（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第6节　空间向量及其运算.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 6 节空间向量及其运算 知 识 梳 理 1空间向量的有关概念 名称概念表示 零向量模为 0 的向量0 单位向量长度(模)为 1 的向量 相等向量方向相同且模相等的向量ab 相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合的向量 ab 共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是

2、存在实数，使得 ba 推 论如图 所示 ，点 P 在 l 上的 充要 条件 是OP OA ta 其中 a 叫直线 l 的方向向量，tR，在 l 上取AB a，则可化为OP OA t AB 或OP (1t)OA tOB (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR，a，b 为不共线向量，推 论的表达式为MP xMA y MB 或对空间任意一点 O， 有OP OM xMA y MB 或 OP xOM yOA zOB ，其中 xyz1 (3)空间向量基本定理 如果向量 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一 本资料分享自新人教版高中数学资

3、源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 一组实数1，2，3，使得 a1e12e23e3，空间中不共面的三个向量 e1，e2， e3叫作这个空间的一个基底 3空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做 向量 a 与 b 的夹角，记作a，b ，其范围是0，若a，b 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a

4、，b 的数量积，记作 ab，即 ab|a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)b(ab)； 交换律：abba； 分配律：a(bc)abac. 4空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3). 向量表示坐标表示 数量积aba1b1a2b2a3b3 共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3 垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30 模|a|a21a22a23 夹角a，b (a0， b0)cosa，b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23 5.空间两点间的距离公式 空 间 中 点 P1(x1，

5、y1， z1) ， P2(x2， y2， z2) 之 间 的 距 离 |P1P2| （x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1ab0a0 或 b0 或a，b 2. 2ab0 不等价为a，b为锐角，因为a，b可能为 0. 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面() (2)对任意两个空间向量 a，b，若 ab0，则 ab.() (3)若a，b，c是空间的一个基底，则 a，b，c

6、中至多有一个零向量() (4)若 ab0，则a，b是钝角() 答案(1)(2)(3)(4) 解析对于(2)，因为 0 与任何向量数量积为 0，所以(2)不正确；对于(3)， 若 a，b， c 中有一个是 0，则 a，b，c 共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则 ab0，故(4)不正确 2在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3， 0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是() A垂直B平行 C异面D相交但不垂直 答案B 解析由题意得AB (3，3，3)，CD (1，1，1)， AB 3CD ，AB 与CD 共线，又 AB 与 CD 没有公

7、共点 ABCD. 3.(选修 21P97A2 改编)如图一所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若AB a，AD b，AA 1c，则下列向量中与BM 相等的向量 是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc 答案A 解析由题意， 根据向量运算的几何运算法则， BM BB 1B1M AA 11 2(AD AB ) c1

8、 2(ba) 1 2a 1 2bc. 4.如图，以长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的 直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1 的坐标为(4，3，2)，则AC1 的坐标为 _ 答案(4，3，2) 解析A(4，0，0)，C1(0，3，2)，AC1 (4，3，2) 5已知 O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且OP 3 4OA 1 8OB tOC ， 若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t_ 答案 1 8 解析P，A，B，C 四点共面，3 4 1 8t1，t 1 8. 6 已知 i，j，k 为两两垂直的单位向量， 非零向量 aa1ia2ja

9、3k(a1， a2， a3R)， 若向量 a 与向量 i，j，k 的夹角分别为， ， ， 则 cos2cos2cos2_ 答案1 解析设 i，j，k 为长方体的共顶点的三条棱的方向向量，因非零向量 aa1ia2j a3k(a1，a2，a3R)，故 a 可为长方体体对角线的方向向量， 则xEA，yEA，zEA， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 cos cosxEAcosCAEAC AE， cos cosyEAcosDAEAD AE， cos cos

