（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第3节　函数的单调性与最值.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 3 节函数的单调性与最值 知 识 梳 理 1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数减函数 定义 一般地，设函数 f（x）的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1x2时，都有 f（x1）f （x2） ，那么就说函数 f（x） 在区间 D 上是增函数 当 x1f（x2） ，那么就 说函数 f（x）在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向

2、右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数 yf（x）在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf（x）在这 一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做函数 yf（x）的单调区间. 2.函数的最值 前提设函数 yf（x）的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 （1）对于任意 xI，都有 f（x） M； （2）存在 x0I，使得 f（x0）M （3）对于任意 xI，都有 f（x） M； （4）存在 x0I，使得 f（x0）M 结论M 为最大值M 为最小值 1.对勾函数 yxa x （a0）的增区间为（， a和 a，） ；减区间为 a，0）和（0， a，且对勾函数为奇函数. 本资

3、料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2.设任意 x1，x2D（x1x2） ，则f（x1）f（x2） x1x2 0（或（x1x2）f（x1）f （x2）0）f（x）在 D 上单调递增； f（x1）f（x2） x1x2 0（或（x1x2）f（x1）f（x2）0）f（x）在 D 上单调 递减. 3.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接， 不要用“”. 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. （1）对于函数 f（x） ，xD，若对任意

4、 x1，x2D，且 x1x2有（x1x2）f（x1） f（x2）0，则函数 f（x）在区间 D 上是增函数.（） （2）函数 y1 x的单调递减区间是（，0）（0，）.（ ） （3）对于函数 yf（x） ，若 f（1）0 时，f（x）3x 为减函数； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 x 0，3 2 时，f（x）x23x 为减函数， 当 x（0，）时，f（x） 1 x1为增函数； 当 x（0，）时，f（x）|x|为减函数. 3.（2018全国卷）设函

5、数 f（x） 2 x，x0， 1，x0， 则满足 f（x1）f（2x）的 x 的 取值范围是（） A.（，1B.（0，） C.（1，0）D.（，0） 答案D 解析当 x0 时，函数 f（x）2 x 是减函数，则 f（x）f（0） 1.作出 f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使 f（x 1）f（2x） ，则需 x10， 2x0， 2xx1 或 x10， 2x0， 所以 x0，易知 f（x）在2，）上是减函数， f（x）maxf（2）1 1 212. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4

6、83122854 期待你的加入与分享 6.函数 y|x1|x2|的单调递增区间为；值域是. 答案2，）3，） 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析图象法函数 y|x1|x2| 2x1，x1， 3，1x2， 2x1，x2， 作出函数的图象如图所示. 根据图象可知，函数 y|x1|x2|的单调递增区间为2，） ，值域为3， ）. 考点一确定函数的单调性（区间） 【例 1】 （1） 已知函数 f （x） log4（4|x|） ， 则 f （x） 的单调递增区

7、间是. 答案（4，0 解析由 f（x）log4（4|x|）得函数 f（x）的定义域为（4，4） ，且函数 y 4|x|的单调递增区间为（4，0，则函数 f（x）log4（4|x|）的单调递增区 间为（4，0. （2） （一题多解）试讨论函数 f（x） ax x1（a0）在（1，1）上的单调性. 解法一设1x1x21， 因为 f（x）a x11 x1a 1 1 x1 ， 所以 f（x1）f（x2）a 1 1 x11 a 1 1 x21 a（x2x1） （x11） （x21），由于1x 1x20，x110，x210 时，f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ，函数 f（x）在（1，1）

8、 上递减； 当 a0 时，f（x1）f（x2）0， 即 f（x1）0 时，f（x）0，函数 f（x）在（1，1）上递减； 当 a0，函数 f（x）在（1，1）上递增. 感悟升华（1）求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. （2） 函数单调性的判断方法有： 定义法； 图象法； 利用已知函数的单调性； 导数法. （3）函数 yf（g（x） ）的单调性应根据外层函数 yf（t）和内层函数 tg（x） 的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【训练 1】 （1） （2021北京西城区练习）能说明“若 f（x1）f（x）对于任 意的 x（0，）都成立，则 f（x）在（0，）上是减函数”为

9、假命题的 一个函数是. 答案y x1 4 2 （答案不唯一，符合条件即可） 解析由题意不妨设 f（x） x1 4 2 ， 则 f（x1）f（x） x11 4 2 x1 4 2 2x1 20 在（0，）都成 立， 但是 f（x）在 0，1 4 是单调递增的，在 1 4，是单调递减的，说明原命题是假 命题. （2） （一题多解）判断函数 f（x）xa x（a0）在（0，）上的单调性，并 给出证明. 解f（x）在（0， a上是减函数，在 a，）上是增函数. 证明如下： 法一设 x1，x2是任意两个正数，且 x1x2， 则 f（x1）f（x2） x1 a x1 x2a x2x1x2 x1x2 （x1x

10、2a）. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 0 x1x2 a时，0 x1x2a，又 x1x20，即 f（x1）f（x2） ， 所以函数 f（x）在（0， a上是减函数. 当 ax1a，又 x1x20， 所以 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）0）在（0， a上是减函数，在 a，）上 为增函数. 法二f（x）1a x2，令 f（x）0，则 1 a x20， 解得 x a或 x a（舍）. 令 f（x）0，则 1a x20，解得 ax0，0 x1，

