（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第5节　三角函数的化简与求值.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 5 节三角函数的化简与求值 知 识 梳 理 1三角变换 三角变换是重要的代数式变形，变形过程中，不仅需要熟练把握各种三角公式， 还需要有一种处理复杂代数式的能力，更需要有一种化归的意识 2三角恒等变换中常用的方法技巧 (1)角的变换：在化简、求值、证明中，表达式中往往会出现较多的相异角，可根 据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，缩小条件与结 构中角的差异，使问题获解，此时需熟悉倍角与半角的相对性

2、及角的拆并，变换 的技巧，如 3是 2 3 的半角， 2是 4的二倍角，2()()，() 等 (2)函数名称的变换：在三角函数中，正弦函数、余弦函数是基础，在变形中，通 常化切为弦，变异名为同名 (3)常数代换：在三角函数的运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函 数和或积等形式，例如常数“1”的代换变形为：1sin2cos2tan 45sin 90. (4)幂的变换： 升幂和降幂是三角变换中常用的方法， 对于次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法 (5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公 式及其逆用和变形应用例如 sin cos 1 2sin 2， tan Ata

3、n Btan(AB)(1tan Atan B)等 (1)辅助角公式：asin bcos a2b2sin()，其中角所在象限由 a，b 的符 号确定，且 tan b a. (2)(选用)万能公式：sin 2tan 2 1tan2 2 ，cos 1tan2 2 1tan2 2 ，tan 2tan 2 1tan2 2 . (3)(选用)三倍角公式：sin 33sin 4sin3，cos 34cos33cos ，tan 3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3t

4、an tan3 13 tan2 . 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)1tan 1tan tan 4 .() (2)在半角公式： sin 2 1cos 2 ， cos 2 1cos 2 ， tan 2 1cos 1cos 中，符号由 2所在象限决定( ) (3)tan 2 sin 1cos 1cos sin .() (4)1 2cos 3 2 sin cos(60)() 答案(1)(2)(3)(4) 解析 1 2cos 3 2 sin cos 60cos sin 60sin cos(60)，(4)不正确 2. 1cos 260 2 的值是() Asin 40Bcos 40 Ccos

5、130Dcos 50 答案A 解析原式 2cos2130 2 |cos 130|cos 50sin 40. 3若 cos 2 3，且0，则 cos 2sin 2的值是( ) A.5 6 B. 30 6 6 C.6 5 D. 30 6 5 答案B 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析0，cos 2 3，sin 1cos2 5 3 ，则 cos 2sin 2 2 1 sin 1 5 3 ，检验知 B 符合上式 4若 sin 3 2 2x 3 5，则 tan

6、 2x_ 答案4 解析sin 3 2 2x 3 5，cos 2x 3 5，即 cos 2x 3 5，tan 2xsin2x cos2x 1cos 2x 1cos 2x 13 5 13 5 4. 5方程 sin x 3cos x1 在区间0，2上的所有解的和等于_ 答案 7 3 解析sin x 3cos x2sin x 3 1，x0，2，解得 x1 2，x 22 6，x 1 x27 3 . 6定义运算 abab2a2b，则 sin 15cos 15_ 答案 6 8 解析由定义运算知 sin 15cos 15sin 15cos215sin215cos 15sin 15cos 15(cos 15si

7、n 15) 2 2 2sin 15cos 15sin(4515) 6 8 . 考点一三角函数式的化简 【例 1】 化简1sin 2cos 2 1sin 2cos 2. 解原式 2sin22sin cos 2cos22sin cos sin （sin cos ） cos （sin cos ） sin cos tan . 感悟升华三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 把角进行合理的拆分，正确使用公式；

8、二看函数名称之间的差异，确定使用的公 式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分 式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等 【训练 1】 化简 tan tan 2 tan 2tan 3(sin 2cos2) 解原式 tan 2tan 1tan2 tan 2 1tan21 3cos 2 2tan 1tan2 3cos 2 2sin cos cos2 sin2cos2 3cos 2 sin 2 3cos 22sin 2 3 . 考点二三角函数式的求值 角度 1给角求值 【例 21】 求值： 1cos 202cos 40sin 10(1 3tan 10) 解原式 2cos 1

