（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第7节　空间向量与线面位置关系.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 7 节空间向量与线面位置关系 知 识 梳 理 1直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量 (2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面内两不共线向量，n 为平面 的法向量，则求法向量的方程组为 na0， nb0. 2用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2(或 l1与 l2重合)v1v2 (2)

2、设直线 l 的方向向量为 v，与平面共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l或 l存在两个实数 x，y，使 vxv1yv2. (3)设直线 l 的方向向量为 v，平面的法向量为 u，则 l或 lvu (4)设平面和的法向量分别为 u1，u2，则u1u2 3用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2v1v2v1v20. (2)设直线 l 的方向向量为 v，平面的法向量为 u，则 lvu. (3)设平面和的法向量分别为 u1和 u2，则u1u2u1u20 4点面距的求法 如图，设 AB 为平面的一条斜线段，n 为平面的法向量，则 B 到平面

3、的距离 d |AB n| |n| 1直线 l1，l2的方向向量分别为 v1，v2，且 v1v2，若 l1，l2有公共点，则 l1，l2 重合；若 l1，l2没有公共点，则 l1l2. 2直线 l 的方向向量 v 与平面内不共线的向量 a，b 满足 vab，若直线 l 与无公共点，则 l，若直线 l 与有公共点，则 l. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3直线 l 的方向向量 v 与平面的法向量 u 垂直，若直线 l 与平面有公共点，则 l，若直线 l

4、与平面无公共点，则 l. 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)两直线的方向向量平行，则两直线平行() (2)如果一条直线的方向向量与平面内一直线的方向向量共线，则这条直线与该平 面平行() (3)如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线与该平面平 行() (4)一条直线的方向向量有无穷多个，平面的法向量也有无穷多个() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)不正确，两直线也可能重合；(2)不正确，直线也可能在平面内；(3)不正 确，直线也可能在平面内 2已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量 的是() A(1，1，1)

5、B(1，1，1) C. 3 3 ， 3 3 ， 3 3D. 3 3 ， 3 3 ， 3 3 答案C 解析设平面 ABC 的法向量 n(x，y，z)，AB (1，1，0)，AC(1，0，1)， 由 nAB 0， nAC 0，得 xy0， xz0，xyz.故选 C. 3已知平面的法向量为 n(2，2，4)，AB (1，1，2)，则直线 AB 与平 面的位置关系为() AABBAB CAB 与相交但不垂直DAB 答案A 解析由题意易得 n2AB ，所以向量AB也为平面的一个法向量，则直线 AB 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教

6、版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 与平面垂直，故选 A. 4平面的法向量 u(2，2，2)，平面的法向量 v(1，2，1)，则下列命题正 确的是() A，平行B，垂直 C，重合D，不垂直 答案B 解析平面的法向量与平面的法向量的数量积为 uv21(2)2 210，平面，垂直，故选 B. 5设 u，v 分别是平面，的法向量，u(2，2，5)，当 v(3，2，2)时， 与的位置关系为_； 当 v(4， 4， 10)时， 与的位置关系为_ 答案 解析当 v(3，2，2)时，由于 uv0，即 uv，；当 v(4，4， 10)时，由于 v2u0，. 6设直线 l 的方

7、向向量为 a，平面的法向量为 n(2，2，4)，若 a(1，1，2)， 则直线 l 与平面的位置关系为_； 若 a(1，1，1)，则直线 l 与平面的位置关系为_ 答案ll或 l 解析当 a(1，1，2)时，a1 2n，则 l； 当 a(1，1，1)时，an(1，1，1)(2，2，4)0，则 l或 l. 考点一用空间向量证平行问题 【例 1】 如图所示，平面 PAD平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PAD 是 直角三角形，且 PAAD2，E，F，G 分别是线段 PA，PD，CD 的中点求证： PB平面 EFG. 证明因为平面 PAD平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PAD

8、是直角三角 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 形，且 PAAD，所以 AB，AP，AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图 所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0， 2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0) 所以PB (2，0，2)，FE(0，1，0)，FG (1，1，1)， 设PB sFEtFG ， 即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，

9、所以 t2， ts0， t2， 解得 st2， 所以PB 2FE2FG ， 又因为FE 与FG 不共线，所以PB ，FE与FG 共面 因为 PB平面 EFG，所以 PB平面 EFG. 感悟升华(1)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的 数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线 的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样 就把几何的证明问题转化为向量运算 (2)能建坐标系时，尽量建立坐标系 【训练 1】 已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，用向量方法求证： (1)E，

