距是 2，点 P 为 C1上一动点，且满足 P 与点 A1(a，0

26、)，A2(a，0)连线斜率之积为1 2. (1)求椭圆 C1的方程； (2)当点 P 在 x 轴上方时，过 P 点作椭圆 C1的切线 l 交抛物线 C2：x2y 于 A，B 两点，点 P 关于原点 O 的对称点为 Q.求QAB 面积的最小值 解(1)设 P(x0，y0)(x0a)， 则 y0 x0a y0 x0a y20 x20a2 1 2， 即x 2 0 a2 2y20 a2 1，2b2a2， 且 c1，a22，b21， 即椭圆 C1的方程为x 2 2 y21. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ

27、 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)设切线 l 的方程为 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x2 2 y21， ykxm， 得(2k21)x24kmx2m220， 又16k2m24(2k21)(2m22)0， 得 m22k21. 再由 yx2， ykxm，得 x 2kxm0， k24m0，即 m28m10，即 m4 17或 m4 17， 由题知 m0，且 m21，m1， |AB| 1k2|x1x2| 1k2 k24m. 点 O 到直线 AB 的距离 d |m| 1k2， 点 Q 为点 P 关于原点的对称点 SABQ2SABO|AB|d|m| k24m |m|

28、m28m1 2 . 显然函数 f(m)|m| m28m1 2 (m1)为增函数， SABQf(1)2. 3(2021北京昌平区期末)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点(0， 2)，离心率 为 e 6 3 ，记椭圆 C 的右焦点为 F，过点 F 且斜率为 k 的直线交椭圆于 P，Q 两 点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M(x0，0)，求 x0的取值范围 解(1)由题意可知 b 2， ec a 6 3 ， a2b2c2， 解得 a26， b22， c24. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380

29、期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故椭圆 C 的标准方程为x 2 6 y 2 2 1. (2)依题意，F(2，0)，直线 PQ 的方程为 yk(x2)， 联立方程组 x2 6 y 2 2 1， yk（x2）. 消去 y 并整理得(3k21)x212k2x12k260， (12k2)24(12k26)(3k21)24(k21)0， 设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，故 x1x2 12k2 3k21， y1y2k(x1x2)4k 4k 3k21， 设 PQ 的中点为 N，则 N 6k2 3k21， 2k 3k21 .

30、因为线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M(x0，0)， 当 k0 时，那么 x00； 当 k0 时，kMNk1，即 2k 3k21 6k2 3k21x 0 k1， 解得 x0 4k2 3k21 4 31 k2 ， 因为 k20，所以 3 1 k23，0 4 31 k2 4 3， 即 x0 0，4 3 ， 综上，x0的取值范围为 0，4 3 . 4(2021新力量联盟期末)已知抛物线 C1：x2py 过点(2，1)，椭圆 C2的两个焦 点分别为 F1，F2，其中 F2与抛物线 C1的焦点重合，过 F1且与长轴垂直的直线交 椭圆 C2于 A，B 两点，且|AB|3. (1)求抛物线 C1与

31、椭圆 C2的方程； (2)若曲线 C3是以坐标原点为圆心，以|OF1|为半径的圆，动直线 l 与圆 C3相切， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 且与椭圆 C2交于 M，N 两点，若OMN 的面积为 S，求 S 的取值范围 解(1)由于 x2py(p0)过点(2，1)，则 4p， 即 C1的方程为 x24y， 根据题意可得椭圆焦点坐标 F2(0，1)， 所以椭圆中 c1，其焦点也在 y 轴上 设 C2的方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)， 由 y

32、2 a2 x2 b21， y1 得 xb 2 a ，|AB|2b 2 a 3， 又 a2b21，解得 a2，b 3， 所以 C2的方程为y 2 4 x 2 3 1. (2)由(1)得|OF1|1，则 C3的方程为 x2y21. 因为直线 l 与圆 C3相切， 所以圆心 O 到直线 l 的距离为 1， 所以 S1 2|MN|1 |MN| 2 . 当直线 l 的斜率不存在时方程为 x1，两种情况所得到的OMN 面积相等， 由 y2 4 x 2 3 1， x1 得 y2 6 3 ， 不妨设 M 1，2 6 3，N 1，2 6 3，|MN|4 6 3 ， 此时，S1 2|MN|1 2 6 3 ； 当直

33、线 l 的斜率存在时，设其为 k， 直线 l 的方程为 ykxm， 所以圆心 O 到直线的距离为 |m| 1k21， 即 m2k21， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由 y2 4 x 2 3 1， ykxm 得(43k2)x26kmx3m2120， 36k2m24(43k2)(3m212)48(2k23)0， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x26km 3k24，x 1x23m 212 3k24 ， 所以 S|MN| 2 1 2 1

