（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第4节　椭圆的方程与性质.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 4 节椭圆的方程与性质 知 识 梳 理 1椭圆的定义 在平面内与两定点 F1， F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 这 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 其数学表达式：集合 PM|MF1|MF2|2a， |F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数： (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ac，则集合 P 为空集 2

2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (ab0) y2 a2 x2 b21 (ab0) 图形 性 质 范围 axa byb bxb aya 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b，0)，B2(b，0) 轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率ec a(0，1) a，b，c 的关系c2a2b2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大

3、全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1若点 P 在椭圆上，F 为椭圆的一个焦点，则 (1)b|OP|a； (2)ac|PF|ac. 2焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形， r1|PF1|， r2|PF2|， F1PF2， PF1F2的面积为 S， 则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0) 中； (1)当 r1r2时，即点 P 的位置为短轴端点时，最大； (2)Sb2tan 2c|y 0|，当|y0|b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最 大值为 bc. 3焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)

4、最短，弦长 lmin 2b 2 a . 4AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦，A(x 1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则 直线 AB 的斜率 kABb 2x0 a2y0. 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆() (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆() (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形() (4)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆() (5)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相同( ) 答案(1)(2

5、)(3)(4)(5) 解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于 |F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形 (2)因为 ec a a2b2 a 1 b a 2 ，所以 e 越大，则b a越小，椭圆就越扁 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2(2018上海卷)设 P 是椭圆x 2 5 y 2 3 1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距 离之和为() A2 2B2 3C2 5

6、D4 2 答案C 解析由椭圆的定义可得 P 到两焦点的距离之和为 2a2 5. 3(2021衢州、湖州、丽水质检)椭圆x 2 2 y21 的离心率是() A.1 2 B.1 3 C. 2 3 D. 2 2 答案D 解析依题意可知椭圆中 a 2，b1，故 c a2b21，所以椭圆的离心率 e 1 2 2 2 ，故选 D. 4(2019北京卷)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，则( ) Aa22b2B3a24b2 Ca2bD3a4b 答案B 解析因为椭圆的离心率 ec a 1 2，所以 a 24c2. 又 a2b2c2，所以 3a24b2.故选 B. 5(选修 21P

7、49A6 改编)已知点 P 是椭圆x 2 5 y 2 4 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_ 答案 15 2 ，1 或 15 2 ，1 解析设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541， 所以 c1，则 F1(1，0)，F2(1，0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y 1，把 y1 代入x 2 5 y 2 4 1，得 x 15 2 ，又 x0，所以 x 15 2 ，P 点坐标 为 15 2 ，1 或 15 2 ，1 . 6已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(1，0)，其关于

8、直线 ybx 的对称 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 点 Q 在椭圆上，则离心率 e_，SFOQ_ 答案 2 2 1 2 解析设点 Q(x，y)，则由点 Q 与椭圆的右焦点 F(1，0)关于直线 ybx 对称得 y x1 1 b， y 2b x1 2 ， 解得 x1b 2 1b2， y 2b 1b2， 代入椭圆 C 的方程得 （1b2）2 a2（1b2）2 4b2 b2（1b2）2 1 ， 结 合 a2b2 1 解得 a 2， b1， 则椭圆的离心率

9、e c a 2 2 ， SFOQ 1 2|OF| 2b 1b2|1 21 2 112 1 2. 考点一椭圆的定义及其应用 【例 1】 (1)如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意一 点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是() A椭圆B双曲线 C抛物线D圆 (2)已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点， 且F1PF260，SPF1F23 3，则 b_ (3)(2021G12 名校协作体联考)设椭圆 C：x 2 2 y21 的左焦点为 F，

10、直线 l：xy 20.动点 P 在椭圆 C 上，记点 P 到直线 l 的距离为 d，则|PF|d 的最大值是 _ 答案(1)A(2)3(3) 2 2 解析(1)连接 QA.由已知得|QA|QP|. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以|QO|QA|QO|QP|OP|r. 又因为点 A 在圆内，所以|OA|OP|，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆故选 A. (2)由题意得|PF1|PF2|2a，又F1PF260， 所

11、以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2， 所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2， 所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2， 所以|PF1|PF2|4 3b 2， 所以 SPF1F21 2|PF 1|PF2|sin 601 2 4 3b 2 3 2 3 3 b23 3，所以 b3. (3)记椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，且点 F到直线 l：xy20 的距离为 h，则 由椭圆的定义有|PF|d(2a|PF|)d2a(|PF|d)2ah2 2 3 2 2 2 ， 当且仅当点 P 与垂线段和椭圆的交点重合时，等号成立 感悟升华(1)椭圆定