9、0 2cos 40sin 10cos 10 3sin 10 cos 10 2cos 10 2cos 402sin 10sin 30cos 10cos 30sin 10 cos 10 2 2(cos 40cos 10sin 10sin 40) 2 2cos 30 6. 角度 2给值求值 【例 22】 已知，都是锐角，cos 1 7，cos() 11 14，求 cos 的值 解，都是锐角，cos 1 7，sin 1cos 24 3 7 ，又 0，cos( 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4831

10、22854 期待你的加入与分享 )11 14， sin() 1cos2（）5 3 14 ， 故 cos cos() cos()cos sin()sin 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2. 角度 3给出关系式求值 【例 23】 已知 sin4cos45 9，求 sin 2的值 解sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos212sin2cos25 9，2sin 2cos2 4 9， sin cos 2 3 ，sin 22sin cos 2 2 3 . 角度 4给值求角 【例 24】 若 sin 2 5 5 ，sin() 10 10 ，且 4， ，3 2 ，求 的值

11、解sin 2 5 5 ， 4，2 2，2， cos 22 5 5 且 4， 2 ， 又sin() 10 10 ， ，3 2 ， cos()3 10 10 ， cos()cos()2 cos()cos 2sin()sin 2 3 10 10 2 5 5 10 10 5 5 2 2 ， 又 5 4 ，2 ，7 4 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 感悟升华(1)给角求值时，往往出现特殊角、出现正负项相消、分子分母出现公 因式，注意观察化简、求值； (2)

12、给值求值要寻找已知函数值的角与欲求函数值角之间的关系； (3)给出关系式求值，需要对已知关系式灵活变形、化简； (4)给值求角注意先求角的范围，然后再求出在此范围上一种单调函数的角的三角 函数值 【训练 2】 (1)(角度 1)计算：2cos 10 sin 70 tan 20. (2)(角度 2)已知是第一象限角，sin 24 25，求 tan 2的值 (3)(角度 3)已知 2sin 1cos ，求 tan 的值 (4)(角度 4)(一题多解)设 cos 5 5 ，tan 1 3， 3 2 ，0 2，求的值 解(1)2cos 10 sin 70 tan 20 2cos 10 cos 20 s

13、in 20 cos 20 2cos（3020） cos 20 sin 20 cos 20 2（cos 30cos 20sin 30sin 20） cos 20 sin 20 cos 20 3cos 20sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 3. (2)因为是第一象限角，sin 24 25，所以 cos 1sin 2 1 24 25 2 7 25，所 以 tan sin cos 24 7 ，tan 2tan 2 1tan2 2 24 7 ，整理得 12tan2 27tan 2120，解得 tan 2 3 4或 tan 2 4 3(舍去)，故 tan 2 3 4. (3)因为 2

14、sin 1cos ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 4sin 2cos 21 12sin2 2 2sin2 2， 解得 sin 20 或 2cos 2sin 2，tan 20 或 2， 又 tan 2tan 2 1tan2 2 ， 当 tan 20 时，tan 0；当 tan 22 时，tan 4 3. (4)法一由 cos 5 5 ，3 2 ，得 sin 2 5 5 ， tan 2，又 tan 1 3， 于是 tan() tan tan 1t

15、an tan 21 3 121 3 1. 又由3 2 ， 0 2可得 20， 2 3 2 ， 因此5 4 . 法二由 cos 5 5 ，3 2 得 sin 2 5 5 . 由 tan 1 3，0 2 得 sin 1 10，cos 3 10. 所以 sin()sin cos cos sin 2 5 5 3 10 5 5 1 10 2 2 . 又由3 2 ，0 2可得 20， 2 3 2 ，因此5 4 . 考点三三角函数恒等式的证明 【例 3】 证明：sin（2） sin 2cos()sin sin . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料

16、分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 证明左端sin（）2cos（）sin sin sin（）cos cos（）sin sin sin（） sin sin sin 右端 感悟升华(1)三角函数恒等式的证明要从“角、名、形”进行分析消除两端的差 异； (2)常从繁杂一边推出简单的一边，或者两边同时推出一个共同式子，有时需对要 证等式先进行等价变换，进而证明其等价命题(等式) 【训练 3】 证明：cos 44cos 238cos4. 证明左边cos 44cos 23 2cos2214cos 23 2(cos222cos 21)2(cos 21)2 2(2