10、zEAcosEABAB AE， cos2cos2cos2AB 2AC2AD2 AE2 AE 2 AE21. 考点一空间向量的线性运算 【例 1】 如图所示，在空间几何体 ABCDA1B1C1D1中，各 面为平行四边形，设AA1 a，AB b，AD c，M，N，P 分别 是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)AP ；(2)MP NC1 . 解(1)因为 P 是 C1D1的中点，所以AP AA1 A1D1 D1P aAD 1 2D 1C1 ac1 2AB ac1 2b. (2)因为 M 是 AA1的中点，所以MP MA AP 1 2A 1A AP 1 2a a

11、c1 2b1 2a 1 2bc. 又NC1 NC CC1 1 2BC AA1 1 2AD AA1 1 2ca， 所以MP NC1 1 2a 1 2bc a1 2c 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3 2a 1 2b 3 2c. 感悟升华(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问 题的基本要求 用已知基向量表示指定向量时， 应结合已知和所求向量观察图形， 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平 行四边

12、形法则进行运算 (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量， 我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 提醒空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算 【训练 1】 如图，三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 AB，OC 的中点， 设OA a，OB b， OC c，用 a， b， c 表示NM ， 则NM () A.1 2(abc) B.1 2(abc) C.1 2(abc) D.1 2(abc) 答案B 解析NM NA AM (OA ON )1 2AB OA 1 2OC 1 2(OB OA )1 2OA 1 2OB 1 2OC 1 2(abc) 考点二共线定理

13、、共面定理的应用 【例 2】 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM 1 3(OA OB OC ) (1)判断MA ， MB ，MC 三个向量是否共面； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解(1)由题意知OA OB OC 3OM ， 所以OA OM (OM OB )(OM OC )， 即MA BM CM MB MC ， 所以MA ， MB ，MC 共面 (2)由(1)知M

14、A ， MB ，MC 共面且过同一点 M， 所以 M，A，B，C 四点共面 从而点 M 在平面 ABC 内 感悟升华(1)证明空间三点 P，A，B 共线的方法 PA PB(R)； 对空间任一点 O，OP xOA yOB (xy1) (2)证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法 MP xMA yMB ； 对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB (xyz1)； PM AB (或PAMB 或PB AM ) (3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转 化为向量共线、共面来证明 【训练 2】 (1)若 A(1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线

15、，则 mn _ (2)已知空间四点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，D(1，2，t)，若四 点共面，则 t 的值为_ 答案(1)3(2)0 解析(1)AB (3，1，1)，AC(m1，n2，2) A，B，C 三点共线，AB AC， m1 3 n2 1 2 1 ， m7，n4，mn3. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)AB (1，1，0)，AC(1，0，2)，AD (3，2，t2)， A，B，C，D 四点共面，AB ， AC，

16、AD 共面 设AD xAB yAC， 即(3，2，t2)(xy，x，2y)， 则 xy3， x2， 2yt2， 解得 x2， y1， t0. t 的值为 0. 考点三空间向量数量积及其应用 【例 3】 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60. (1)求 AC1的长； (2)求BD1 与AC 夹角的余弦值 解(1)记AB a，AD b，AA1 c， 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， 所以 abbcca1 2. |AC1 |2(abc)2 a2b2c22(abbcca) 1112 1 2 1 2 1 2 6， 所以|

17、AC1 | 6，即 AC1的长为 6. (2)BD1 bca，AC ab， 所以|BD1 | 2，|AC | 3， BD1 AC (bca)(ab) b2a2acbc1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 cosBD1 ， AC BD1 AC |BD1 |AC | 6 6 . 即BD1 与AC 夹角的余弦值为6 6 . 感悟升华利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与 夹角直接计算；二是利用坐标运算可解决有关垂直、夹角、长度问题

18、 (1)a0，b0，abab0； (2)|a| a2； (3)cosa，b ab |a|b|. 【训练 3】 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，MN 是其内 切球 O 的一条直径，E 是正方体表面上一点，求EM EN 的最大 值 解由极化恒等式的三角形形式得 EM EN 1 4(2EO )2MN 2 又因为 MN 是其内切球 O 的一条直径，E 是正方体表面上的动点，所以|MN |2， |EO | 3， 所以EM EN 1 4(2EO )242， 所以EM EN 的最大值为 2. 基础巩固题组 一、选择题 1已知向量 a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且 ab，则实数 m