12、义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否 为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等 (2)椭圆的定义式必须满足 2a|F1F2|. 【训练 1】 (1)(2019浙江卷)已知椭圆x 2 9 y 2 5 1 的左焦点为 F，点 P 在椭圆上且 在 x 轴的上方若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直 线 PF 的斜率是_ (2)与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_ 答案(1) 15(2)x 2 25 y2 161 解析(1)设 PF 的中点为 M，椭圆的右焦点为

13、F，连接 OM，MF，则 F(2，0)， F(2，0)，|OM|2，|PF|2|OM|4. 根据椭圆的定义，得|PF|PF|6，所以|PF|2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 又因为|FF|4，所以在 RtMFF中， tan MFF|MF| |MF| |FF|2|MF|2 |MF| 15， 即直线 PF 的斜率是 15. (2)设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r. 所以|PC1|PC2|10|C1C2|， 即

14、 P 在以 C1(3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上， 得点 P 的轨迹方程为x 2 25 y2 161. 考点二椭圆的标准方程 【例 2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 3 2， 5 2 ， ( 3， 5)，则椭圆方程为_ (2)(一题多解)过点( 3， 5)，且与椭圆y 2 25 x2 9 1 有相同焦点的椭圆标准方程为 _ 答案(1)y 2 10 x2 6 1(2)y 2 20 x2 4 1 解析(1)设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn) 由 3 2 2 m 5 2 2 n1， 3m5n1， 解得 m1 6，n 1 10. 椭圆

15、方程为y 2 10 x2 6 1. (2)法一椭圆y 2 25 x2 9 1 的焦点为(0，4)，(0，4)，即 c4. 由椭圆的定义知，2a（ 30）2（ 54）2 （ 30）2（ 54）2，解得 a2 5. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由 c2a2b2可得 b24. 所以所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 4 1. 法二设所求椭圆方程为 y2 25k x2 9k1(kb0)的左、右焦 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3230

16、31380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，则 C 的离心率为() A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 (2)椭圆 G：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点为 F 1(c，0)，F2(c，0)，M 是椭圆上一 点，且满足F1M F2M 0.则椭圆离心率 e 的取值范围为() A. 0， 2 2B. 0， 2 2C. 2 2 ，1 D. 2 2 ，1 答案(1)D(2)D 解析(1)由

17、题意可得椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示，设|F1F2|2c，PF1F2 为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c. |OF2|c，点 P 坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即点 P(2c， 3c)点 P 在过点 A，且斜率为 3 6 的直线上， 3c 2ca 3 6 ，解得c a 1 4， e1 4，故选 D. (2)法一设点 M 的坐标为(x0，y0)，F1M F2M 0，F1(c，0)，F2(c，0)，(x0 c)(x0c)y200，即 x20y20c2. 又知点 M 在椭圆 G 上，x 2 0 a2 y20 b21， 由联立结合 a2b2c2解得 x20

18、a 2（c2b2） c2 ，由椭圆的性质可得 0 x20a2， 即 a2（c2b2） c2 0， a2（c2b2） c2 a2，即 c2b2， c2b2c2，所以 c 2b2， 又知 b2a2c2， c2a2c2， 即 2c2a2，解得 e21 2，又知 0e1， 2 2 e1，故选 D. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 法二椭圆 G 上存在点 M 使F1M F2M 0，MF1MF2，即MF1F2是以 M 为直角顶点的直角三角形， |MF1|MF2|2

19、a，|F1F2|2c，(|MF1|MF2|)2 2(|MF1|2|MF2|2)2|F1F2|28c2， |MF1|MF2|2 2c， e |F1F2| |MF1|MF2| 2c 2 2c 2 2 ，当且仅当|MF1|MF2| 2c 时，等号成立，又知 0eb0)上，以 M 为圆心的 圆与 x 轴相切于椭圆的焦点，与 y 轴相交于 P，Q，若MPQ 是钝角三角形，则 椭圆离心率的取值范围是() A. 0， 6 2 2B. 0， 2 2 C. 2 2 ， 3 2D. 2 2 ，1 (2)(2021济南质检)设椭圆 E 的两焦点分别为 F1，F2，以 F1为圆心，|F1F2|为半径 的圆与 E 交于

20、 P，Q 两点若PF1F2为直角三角形，则 E 的离心率为() A. 21B. 51 2 C. 2 2 D. 21 答案(1)A(2)A 解析(1)由题意可得圆心 M c，b 2 a ，作 MHPQ 于点 H，则PMH45，所以 cos PMHac b2 2 2 ，即 e2 2e10，解得 0eb0)， 如图所示， PF 1F2为直角三角形， PF1F1F2，又|PF1|F1F2|2c，|PF2|2 2c，|PF1|PF2|2c2 2c 2a，椭圆 E 的离心率 ec a 21.故选 A. 基础巩固题组 一、选择题 1椭圆x 2 m y2 4 1 的焦距为 2，则 m 的值为() A5B3C5