17、cos211)22(2cos2)28cos4右边 三角函数求值 【例题】 (满分 14 分)(2018浙江卷)已知角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的 非负半轴重合，它的终边过点 P 3 5， 4 5 . (1)求 sin()的值； (2)若角满足 sin() 5 13，求 cos 的值 审题路线图 用三角函数定义求出 sin ，cos 用诱导公式求出 sin（） 角度转换 （） 计算 cos 满分解答 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解(1)由

18、角的终边过点 P 3 5， 4 5 得 sin 4 5，2 分 所以 sin()sin 4 5.5 分 (2)由角的终边过点 P 3 5， 4 5 得 cos 3 5， 7 分 由 sin() 5 13得 cos() 12 13.10 分 由()得 cos cos()cos sin()sin ， 所以 cos 56 65或 cos 16 65.14 分 构建模板 利用三角函数定义求三角函数 诱导公式计算 平方关系计算 角的变换 利用两角差的余弦公式，分类计算 明确规范的表述结论 【训练】 (2018江苏卷)已知，为锐角，tan 4 3，cos() 5 5 . (1)求 cos 2的值； (2)

19、求 tan()的值 解(1)因为 tan 4 3，tan sin cos ，所以 sin 4 3cos . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 因为 sin2cos21，所以 cos2 9 25， 因此 cos 22cos21 7 25. (2)因为，为锐角，所以(0，) 又因为 cos() 5 5 ，所以 sin() 1cos2（）2 5 5 ，因此 tan( )2. 因为 tan 4 3，所以 tan 2 2tan 1tan2 24 7 ， 因此 ta

20、n()tan2() tan 2tan（） 1tan 2tan（） 2 11. 基础巩固题组 一、选择题 1若 cos 43 5，则 sin 2( ) A. 7 25 B.1 5 C1 5 D 7 25 答案D 解析cos 43 5，sin 2cos 22 cos2 42cos2 41 2 3 5 2 1 7 25. 2若 sin 61 3，则 cos 2 3 2 () A7 9 B1 3 C.1 3 D.7 9 答案A 解析 6 3 2，cos 3 sin 61 3，cos 2 3 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版

21、高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 cos2 32cos2 3121 91 7 9. 3计算sin 47sin 17cos 30 cos 17 () A 3 2 B1 2 C. 3 2 D.1 2 答案D 解析原式sin（3017）sin 17cos 30 cos 17 sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30 cos 17 sin 30cos 17 cos 17 sin 301 2. 4式子3tan 11 3tan 19tan 11tan 19的值是() A. 3B. 3 3 C0D1 答案D 解析tan 30tan(1119)

22、 tan 11tan 19 1tan 11tan 19， tan 11tan 19 3 3 (1tan 11tan 19)， 原式 3(tan 11tan 19)tan 11tan 19 3 3 3 (1tan 11tan 19)tan 11tan 19 1. 5若 2，且 3cos 2sin 4，则 sin 2的值为() A 1 18 B. 1 18 C17 18 D.17 18 答案C 解析由 3cos 2sin 4， 可得 3(cos2sin2) 2 2 (cos sin )， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高

23、中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 于是 3(cos sin ) 2 2 ， 所以 12sin cos 1 18， 所以 sin 217 18，故选 C. 6已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ，均为锐角，则角() A.5 12 B. 3 C. 4 D. 6 答案C 解析因为，均为锐角，所以 2 2. 又 sin() 10 10 ，所以 cos()3 10 10 . 又 sin 5 5 ，所以 cos 2 5 5 ， 所以 sin sin() sin cos()cos sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 . 所以 4.

24、二、填空题 7已知 sin 6cos 1 3，则 sin 6 _ 答案1 3 解析sin 6cos 1 2cos 3 2 sin cos sin 6 1 3， sin 6 1 3. 8求值：tan 10 1 cos 50_ 答案3 解析原式sin 10 cos 10 1 sin 40 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 cos 80 sin 80 2cos 40 2sin 40cos 40 cos 802cos 40 sin 80 cos 802（cos

25、10cos 30sin 10sin 30） sin 80 cos 80 3cos 10sin 10 sin 80 3cos 10 sin 80 3sin 80 sin 80 3. 9已知 2 3 4 ，cos()12 13，sin() 3 5，则 sin 2的值是_ 答案56 65 解析 2 3 4 ，3 4 2， 0 4， 3 2 ， cos()12 13，sin() 3 5， sin() 5 13，cos() 4 5， sin 2sin（）（） 5 13 4 5 12 13 3 5 56 65. 10已知 sin(x20)cos(x10)cos(x10)，则 tan x 的值是_ 答案3