19、的值 为() A.3 2 B2C0D.3 2或2 答案B 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析ab，2m1 2 3 m m1 m ，解得 m2. 2 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 AA1和 BB1的中点， 则 sin CM ， D1N 的值为() A.1 9 B.4 5 9 C.2 5 9 D.2 3 答案B 解析如图， 设正方体棱长为 2， 则易得CM (2， 2， 1)， D1N (2， 2， 1)， cos CM ，

20、 D1N CM D1N |CM |D1N | 1 9， 又CM ， D1N 0， sinCM ， D1N 1 1 9 2 4 5 9 . 3已知向量 a(1，1，0)，b(1，0，2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值是() A1B.4 3 C.5 3 D.7 5 答案D 解析由题意得 kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2)所以(kab)(2ab) 3(k1)2k225k70，解得 k7 5. 4已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等，E 是 BC 的中点，那么() A.AE BCAECD B.AE BCAECD 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 32

21、3031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C.AE BCAECD D.AE BC与AECD 的大小不能比较 答案C 解析取 BD 的中点 F，连接 EF，则 EF 綉 1 2CD，因为AE ， EFAE， CD 90，因为AE BC0，AECD 0，所以AE BCAECD . 5已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC， AD 的中点，则AE AF的值为( ) Aa2B.1 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 答案C 解析如图，设AB a，ACb，AD c，

22、则|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60. AE 1 2(ab)，AF 1 2c， AE AF1 2(ab) 1 2c 1 4(acbc) 1 4(a 2cos 60a2cos 60)1 4a 2. 6.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD， BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则： A1MD1P； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A1MB1Q； A1M平面 DCC1D1； A

23、1M平面 D1PQB1. 以上说法正确的个数为() A1B2C3D4 答案C 解析A1M A1A AM A1A 1 2AB ，D1P D1D DP A1A 1 2AB ，A1M D1P ， 所以 A1MD1P，又 D1P平面 DCC1D1，D1P平面 D1PQB1，A1M平面 DCC1D1， A1M平面 D1PQB1，由线面平行的判定定理可知，A1M平面 DCC1D1，A1M平 面 D1PQB1.正确 二、填空题 7已知 2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则 b，c 的 夹角为_ 答案120 解析由题意得(2ab)c0102010. 即 2acbc10，又ac4，b

24、c18， cosb，c bc |b|c| 18 12 144 1 2， 0b，c180，b，c120. 8已知 a(2，1，3)，b(1，2，1)，a 与 b 夹角的余弦值为_；若 a(ab)，则_ 答案 21 6 2 解析a(2，1，3)，b(1，2，1)，cosa，b ab |a|b| 223 14 6 21 6 ； 由题意 a(ab)0，即 a2ab0，又 a214，ab7，1470， 2. 9已知AB (1，5，2)，BC(3，1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且 BP平面 ABC，则 x_，y_，z_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待

25、你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 40 7 15 7 4 解析由条件得 352z0， x15y60， 3（x1）y3z0， 解得 x40 7 ，y15 7 ，z4. 10设 A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的 5 个不同的点，则使 5 k1MAk 0 成立 的点 M 的个数有_ 答案1 解析设 M(a，b，c)，Ak(xk，yk，zk)(k1，2，3，4，5) 则MAk (xka，ykb，zkc)， 由 5 k1MAk 0 得 x1x2x3x4x55a0， y1y2y3y4y55b0， z1z2z3z4z55c

26、0， a1 5（x 1x2x3x4x5） ， b1 5（y 1y2y3y4y5） ， c1 5（z 1z2z3z4z5） ， 存在唯一点 M. 三、解答题 11.如图，已知平行六面体 ABCDABCD.试用AC 表示ACABAD . 解平行六面体的六个面均为平行四边形， 在ABCD 中，AC ABAD ， 在ABBA中，AB ABAA， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 在ADDA中，AD AD AA ， AC ABAD (AB AD )(AB AA)(