10、F，G，H 四点共面； (2)BD平面 EFGH. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 证明(1)连接 BG， 则EG EB BG EB 1 2(BC BD )EB BFEH EF EH ， 又EF 与EH 不共线，由共面向量定理知 E，F，G，H 四点共面 (2)因为EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2(AD AB )1 2BD ，因为 E，H，B，D 四点不 共线，所以 EHBD. 又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH， 所以 BD平

11、面 EFGH. 考点二用空间向量证垂直问题 【例 2】 如图所示，已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ABCBCD 90，ABBCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD.证明： (1)PABD； (2)平面 PAD平面 PAB. 证明(1)取 BC 的中点 O，连接 PO， 平面 PBC底面 ABCD，PBC 为等边三角形， PO底面 ABCD. 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线 为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 不妨设 CD1，则 ABBC2，PO 3. A(1，2，0)，B(1，0，0

12、)，D(1，1，0)，P(0，0， 3) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 BD (2，1，0)，PA (1，2， 3) BD PA (2)1(1)(2)0( 3)0， PA BD ，PABD. (2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M 1 2，1， 3 2 . DM 3 2，0， 3 2 ，PB (1，0， 3)， DM PB 3 2100 3 2 ( 3)0， DM PB ，即 DMPB. DM PA 3 210(2) 3 2 ( 3)0， D

13、M PA ，即 DMPA. 又PAPBP，DM平面 PAB. DM平面 PAD，平面 PAD平面 PAB. 感悟升华用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定 理用向量表示 (3)面面垂直： 证明两个平面的法向量垂直， 或将面面垂直的判定定理用向量表示 【训练 2】 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M，N 分别是 AB，CD 的中点 (1)求证：MNAB，MNCD； (2)求 MN 的长 (1)证明设AB p，ACq，AD r. 由

14、题意可知，|p|q|r|a，且 p，q，r 三向量两两夹角均为 60. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 MN AN AM 1 2(AC AD )1 2AB 1 2(qrp)， MN AB 1 2(qrp)p 1 2(qprpp 2) 1 2(a 2cos 60a2cos 60a2)0. MN AB ，即 MNAB. 同理可证 MNCD. (2)解由(1)可知MN 1 2(qrp)， |MN |21 4(qrp) 2 1 4q 2r2p22(qrpqrp

15、) 1 4 a2a2a22 a2 2 a 2 2 a 2 2 1 42a 2a2 2 . |MN | 2 2 a. MN 的长为 2 2 a. 考点三利用空间向量求解探索性问题 【例 3】 如图，在四棱锥 EABCD 中，平面 ABE底面 ABCD，侧面 AEB 为等 腰直角三角形，AEB 2 ，底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，ABBC，AB 2CD2BC.线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出EF EA；若不 存在，说明理由 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群

16、483122854 期待你的加入与分享 解存在点 F，且EF EA 1 3时，有 EC平面 FBD. 证明如下：取 AB 中点 O 为坐标原点，OB，OD，OE 分别为 x，y，z 轴建立空间 直角坐标系，如图所示，设 CD1，则 E(0，0，1)， A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以EA (1，0，1)， BD (1，1，0)，EC (1，1，1) 由EF 1 3EA 1 3，0， 1 3 ，得 F 1 3，0， 2 3 ， 所以FB 4 3，0， 2 3 . 设平面 FBD 的法向量为 v(a，b，c)， 则 vBD 0， vFB 0，所以 ab0

17、， 4 3a 2 3c0， 取 a1，得 v(1，1，2)， 因为EC v(1，1，1)(1，1，2)0， 且 EC平面 FBD，所以 EC平面 FBD， 即当点 F 满足EF EA 1 3时，有 EC平面 FBD. 感悟升华空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复 杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断解题时，把要成立的结论 当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有 解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运 用这一方法 【训练 3】 在四棱锥 PABCD 中，ABP 是等边三角形，底面 ABCD 是直角梯

18、 形，DAB90，ADBC，E 是线段 AB 的中点，PE底面 ABCD，已知 DA AB2BC2. 试在平面 PCD 上找一点 M，使得 EM平面 PCD. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解因为 PE底面 ABCD，过 E 作 ESBC，则 ESAB，以 E 为坐标原点，EB 方向为 x 轴的正半轴， ES 方向为 y 轴的正半轴，EP 方向为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则 E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(1，0

19、，0)，D(1，2，0)，P(0，0， 3)，CD (2，1，0)，PC (1，1， 3) 设 M 点的坐标为(x1，y1，z1)，平面 PCD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nCD 2xy0， nPC xy 3z0，令 x1，得 n(1，2， 3) 因为 EM平面 PCD，所以EM n，即x1 1 y1 2 z1 3，也即 y 12x1，z1 3x1， 又PM (x1，y1，z1 3)，PD (1，2， 3)，PC (1，1， 3)， 所以PM PC PD (，2， 3 3)， 所以得 x1，y122x12()，即4， z1 3 3 3，1 2，所以 1 8， 所以 M 点的坐标为 3