26、解析sin(x20)cos(x10)cos(x10)， sin xcos 20cos xsin 202cos xcos 10， tan x2cos 10sin 20 cos 20 2cos（3020）sin 20 cos 20 2cos 30cos 202sin 30sin 20sin 20 cos 20 2cos 30 3. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 三、解答题 11求值：cos 15cos 2 15cos 3 15cos 4 15 cos 5

27、 15cos 6 15cos 7 15. 解原式 1 sin 15 sin 15cos 15cos 2 15cos 4 15cos 5cos 2 5 cos 7 15cos 3 1 sin 15 1 2sin 2 15cos 2 15cos 4 15cos 5cos 2 5 cos 7 15 1 2 1 sin 15 1 23sin 4 15cos 4 15cos 5cos 2 5 cos 7 15 1 sin 15 1 24sin 8 15 cos 8 15 cos 5cos 2 5 1 sin 15 1 25 sin 16 15 1 sin 5 sin 5cos 5cos 2 5 1 25

28、 1 sin 15 sin 15 1 sin 5 1 2sin 2 5 cos 2 5 1 26 1 sin 5 1 2sin 4 5 1 27 1 sin 5 sin 5 1 27 1 128. 12已知 cos 4x3 5， 17 12 x7 4 ，求sin 2x2sin 2x 1tan x 的值 解 sin 2x2sin2x 1tan x 2sin xcos x2sin2x 1sin x cos x 2sin xcos x（cos xsin x） cos xsin x sin 2x1tan x 1tan x 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入

29、与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 sin 2xtan 4x. 由17 12 x7 4 ， 得5 3 x 40， 因为 cos 2 2 5 sin 4 ， 所以(cos sin )(cos sin )1 5(sin cos )， 所以 cos sin 1 5，可得 0， 4 . 将 cos sin 1 5两边平方可得 12sin cos 1 25， sin cos 12 25， sin cos sin2cos2 12 25. 分子、分母同除以 cos2可得 tan tan21 12 25， 解得 tan 3 4或 4 3(舍)，即 t

30、an 3 4. 15. 6 sin 70 3 2 cos 250的值等于_ 答案4 6 解析原式 6 sin 70 3 2 cos 70 6cos 703 2sin 70 sin 70cos 70 2 6 1 2cos 70 3 2 sin 70 sin 70cos 70 2 6sin（3070） 1 2sin 140 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4 6sin 40 sin 40 4 6 16(2021龙岩质检)若(0，)，且 3sin 2cos

31、2，则 tan 2_ 答案 3 2 解析3sin 2cos 6sin 2cos 22 cos2 2sin 2 2 sin2 2cos 2 2 6tan 222tan 2 2 tan2 21 2， 3tan 21tan 2 2tan 2 21， 解得 tan 20 或 3 2，又(0，)， tan 20，tan 2 3 2. 17已知 tan()1 3， tan()sin 2 24cos2 10cos2sin 2 . (1)求 tan()的值； (2)求 tan 的值 解(1)因为 tan()1 3， 所以 tan 1 3， 从而有 tan() 2sin cos 4cos2 10cos22sin

32、 cos 2sin 4cos 10cos 2sin tan 2 5tan 5 16. (2)tan tan() tan（）tan 1tan（）tan 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 5 16 1 3 1 5 16 1 3 31 43. 18已知， 0， 2 ，且 7sin 5sin (2)， (1)求证：tan()6tan ； (2)若 tan 3tan ，求的值 (1)证明因为 7sin 5sin(2)， 7sin()5sin()， 得 7sin()cos cos()sin 5sin()cos cos()sin ， 即 sin()cos 6cos()sin . 又因为， 0， 2 ， 则(0，)，cos 0，cos()0， 所以 tan()6tan . (2)解由上可知 tan()6tan ，即 tan tan 1tan tan 6tan . 又因为 tan 3tan ，代入得 tan 1 3tan 1tan 1 3tan 61 3tan ， 解得 tan 1 或 tan 1(舍)或 tan 0(舍)，故错误错误!.