27、AD AA )2(ABAD AA ) 又在ABCD 中，AD BC ， 在ACCA中，AA CC ， AB AD AA ABBCCC AC ， AC ABAD 2AC . 12已知空间中三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 aAB ，b AC . (1)若|c|3，且 cBC ，求向量 c. (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值 解(1)cBC ，BC(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)， cmBC m(2，1，2)(2m，m，2m)， |c| （2m）2（m）2（2m）23|m|3， m1，c(2，1，2)或(2，1，2) (2)a(1，1，0)，b(

28、1，0，2)， ab(1，1，0)(1，0，2)1， 又|a| 121202 2， |b| （1）20222 5， cosa，b ab |a|b| 1 10 10 10 ， 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 10 10 . 能力提升题组 13在空间四边形 ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ( ) A1B0C1D不确定 答案B 解析如图，令AB a，ACb，AD c，则AB CD AC DB AD BC 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与

29、分享 a(cb)b(ac)c(ba) acabbabccbca0. 14若a，b，c是空间的一个基底，且向量 pxaybzc，则(x，y，z)叫向量 p 在基底a，b，c下的坐标 已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向 量 p 在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量 p 在基底ab，ab，c下 的坐标是() A(4，0，3)B(3，1，3) C(1，2，3)D(2，1，3) 答案B 解析设 p 在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)则 px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc， 因为 p 在a，b，c下的坐标为(4，2，3)， p4a2

30、b3c， 由得 xy4， xy2， z3， x3， y1， z3， 即 p 在ab，ab，c下的坐标为(3，1，3) 15已知 O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA (1，2，3)，OB (2，1，2)， OP (1，1，2)，且点 Q 在直线 OP 上运动，当QA QB 取得最小值时，OQ 的坐标 是_ 答案 4 3， 4 3， 8 3 解析点 Q 在直线 OP 上，设点 Q(，2)， 则QA (1，2，32)，QB (2，1，22)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854

31、 期待你的加入与分享 QA QB (1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106 4 3 2 2 3. 即当4 3时，QA QB 取得最小值2 3. 此时OQ 4 3， 4 3， 8 3 . 16已知空间向量PA ， PB，PC的模长分别为 1，2，3，且两两夹角均为 60.点 G 为ABC 的重心， 若PG xPA yPBzPC， x， y， zR， 则 xyz_ |PG | _ 答案1 5 3 解析因为 A，B，C，G 四点共面，所以 xyz1，则 z1xy，PG PA AG PA 1 3(AB AC )PA 1 3(PB PA)(PC PA )1 3PA 1 3PB 1 3PC

32、1 3(PA PB PC)， 17.如图，在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1中，E，F 分别是棱 AB，BC 上 的动点，且 AEBFx，其中 0 xa，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. (1)写出点 E，F 的坐标； (2)求证：A1F C1E ； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)若 A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F 1 2A 1C1 A1E . (1)解E(a，x，0)，F(ax，a，0) (2)证明A1(a

33、，0，a)，C1(0，a，a)， A1F (x，a，a)，C1E (a，xa，a)， A1F C1E axa(xa)a20， A1F C1E . (3)证明A1，E，F，C1四点共面， A1E ， A1C1 ，A1F 共面 选A1E 与A1C1 为在平面 A1C1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使A1F 1A1C1 2A1E ， 即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a) (a1，a1x2，a2)， xa1， aa1x2， aa2， 解得11 2， 21. 于是A1F 1 2A 1C1 A1E . 18如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点

34、E，F， G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算： (1)EF BA；(2)EG 的长； (3)AG 与CE 所成角的余弦值 解设AB a，ACb，AD c. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， (1)EF 1 2BD 1 2c 1 2a，BA a， EF BA 1 2c 1 2a(a)1 2a 21 2ac 1 4， (2)EG EB BCCG 1 2aba 1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c， |EG |21 4a 21 4b 21 4c 21 2ab 1 2bc 1 2ca 1 2，则|EG | 2 2 . (3)AG 1 2b 1 2c，CE CAAEb1 2a， cosAG ， CE AG CE |AG |CE | 2 3.