（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第7节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 7 节函数 yAsin(x)的图象及应用 知 识 梳 理 1“五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、 最低点及与 x 轴相交的三个点， 作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示 X 2 3 2 2 x0 2 3 2 2 yAsin(x)0A0A0 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到 yAsin(x )在一个周期内的图象 (3)

2、扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 yAsin(x)在 R 上的图象 2函数 yAsin(x)中各量的物理意义 当函数 yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示简谐振动时，几个相关的 概念如下表： 简谐振动振幅周期频率相位初相 yAsin(x)(A0， 0)， x0，) AT2 f1 T x 3.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)的图象的两种途径 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1由函数 ysin x 的图象经过变换得到 yA

3、sin(x)的图象，当先伸缩再平移 时，要把 x 前面的系数提取出来 2复合形式的三角函数的单调区间的求法函数 yAsin(x)(A0，0)的单 调区间的确定，基本思想是把x看作一个整体若0，| 2 的部分图象，已知函数图象经过 P 5 12，2，Q 7 6 ，0 两点，则_，_ 答案2 3 解析因为 f(x)过一个周期内的关键点 P 5 12，2，Q 7 6 ，0 ，故 3 4T 7 6 5 12(T 为 最小正周期)， 即3 4 2 3 4 ， 解得2， 由 f(x)的图象经过点 P 5 12，2得 sin 5 6 1，则5 6 22k(kZ)，则 32k(kZ)，又| 2，则 3. 考点

4、一函数 yAsin(x)的图象及变换 【例 1】 设函数 f(x)sin x 3cos x(0)的周期为. (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (2)(一题多解)说明函数 f(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到 解f(x)sin x 3cos x 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2 1 2sin x 3 2 cos x 2sin x 3 ， 又T，2 ， 即2，f(x)2sin 2x 3 . (1)令 z2x

5、3，则 y2sin 2x 3 2sin z. 列表，并描点画出图象： x 6 12 3 7 12 5 6 z0 2 3 2 2 ysin z01010 y2sin 2x 3 02020 (2)法一把 ysin x 的图象上所有的点向左平移 3个单位， 得到 ysin x 3 的图 象；再把 ysin x 3 的图象上的点的横坐标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变)，得 到 ysin 2x 3 的图象； 最后把 ysin 2x 3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin 2x 3 的图象 法二将 ysin x 的图象上每一点的横坐标缩短为原来的1 2倍(纵坐标不变

6、)，得到 ysin 2x 的图象；再将 ysin 2x 的图象向左平移 6个单位，得到 ysin 2 x 6 sin 2x 3 的图象；再将 ysin 2x 3 的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 倍(横坐标不变)，得到 y2sin 2x 3 的图象 感悟升华作函数 yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换， 设 zx，由 z

7、取 0， 2， 3 2，2来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点 坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象有 两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 【训练 1】设函数 f(x)cos(x) 0， 20的最小正周期为， 且 f 4 3 2 . (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在0，上的图象 解(1)T2 ，2， 又 f 4 cos 2 4 3 2 ， sin 3 2 ，又 20， 3. (2)由(1)得 f(x)cos 2x 3 ，列表： 2x 3 3 0 2 3 2 5 3 X0 6 5 12

8、 2 3 11 12 f(x) 1 2 1010 1 2 描点画出图象(如图) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 考点二由图象求函数 yAsin(x)的解 析式 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【例 2】 (1)函数 f(x)2sin(x) 0， 2 2 的部分图象如图所示，则 _，_ (2)(一题多解)函数 f

9、(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示， 则函数 f(x)的解析式为_ 答案(1)2 3 (2)f(x) 2sin 2x 3 解析(1)由题图可知，3T 4 3 4 2 5 12 3 ， 得2. 又函数过点 5 12，2，f(x)2sin(2x)， 故 25 122k 2，kZ，得2k 3，kZ， 2 2， 3. (2)由题图可知 A 2， 法一 T 4 7 12 3 4， 所以 T，故2， 因此 f(x) 2sin(2x)， 又 3，0对应五点法作图中的第三个点， 因此 2 3，所以 3，故 f(x) 2sin 2x 3 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3

10、23031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 法二以 3，0为第二个“零点”， 7 12， 2为最小值点， 列方程组 3， 7 12 3 2 ，解得 2， 3， 故 f(x) 2sin 2x 3 . 感悟升华已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比 较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： (1)五点法，由2 T 即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升 (或下降)的“零点”横坐标 x0，则令x00(或x0)，即可求出； (2)代入法，利用一些已知点(最高点、

11、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结 合图形解出和，若对 A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使 其符合要求 【训练 2】 (1) 已知 f(x)Asin(x)(A0， 0， 00，0，0)的部分图象 如图所示，则_，为了得到 g(x)Acos x 的图象，需将函数 yf(x)的 图象最少向左平移_个单位长度 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(1)B(2) 6 3 解析(1)由函数的图象可得 A2，T2 4 3 2 2 4，解得1 2.