20、 8， 3 4， 3 3 8. 基础巩固题组 1正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 C1C，B1C1的中点求证：MN 平面 A1BD. 证明如图所示， 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 坐标系 设正方体的棱长为 1，则 M 0，1，1 2 ，N 1 2，1，1，D(0，0，0)，A1(1，0，1)， B(1，1，0)， 于是MN 1 2，0， 1 2

21、 ，DA1 (1，0，1)，DB (1，1，0) 设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nDA1 0，且 nDB 0， 得 xz0， xy0. 取 x1，得 y1，z1. 所以 n(1，1，1) 又MN n 1 2，0， 1 2 (1，1，1)0， 所以MN n. 又 MN平面 A1BD，所以 MN平面 A1BD. 2如图所示，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端 点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60. 求证：AC1BD. 证明记AB a，AD b，AA1 c，AC1 abc，BD ba， AC1 BD (abc)(ba) ab|b|2bc

22、|a|2abacbcac |b|c|cos 60|a|c|cos 600. AC1 BD ，AC1BD. 3(一题多解)如图，在四面体 ABCD 中，AD平面 BCD，BCCD，AD2， BD2 2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ3QC. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 证明：PQ平面 BCD. 证明法一如图，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD，OP 所在射线分别为 y， z 轴的正半轴，建立空间

23、直角坐标系 Oxyz. 由题意知，A(0，2，2)，B(0， 2，0)，D(0，2，0) 设点 C 的坐标为(x0，y0，0) 因为AQ 3QC ， 所以 Q 3 4x 0， 2 4 3 4y 0，1 2 . 因为 M 为 AD 的中点，故 M(0，2，1) 又 P 为 BM 的中点，故 P 0，0，1 2 ， 所以PQ 3 4x 0， 2 4 3 4y 0，0 . 又平面 BCD 的一个法向量为 a(0，0，1)，故PQ a0. 又 PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD. 法二在线段 CD 上取点 F，使得 DF3FC，连接 OF，同法一建立空间直角坐 标系，写出点 A，B，D 的坐标，

24、设点 C 坐标为(x0，y0，0) CF 1 4CD ，设点 F 坐标为(x，y，0)，则 (xx0，yy0，0)1 4(x 0， 2y0，0)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 x3 4x 0， y 2 4 3 4y 0， OF 3 4x 0， 2 4 3 4y 0，0 又由法一知PQ 3 4x 0， 2 4 3 4y 0，0 ， OF PQ ，PQOF. 又 PQ平面 BCD，OF平面 BCD， PQ平面 BCD. 4.如图所示，已知直三棱柱 AB

25、CA1B1C1中，ABC 为等腰直角三角形，BAC 90，且 ABAA1，D，E，F 分别为 B1A，C1C，BC 的中点求证： (1)DE平面 ABC； (2)B1F平面 AEF. 证明(1)以 A 为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如 图所示空间直角坐标系 Axyz， 令 ABAA14， 则 A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4) 设 AB 中点为 N，连接 CN， 则 N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)， 所以DE (2，4，0)，AB (4，0，0)，AC(0，4，0)， 所以DE

26、 1 2AB AC，又AB与AC不共线， 所以DE 与AB ，AC共面，又 DE平面 ABC， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故 DE平面 ABC. (2)B1F (2，2，4)，EF (2，2，2)， AF (2，2，0) B1F EF (2)22(2)(4)(2)0， B1F AF (2)222(4)00. 所以B1F EF ，B1F AF ，即 B1FEF，B1FAF， 又因为 AFEFF，AF平面 AEF，EF平面 AEF， 所以 B1F平面

27、 AEF. 5.如图， 在多面体 ABCA1B1C1中， 四边形 A1ABB1是正方形， ABAC， BC 2AB， B1C1綉 1 2BC，二面角 A 1ABC 是直二面角求证： (1)A1B1平面 AA1C； (2)AB1平面 A1C1C. 证明(1)因为二面角 A1ABC 是直二面角，四边形 A1ABB1为正方形， 所以 AA1平面 BAC. 又因为 ABAC，BC 2AB， 所以 AB2AC2BC2，即CAB90，即 CAAB， 所以 AB，AC，AA1两两互相垂直 建立如图所示的空间直角坐标系，点 A 为坐标原点， 设 AB2，则 A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，

28、2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以A1B1 (0，2，0)，A1A (0，0，2)，AC (2，0，0) 平面 AA1C 就是 xOz 平面，取一个法向量 n(0，1，0) 所以A1B1 2n，即A1B1 n. 所以 A1B1平面 AA1C. (2)易知AB1 (0，2，2)，A1C1 (1，1，0)，A1C (2，0，2)， 设平面 A1C1C 的一个法向量 m(x1，y1，z1)， 则 mA1C1 0