34、k2 （x1x2）24x1x2 1 2 1k2 48（2k23） 3k24 2 3 1k 2 2k23 3k24 令 3k24t，则 k2t4 3 ，t4，01 t 1 4， 所以 S2 3 3 2t2t1 t2 2 3 3 1 t 2 1 t 2， 因为 y 1 t 2 1 t 2 是关于1 t 的二次函数，开口向下，在 01 t 1 4时单调递减， 所以3 2Sb0)的离心率为 3 2 ， F1， F2是椭圆的两个焦点， M 是椭圆上任意一点，且MF1F2的周长是 42 3. (1)求椭圆 C1的方程； (2)设椭圆 C1的左、右顶点分别为 A，B，过椭圆 C1上的一点 D 作 x 轴的垂

35、线交 x 轴于点 E，若点 C 满足AB BC ，AD OC ，连接 AC 交 DE 于点 P，求证：|PD| |PE|. (1)解由 e 3 2 ，知c a 3 2 ，所以 c 3 2 a， 因为MF1F2的周长是 42 3， 所以 2a2c42 3，所以 a2，c 3， 所以 b2a2c21， 所以椭圆 C1的方程为：x 2 4 y21. (2)证明由(1)得 A(2，0)，B(2，0)， 设 D(x0，y0)，所以 E(x0，0)， 因为AB BC，所以可设 C(2，y1)， 所以AD (x02，y0)，OC (2，y1)， 由AD OC 可得：(x02)y12y0，即 y1 2y0 x

36、02. 所以直线 AC 的方程为 y0 2y0 x020 x2 2（2）. 整理得 y y0 2（x02）(x2) 又点P在DE上， 将xx0代入直线AC的方程可得： yy0 2 ， 即点P的坐标为 x0，y0 2 ， 所以 P 为 DE 的中点，|PD|PE|. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1(2021北京石景山区二模)已知抛物线 C：y22px 经过点 P(1，2)，其焦点为 F.M 为抛物线上除了原点外的任一点，过 M 的直线 l 与 x 轴

37、，y 轴分别交于 A， B. (1)求抛物线 C 的方程以及焦点坐标； (2)若BMF 与ABF 的面积相等，求证：直线 l 是抛物线 C 的切线 (1)解因为抛物线 C：y22px 经过点 P(1，2)， 所以 222p，p2. 所以抛物线 C 的方程为 y24x，焦点 F 点坐标为(1，0) (2)证明因为BMF 与ABF 的面积相等， 所以 BMAB，所以 B 为 AM 的中点 设 M(x0，y0)(x0y00)，则 A(x0，0) 所以直线 l 的方程为 y y0 2x0(xx 0)， 与抛物线 y24x 联立得 y28x0 y0 y4x00， 64x 2 0 y20 16x064x

38、2 0 4x0 16x00， 所以直线 l 是抛物线 C 的切线 2(2021北京门头沟区模拟)如图，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，F 1，F2分 别为其左、右焦点，过 F1的直线与此椭圆相交于 D，E 两点，且F2DE 的周长 为 8，椭圆 C 的离心率为 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(0，1)与点 Q(0，2)，过 P 的动直线(不与 x 轴平行)与椭圆相交于 A，B 两点，点 B1是点 B 关于 y 轴的对称点求证： 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资

39、料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 Q，A，B1三点共线； |QA| |QB| |PA| |PB|. (1)解F2DE 的周长为 8，4a8，即 a2， ec a 2 2 ，c 2，b2a2c22， 故椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)证明当直线 l 的斜率不存在时，A、B 分别为椭圆短轴两端点，满足 Q，A， B1三点共线 当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ykx1， 联立 ykx1， x2 4 y 2 2 1，得(12k 2)x24kx20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 B1(x2，y2) x1x2

40、4k 12k2，x 1x2 2 12k2， QA (x1，y12)，QB1 (x2，y22)， x1(y22)x2(y12)x1(kx21)x2(kx11)2kx1x2(x1x2) 4k 12k2 4k 12k2 0. QA 与QB1 共线，且有公共点 Q，则 Q，A，B1三点共线 由可知 Q，A，B1三点共线， |QA| |QB| |QA| |QB1| |x1| |x2| |PA| |PB|， |QA| |QB| |PA| |PB|. 3(2021北京大兴区一模)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，过焦点 且与 x 轴垂直的直线被椭圆 C 截得的线段长为

41、2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 A(1，0)，B(4，0)，过点 A 的任意一条直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点， 求证：|MB|NA|MA|NB|. (1)解因为x 2 a2 y2 b21，令 xc，得 y 2b4 a2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 因为过焦点且与 x 轴垂直的直线被椭圆 C 截得的线段长为 2，所以b 2 a 1， 根据离心率为 2 2 ，得c a 2 2 ， 结合 a2b2c2， 解得 a2，b 2，