12、又图象经 过 2，0， 02sin 1 2 2， 0， 3 4 ， 故 f(x)的解析式为 f(x)2sin 1 2x 3 4 ， 所以 f(2 021)2sin 1 22 021 3 4 2.故选 B. (2)由题图知 A2，T2 3 6 ，所以2 T 2，所以 f(x)2sin(2x)，把 点 3，2代入， 得 sin 2 3 1， 所以2 3 22k(kZ)， 即 62k(kZ)， 又0)上是减函数 (1)求 f(x)的最小正周期和对称轴方程； (2)(一题多解)求实数 a 的取值范围 解(1)f(x)2cos x 3 2 cos x1 2sin x 3 2 (1cos 2x)1 2si

13、n 2x sin 2x 3 3 2 . 所以 f(x)的最小正周期为 T2 . 令 2x 3k 2，kZ，解得 x k 2 12，kZ， 所以 f(x)的对称轴方程为 xk 2 12，kZ. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)法一由(1)可知 f(x)在 12， 7 12 上是减函数 因为 4 12， 7 12 ， 所以要使得 f(x)在 4a， 4a上是减函数， 只需满足 4a 7 12， 4a 12， 解得 a 6. 又 a0，所以实数 a 的

14、取值范围 0， 6 . 法二因为 f(x)在 4a， 4a上是减函数， 所以 4a 4aT 2 2，即 0a 4. 由(1)可知 f(x)在 k 12，k 7 12 (kZ)上是减函数， 所以 4ak 12，且 4ak 7 12， 即 ak 3，且 ak 6，kZ. 结合 0a 4，解得 k0，所以 00，| 2)在区间 2，上的图象如图所示，则， 的值分别是() A2， 3 B2，2 3 C1 2， 3 D1 2， 2 3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与

15、分享 答案A 解析由题图可知 T2 6 3 ，所以2 T 2，又 sin 2 60，所以 32k(kZ)，即 32k(kZ)，而|0，将函数 y sin x 6 的图象向左平移 3个单位长度后与函数 y cos x 6 的图象重合，则的最小值为() A.1 2 B.3 2 C.5 2 D1 答案B 解析将函数 ysin x 6 的图象向左平移 3个单位长度后得到图象对应的函数 为 ysin x 3 6 与函数 ycos x 6 的图象重合， 所以 sin x 3 6 cos x 6 ，即 3 2k 2(kZ)，解得6k 3 2(kZ)，所以当 k0 时，有 最小值且为3 2，故选 B. 3函数

16、 f(x)3sin 2xlog 1 2 x 的零点的个数是() A2B3C4D5 答案D 解析函数 y3sin 2x 的周期 T 2 2 4，由 log 1 2 x3，可得 x1 8.由 log 1 2 x3， 可得 x8.在同一平面直角坐标系中， 作出函数 y3sin 2x 和 ylog 1 2 x 的图象(如图 所示)，易知有 5 个交点，故函数 f(x)有 5 个零点 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4(2020全国卷)已知函数 f(x)sin

17、x 1 sin x，则( ) Af(x)的最小值为 2 Bf(x)的图象关于 y 轴对称 Cf(x)的图象关于直线 x对称 Df(x)的图象关于直线 x 2对称 答案D 解析当 x 2，0时，f(x)0，f(x)min0，0，|)是奇函数，将 y f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函 数为 g(x)若 g(x)的最小正周期为 2，且 g 4 2，则 f 3 8 () A2B 2C. 2D2 答案C 解析因为 f(x)是奇函数(显然定义域为 R)，所以 f(0)Asin 0，所以 sin 0. 又|0)，yf(x)的图象与直线 y2 的两个相邻 交点

18、的距离等于，则 f(x)的单调递增区间是() A. k 12，k 5 12 ，kZ B. k 3，k 6 ，kZ C. k5 12，k 11 12 ，kZ D. k 6 ，k2 3 ，kZ 答案B 解析f(x) 3sin xcos x2sin x 6 .因为函数f(x)的图象与直线y2的两 个相邻交点的距离等于，则函数 f(x)的最小正周期为2 ，解得2，则 f(x) 2sin 2x 6 ，令 22k2x 6 22k，kZ 得 3kx 6k，kZ， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 3k， 6k，kZ，故选 B. 二、填空题 7(2016浙江卷)已知 2cos2xsin 2xAsin(x)b

19、(A0)，则 A_，b _ 答案21 解析2cos2xsin 2xcos 2x1sin 2x 2 2 2 cos 2x 2 2 sin 2x 1 2sin 2x 4 1 Asin(x)b(A0)，A 2，b1. 8(2018全国卷)函数 f(x)cos 3x 6 在0，的零点个数为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案3 解析由题意知 cos 3x 6 0， 所以 3x 6 2k， kZ， 所以 x 9 k 3 ， kZ， 当 k0 时，x 9；当