21、 或 3D8 答案C 解析当 m4 时，m41，m5；当 0m0.因为椭圆 C 的一个焦点为(2，0)，所以焦点在 x 轴上，且 c2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 a2448，所以 a2 2，所以椭圆 C 的离心率 ec a 2 2 .故选 C. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4(2021北京昌平

22、区二模)嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一 个焦点的椭圆形轨道，如图所示，其近月点与月球表面距离为 100 公里，远月点 与月球表面距离为 400 公里已知月球的直径为 3 476 公里，则该椭圆形轨道的 离心率约为() A. 1 25 B. 3 40 C.1 8 D.3 5 答案B 解析如图，F 为月球的球心，月球半径为1 23 4761 738， 依题意，|AF|1001 7381 838，|BF|4001 7382 138， 2a1 8382 1383 97

23、6，a1 988，ac2 138，c2 138 1 988150，椭圆的离心率为 ec a 150 1 988 3 40. 5(2021台州期末评估)已知点 F 为椭圆 C：x 2 9 y 2 5 1 的右焦点，点 P 为椭圆 C 与圆(x2)2y216 的一个交点，则|PF|() A2B4C6D2 5 答案A 解析设椭圆 C 左焦点为 F1， 由题意椭圆 C 的左焦点 F1(2， 0)， 即为圆的圆心， 且圆经过 F(2，0)，则|PF1|FF1|2c，则|PF|2a2c642，故选 A. 6(2021宁波期末)已知 F1，F2为椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，在

24、椭 圆 E 上存在点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于 b，则椭圆 E 的 离心率为() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 答案B 解析因为点P在椭圆E上， 所以|PF1|PF2|2a， 则|PF1|2a|PF2|2a|F1F2| 2a2c.过点 F2作 PF1的垂线，垂足为点 H，由|PF2|F1F2|易得点 H 为 PF1的 中点，则在 RtF2HF1中，由勾股定理得|F1F2|2|F2H|2|F1H|2，即(2c)2b2(a c)2，结合 b2a2c2化简得 a2ac2c20，解得椭圆 E 的离心率 ec a 1 2(舍 本资料分享自新人教版高

25、中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 负)，故选 B. 二、填空题 7 (2021名校仿真训练四)椭圆x 2 4 y21 的离心率是_， 焦距长是_ 答案 3 2 2 3 解析由椭圆方程得 a2，b1，则 c 3，椭圆的离心率 ec a 3 2 ，焦距长为 2c2 3. 8(2021杭州二中仿真模拟)设圆 O 的圆心为坐标原点，半径为 a2b2，圆 O 的 在第一象限的圆弧上存在一点 M，过 M 作圆 O 的切线与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)交 于 A，B 两点，若

26、OAOB，则椭圆的离心率为_ 答案 51 2 解析由题意可得 OAOB， 不妨取如下位置(如图所示)， 此 时 OAa，OBb，OMc，AB a2b2.由三角形面积公 式可得 ab a2b2c，结合 b2a2c2化简整理得 e43e2 10， e23 5 2 ， 因为 0eb0)经过点 3，1 2 ， 1， 3 2 ，点 A 是椭圆的下顶 点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过点 A 且互相垂直的两直线 l1， l2与直线 yx 分别相交于 E， F 两点， 已知|OE| |OF|，求直线 l1的斜率 解(1)由题意得 3 a2 1 4b21， 1 a2 3 4b21， 解得 1 a2

27、1 4， 1 b21， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y21. (2)由题意知 A(0，1)，直线 l1，l2的斜率存在且不为零， 设直线 l1：yk1x1 与直线 yx 联立方程有 yk1x1， yx， 得 E 1 k11， 1 k11 . 设直线 l2：y 1 k1x1，同理 F 1 1 k11 ， 1 1 k11. 因为|OE|OF|，则 O 为 EF 的中点， 1 k11 1 1 k11 0， 解得 k11 2， 综上可得，直线 l1的斜率为 1 2. 12(2017上海卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆：x 2 4 y21，A 为的上 顶点，P 为上异于上、下顶点的动

28、点，M 为 x 正半轴上的动点 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)若 P 在第一象限，且|OP| 2，求点 P 的坐标； (2)设 P 8 5， 3 5 ，若以 A，P，M 为顶点的三角形是直角三角形，求点 M 的横坐标； (3)若|MA|MP|，直线 AQ 与交于另一点 C，且AQ 2AC ，PQ 4PM ，求直线 AQ 的方程 解(1)联立：x 2 4 y21 与 x2y22， 可得 P 2 3 3 ， 6 3 . (2)设 M(m， 0)，