42、 所以椭圆的方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)证明要证明|MB|NA|MA|NB|，只需证明|MA| |NA| |MB| |NB|， 过 M，N 分别作 x 轴的垂线段 MM，NN， 易得|MA| |NA| |MM| |NN| ，所以只需证明|MB| |NB| |MM| |NN| ，所以只需证明MBANBA，只 需证明 kMBkNB0. 当直线 l 的斜率不存在时，易得|MB| |NA|MA|NB|. 当直线 l 的斜率存在时，不妨设其为 k，则直线 l 的方程为 yk(x1)， 联立 x2 4 y 2 2 1， yk（x1） 消去 y，得(2k21)x24k2x2k240， 设 M(

43、x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2 4k2 2k21，x 1x22k 24 2k21， 直线 MB 的斜率 kMBk（x11） x14 ，直线 NB 的斜率 kNBk（x21） x24 ， kMBkNBk（x11） x14 k（x21） x24 k（x11） （x24）k（x21） （x14） （x14） （x24） k2x1x25（x1x2）8 （x14） （x24） k 22k 24 2k215 4k2 2k218 （x14） （x24） 0. 综上所述，|MB|NA|MA|NB|. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分

44、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4(2021福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 F：(x1)2y21 外的点 P 在 y 轴的右侧运动，且 P 到圆 F 上的点的最小距离等于它到 y 轴的距离，记 P 的轨 迹为 E. (1)(一题多解)求 E 的方程； (2)(一题多解)过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆 D 与平行于 y 轴的直线相切于点 M，线段 DM 交 E 于点 N，证明：AMB 的面积是AMN 的 面积的四倍 法一(1)解设 P(x，y)，依题意 x0，F(1，0) 因为 P 在圆 F 外，所以 P

45、 到圆 F 上的点的最小距离为|PF|1， 依题意得|PF|1x，即 （x1）2y21x， 化简得 E 的方程为 y24x(x0) (2)证明设 N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 D x1x2 2 ，y1y2 2.当直线 AB 的斜率不存在时，不合题意，依题意可设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k0)， 由 yk（x1） ， y24x 得 k2x2(2k24)xk20. 因为(2k24)24k416k2160， 所以 x1x22k 24 k2 ， 则有 y1y24 k，故 D k22 k2 ，2 k ， 由抛物线的定义知|AB|x1x224k 24 k2 . 本资

46、料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 设 M(xM， yM)， 依题意得 yM2 k， 所以|MD| k22 k2 xM.又因为|MD|AB| 2 ， 所以k 22 k2 xM 2 k22， 解得 xM1，所以 M 1，2 k ， 因为 N x0，2 k 在抛物线上，所以 x01 k2，即 N 1 k2， 2 k ， 所以 SAMB1 2|MD|y 1y2|k 21 k2 |y1y2|， SAMN1 2|MN|y 1yD|1 2|MN| 1 2|y 1y2|k

47、21 4k2 |y1y2|，故 SAMB4SAMN. 法二(1)解设 P(x，y)，依题意 x0. 因为 P 在圆 F 外，所以 P 到圆 F 上的点的最小距离为|PF|1. 依题意得点 P 到圆 F(1，0)的距离|PF|等于 P 到直线 x1 的距离， 所以 P 在以 F(1，0)为焦点，x1 为准线的抛物线上 所以 E 的方程为 y24x(x0) (2)证明设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为直线 AB 过 F(1，0)，依题意可设其方程为 xty1(t0)，由 xty1， y24x， 得 y24ty40， 因为16t2160，所以 y1y24t， 则有 x1x2(ty11)(

48、ty21)4t22. 因为 D 是 AB 的中点，所以 D(2t21，2t) 由抛物线的定义得|AB|(x11)(x21)4t24， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 设圆 D 与 l：xm 相切于 M， 因为 DM 与抛物线相交于 N，所以 m0，且 DMl， 所以|DM|1 2|AB|，即 2t 21m1 2(4t 24)，解得 m1， 设 N(x0，y0)，则 y02t，且(2t)24x0，所以 x0t2， 因为2t 21（1） 2 t2，所以 N

49、 为 DM 的中点，所以 SAMD2SAMN， 又因为 D 为 AB 的中点，SAMB2SAMD，所以 SAMB4SAMN. 法三(1)同法一 (2)证明设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，连接 MF，NF. 因为直线 AB 过 F(1，0)，依题意可设其方程 xty1(t0)， 由 xty1， y24x， 得 y24ty40， 因为16t2160，所以 y1y24t，所以 yMyD2t. 因为|MD|AB| 2 ，|AB|x1x22， 又因为|MD|x1x2 2 xM， 所以x1x22 2 x1x2 2 xM，解得 xM1， 所以 M(1，2t)， 所以 kMFkAB 2t 11 1 t 1，故MFD90. 又因为|NM|NF|，所以|NF|ND|，从而|MN|ND|.所以 SAMN1 2S AMD， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 又 SAMD1 2S AMB，所以 SAMB4SAMN.