20、k1 时，x 4 9 ；当 k2 时，x7 9 ，均满足题意，所以函 数 f(x)在0，上的零点个数为 3. 9已知 f(x)sin x 3 (0)，f 6 f 3 ，且 f(x)在区间 6， 3 上有最小值，无 最大值，则_. 答案 14 3 解析依题意，x 6 3 2 4时，y 有最小值， sin 4 3 1， 4 32k 3 2 (kZ) 8k14 3 (kZ)， 因为 f(x)在区间 6， 3 上有最小值， 无最大值， 所以 3 4 ， 即12，令 k0， 得14 3 . 10已知函数 f(x)asin 2x(a1)cos 2x，aR，则函数 f(x)的最小正周期为 _；振幅的最小值为

21、_ 答案 2 2 解析由题意得f(x)asin 2x(a1)cos 2x a2（a1）2sin(2x)， 其中tan a1 a ，所以函数 f(x)的最小正周期为2 2 ， a2（a1）2 2a22a1， 0)，已知 f(x)在0，2有且仅有 5 个零点，下述四个结论： f(x)在(0，2)有且仅有 3 个极大值点； f(x)在(0，2)有且仅有 2 个极小值点； f(x)在 0， 10 单调递增； 的取值范围是 12 5 ，29 10 . 其中所有正确结论的编号是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全

22、 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 ABCD 答案D 解析已知 f(x)sin x 5 (0)在0，2有且仅有 5 个零点，如图，其图象的 右端点的横坐标在a，b)上，此时 f(x)在(0，2)有且仅有 3 个极大值点，但 f(x)在 (0，2)可能有 2 或 3 个极小值点，所以正确，不正确；当 x0，2时，x 5 5，2 5 ，由 f(x)在0，2有且仅有 5 个零点可得 52 56，得 的取值范围是 12 5 ，29 10 ， 所以正确； 由知， 当 x 0， 10 时， 5x 5 10 5 49 100 2，所以 f(x)在 0， 10 上单调递增，所以正确故选 D.

23、15(一题多解)(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则 a 的 最大值是() A. 4 B. 2 C.3 4 D 答案A 解析法一f(x)cos xsin x 2cos x 4 ，且函数 ycos x 在区间0，上单 调递减，则由 0 x 4，得 4 x3 4 .因为 f(x)在a，a上是减函数，所以 a 4， a3 4 ， 解得 a 4，所以 0a 4，所以 a 的最大值是 4，故选 A. 法二因为 f(x)cos xsin x，所以 f(x)sin xcos x，则由题意知 f(x) sin xcos x0 在a，a上恒成立，即 sin xcos x0，

24、即2sin x 4 0 在a，a上恒成立，结合函数 y 2sin x 4 的图象可知有 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a 40， a 4， 解得 a 4，所以 00，在函数 y2sin x 与 y2cos x 的图象的交点中，距离最短的两 个交点的距离为 2 3，则_ 答案 2 解析由 y2sin x， y2cos x，得 sin xcos x， tan x1，xk 4 (kZ) 0，xk 4 (kZ) 设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x

25、2，y2)，不妨取 x1 4，x 25 4，则|x 2 x1| 5 4 4| . 又结合图形知|y2y1|2 2 2 2 2 2|2 2， 且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为 2 3， (x2x1)2(y2y1)2(2 3)2， 2 (2 2)212， 2. 17(2021杭州质检)已知函数 f(x)sin2x cos2 x 3 (xR) (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)在 3， 4 上的值域 解(1)因为 f(x)sin2xcos2 x 3 sin2x 3 2 sin x1 2cos x 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 32303138

26、0 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 sin2x3 4sin 2x 3 2 sin xcos x1 4cos 2x 1 4(cos 2xsin2x) 3 4 2sin xcos x 3 4 sin 2x1 4cos 2x 1 2sin 2x 6 ， 所以函数 f(x)的最小正周期 T2 2 2 . (2)因为 x 3， 4 ， 所以 2x 6 5 6 ， 3 . 当 2x 6 2，即 x 6时，f(x) min1 2； 当 2x 6 3，即 x 4时，f(x) max 3 4 ， 所以函数 f(x)在 3， 4 上的值域

27、为 1 2， 3 4 . 18(2021台州评估测试)已知函数 f(x)cos2x2 3sin xcos xsin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值； (2)问方程 f(x)2 3在 6， 11 6上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和 解(1)因为 f(x)cos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 ， 所以最小正周期 T2 2 . 当 2x 62k 2，kZ，即 xk 6，kZ 时， 函数 yf(x)取得最大值 2. (2)由 2x 6k 2，kZ，可得函数 f(x)的对称轴为 x k 2 6，kZ， 作出函数 f(x)的图象如图所示 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以方程 f(x)2 3在 6， 11 6上共有 4 个不同的实数根， 且这些实数根关于 x5 6 对称， 所以这些实数根之和为10 3 .