29、当 MAMP 时， MA MP (m， 1) 8 5m， 3 5 m28 5m 3 50m 3 5或 m1. 当 PAMP 时，PA MP 8 5， 2 5 8 5m， 3 5 8 5m 64 25 6 250m 29 20.综上，m 3 5或 1 或 29 20. (3)设 P(x0，y0)，线段 AP 的中垂线与 x 轴的交点即 M 3 8x 0，0 ，PQ 4PM ， Q 3 2x 0，3y0 ，AQ 2AC ，C 3 4x 0，13y 0 2，代入并联立椭圆方程， 解得 x08 5 9 ，y01 9， Q 4 3 5，1 3 ，直线 AQ 的方程为 y 5 10 x1. 能力提升题组

30、13(2019全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1，0)，F2(1，0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为() A.x 2 2 y21B.x 2 3 y 2 2 1 C.x 2 4 y 2 3 1D.x 2 5 y 2 4 1 答案B 解析设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 连接 F 1A， 令|F2B| 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 m，则|AF2|2m，|

31、BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得 ma 2，故|F 2A|a |F1A|，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点如图 不妨设 A(0，b)，由 F2(1，0)，AF2 2F2B ，得 B 3 2， b 2 .由点 B 在椭圆上，得 9 4 a2 b2 4 b2 1， 得 a23，b2a2c22，椭圆 C 的方程为x 2 3 y 2 2 1. 14(2021金华十校期末调研)已知点 A(2，1)，P 为椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1 上的动 点，B 是圆 C1：(x1)2y21 上的动点，则|PB|PA|的最大值为() A. 5B. 21 C3D5 10 答案D 解析由题意可得点

32、 C1(1，0)为椭圆 C 的右焦点，设椭圆 C 的左焦点为 F(1， 0)，则|PB|PA|1|PC1|PA|14|PF|PA|5(|PF|PA|)5|FA|5 10，故选 D. 15(2021浙江新高考仿真二)已知 F 是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点，P 是 C 上的任意一点，则|FP|称为椭圆 C 的焦半径设 C 的左顶点与上顶点分别为 A，B，若存在以 A 为圆心，|FP|为半径的圆经过点 B，则椭圆 C 的离心率的最小 值为_ 答案 31 2 解析因为点 P 为椭圆上一点，点 F 为椭圆的焦点，则易得 ac|PF|ac. 又因为|AB|a2b22a2c2，

33、所以 ac2a2c2ac，化简得 e c a 31 2 ，1 ，所以椭圆的离心率的最小值为 31 2 . 16 (2018浙江卷)已知点 P(0， 1)， 椭圆x 2 4 y2m(m1)上两点 A， B 满足AP 2PB， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则当 m_时，点 B 横坐标的绝对值最大 答案5 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP 2PB，得 x12x2， 1y12（y21） ，即 x 12x2， y132y2.因为点 A，B

34、在椭圆上，所以 4x22 4 （32y2）2m， x22 4 y22m， 得 y21 4m 3 4， 所以 x22m(32y2)21 4m 25 2m 9 4 1 4(m5) 244，所以当 m5 时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为 2. 17(2021北京丰台区一模)已知椭圆 W：x22y22，直线 l1：ykxm(km0) 与椭圆 W 交于 A，B 两点，直线 l2：ykxm 与椭圆 W 交于 C，D 两点 (1)求椭圆 W 的离心率； (2)证明：四边形 ABCD 不可能为矩形 (1)解由题知 a22， b21， a2b2c2， 解得 a 2， c1. 则 ec a 2 2 ，所以

35、椭圆 W 的离心率为 2 2 . (2)证明由于两直线关于原点成中心对称且椭圆是关于原点的中心对称图形，不 妨设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，(x1x2) 则 x212y212， x222y222， 得 2(y22y21)(x22x21)， kABkADy2y1 x2x1 y2y1 x2x1 y22y21 x22x21 1 21. 所以 AB 不垂直于 AD. 所以四边形 ABCD 不可能为矩形 18(2020全国卷)已知椭圆 C：x 2 25 y2 m21(0m0， 由题意知 yP0. 由已知可得 B(5，0)，直线 BP 的方程为 y 1 yQ(

36、x5)， 所以|BP|yP1y2Q，|BQ| 1y2Q. 因为|BP|BQ|，所以 yP1. 将 yP1 代入 C 的方程，解得 xP3 或3. 由直线 BP 的方程得 yQ2 或 8， 所以点 P，Q 的坐标分别为 P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(3，1)，Q2(6，8) 所以|P1Q1| 10，直线 P1Q1的方程为 y1 3x， 点 A(5，0)到直线 P1Q1的距离为 10 2 ， 故AP1Q1的面积为1 2 10 2 105 2； |P2Q2| 130，直线 P2Q2的方程为 y7 9x 10 3 ， 点 A 到直线 P2Q2的距离为 130 26 ， 故AP2Q2的面积为1 2 130 26 1305 2. 综上，APQ 的面积为5 2.