29、， mA1C 0， 即 x1y10， 2x12z10， 令 x11，则 y11，z11，即 m(1，1，1) 所以AB1 m012(1)210， 所以AB1 m. 又 AB1平面 A1C1C， 所以 AB1平面 A1C1C. 6(一题多解)如图，在直三棱柱 ADEBCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方 形且互相垂直，点 M 为 AB 的中点，点 O 为 DF 的中点运用向量方法证明： (1)OM平面 BCF； (2)平面 MDF平面 EFCD. 证明法一(1)由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以点 A 为原点建立如图所 示的空间直角坐标系 设正方形边长为 1，则 A(0，0，

30、0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1， 0，1)，M 1 2，0，0，O 1 2， 1 2， 1 2 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 OM 0，1 2， 1 2 ，BA (1，0，0)， OM BA 0，OM BA . 棱柱 ADEBCF 是直三棱柱， AB平面 BCF，BA 是平面 BCF 的一个法向量， 且 OM平面 BCF，OM平面 BCF. (2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为 n1(x1

31、，y1，z1)，n2(x2，y2， z2) DF (1，1，1)，DM 1 2，1，0，DC (1，0，0)，CF (0，1，1)， 由 n1DF 0， n1DM 0， 得 x1y1z10， 1 2x 1y10， 令 x11，则 n1 1，1 2， 1 2 .同理可得 n2(0，1，1) n1n20，平面 MDF平面 EFCD. 法二(1)OM OF FB BM 1 2DF BF 1 2BA 1 2(DB BF )BF1 2BA 1 2BD 1 2BF 1 2BA 1 2(BC BA)1 2BF 1 2BA 1 2BC 1 2BF . 向量OM 与向量BF ，BC共面， 又 OM平面 BCF，

32、OM平面 BCF. (2)由题意知，BF，BC，BA 两两垂直， CD BA ，FCBCBF， OM CD 1 2BC 1 2BF BA 0， OM FC 1 2BC 1 2BF (BC BF) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1 2BC 21 2BF 20. OMCD，OMFC， 又 CDFCC，CD，FC平面 EFCD， OM平面 EFCD. 又 OM平面 MDF，平面 MDF平面 EFCD. 能力提升题组 7如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，

33、ACB90，ACBC3，AA12，以 AB， BC 为邻边作平行四边形 ABCD，连接 DA1和 DC1. (1)求证：A1D平面 BCC1B1； (2)线段 BC 上是否存在点 F，使平面 DA1C1与平面 A1C1F 垂直？若存在，求出 BF 的长；若不存在，请说明理由 (1)证明ADBC，AA1CC1， 且 ADAA1A，BCBB1B， 平面 A1DA平面 BCC1B1， A1D平面 A1DA，A1D平面 BCC1B1， A1D平面 BCC1B1. (2)解以 A 为坐标原点，分别以射线 AD，AC，AA1为 x，y，z 轴的正方向，建 立空间直角坐标系 假设在 BC 上存在这样的点 F

34、，则由 A1C1平面 BCC1B1推得 A1C1C1F. 又由(1)的结论 A1D平面 BCC1B1可推得 A1C1A1D. 综上，要使平面 DA1C1平面 FA1C1，只需 A1DC1F 即可 设 BFx(0 x3)，则C1F (x3，0，2)，A1D (3，0，2)， 由C1F A1D 0，得 3(x3)40，x5 3， 在 BC 上存在点 F，使得两个平面垂直，只需让 BF5 3即可 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 8.如图所示，四棱锥 PABC

35、D 的底面是边长为 1 的正方形，PACD，PA1， PD 2，E 为 PD 上一点，PE2ED. (1)求证：PA平面 ABCD； (2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF平面 AEC？若存在，指出 F 点的位 置，并证明；若不存在，说明理由 (1)证明PAAD1，PD 2， PA2AD2PD2，即 PAAD. 又 PACD，ADCDD，PA平面 ABCD. (2)解以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)， C(1，1，0)，P(0，0，1)， E 0，2 3， 1 3 ，AC (1，1，0)， AE 0，2 3， 1 3 .设平面 AEC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAC 0， nAE 0，即 xy0， 2yz0，令 y1， 则 n(1，1，2) 假设侧棱 PC 上存在一点 F，且CF CP(01)， 使得 BF平面 AEC，则BF n0. 又BF BCCF(0，1，0)(，)(，1，)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 BF n120，1 2， 存在点 F，使得 BF平面 AEC，且 F 为 PC 的中点