11、x22x，x1， 则 f（f（3） ）， 函数 f（x）的最大值是. 答案31 解析由于 f（x） log1 3 x，x1， x22x，x1. 所以 f（3）log 1 3 31，则 f（f（3） ）f（1）3， 当 x1 时，f（x）log 1 3 x 是减函数，得 f（x）0 恒成立，试求实数 a 的取值范围. 解当 a1 2时，f（x）x 1 2x2，设 1x 1x2， 则 f（x2）f（x1）（x2x1） 1 1 2x1x2， 1x1x2，x2x10，2x1x22， 0 1 2x1x2 1 2，1 1 2x1x20， f（x2）f（x1）0，f（x1）f（x2）. f（x）在区间1，）

12、上为增函数， f（x）在区间1，）上的最小值为 f（1）7 2. 当 x1，）时，x 22xa x 0 恒成立， 则 x22xa0 对 x1，）恒成立. 即 a（x22x）在 x1，）上恒成立. 令 g（x）（x22x）（x1）21，x1，） ， g（x）在1，）上是减函数，g（x）maxg（1）3. 又 a1， 当30 在 x1，）上恒成立. 故实数 a 的取值范围是（3，1. 感悟升华（1）求函数最值的常用方法：单调性法；基本不等式法；配方 法；图象法；导数法. （2）利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.若函数 f （x）在闭区间a，b上是增函数，则 f（x）在a，b

13、上的最大值为 f（b） ，最小值 为 f（a）.若函数 f（x）在闭区间a，b上是减函数，则 f（x）在a，b上的最大 值为 f（a） ，最小值为 f（b）. 【训练 2】 （1） （2017浙江卷）若函数 f（x）x2axb 在区间0，1上的最 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 大值是 M，最小值是 m，则 Mm（） A.与 a 有关，且与 b 有关B.与 a 有关，但与 b 无关 C.与 a 无关，但与 b 无关D.与 a 无关，但与 b 有关 （2

14、） （一题多解）函数 yx 12x的最大值为. 答案（1）B（2）1 2 解析（1）法一设 x1，x2分别是函数 f（x）在0，1上的最小值点与最大值点， 则 mx21ax1b，Mx22ax2b. 所以 Mmx22x21a（x2x1） ，显然此值与 a 有关，与 b 无关. 法二因为最值在 f（0）b，f（1）1ab，f a 2 ba 2 4 中取，所以最值 之差一定与 b 无关，但与 a 有关，故选 B. （2）法一（换元法） 令 t 12x，则 x1t 2 2 且 t0. 所以 y1t 2 2 t1 2（t1） 21. 因为 t0，所以 y1 2，即函数 yx 12x的最大值为 1 2.

15、法二（单调性法） 函数的定义域为 ，1 2 ， 由于 y1x 和 y2 12x在 ，1 2 上递增， 函数 yx 12x在 ，1 2 上递增， 函数 yx 12x的最大值为1 2. 考点三函数单调性的应用 【例 3】 （1）已知函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，当 x2x11 时，f（x2） f（x1）（x2x1）abB.cba C.acbD.bac （2）定义在 R 上的奇函数 yf（x）在（0，）上递增，且 f 1 2 0，则不等 式 f（log 1 9 x）0 的解集为. 答案（1）D（2） x|0 x 1 3或 1xx11 时，f（x2）f（x1）（x2x1）0 恒成立，知 f

16、（x）在（1，）上单调递减. 又 125 2f 5 2 f（e） ，即 f（2）f 1 2 f（e） ，故 bac. （2）yf（x）是定义在 R 上的奇函数，且 yf（x）在（0，）上递增， yf（x）在（，0）上也是增函数， 又 f 1 2 0，知 f 1 2 f 1 2 0. 故原不等式 f（log 1 9 x）0 可化为 f（log 1 9 x）f 1 2 或 f（log 1 9 x）f 1 2 ， log 1 9 x1 2或 1 2log 1 9 x0， 解得 0 x1 3或 1x3. 所以原不等式的解集为 x|0 x 1 3或 1x3. 感悟升华（1）利用单调性求参数的取值（范围）

17、的思路是：根据其单调性直接 构建参数满足的方程（组） （不等式（组） ）或先得到其图象的升降，再结合图象 求解. （2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号 脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域. 【训练 3】 （1） （2020全国卷）若 2x2y0B.ln（yx1）0D.ln|xy|0 （2）已知函数 f（x）在（，）上单调递减，且为奇函数.若 f（1）1， 则满足1f（x2）1 的 x 的取值范围是（） A.2，2B.1，1 C.0，4D.1，3 答案（1）A（2）D 解析（1）由 2x2y3 x3y，得 2y3x2y3y，即 2x

18、1 3 x 2y 1 3 y .设 f（x） 2x 1 3 x .则 f（x）f（y）.因为函数 y2x在 R 上为增函数，y 1 3 x 在 R 上为 增函数，所以 f（x）2x 1 3 x 在 R 上为增函数，则由 f（x）f（y） ，得 x0，所以 yx11.所以 ln（yx1）0，故选 A. （2）因为 f（x）为奇函数，所以 f（1）f（1）1，于是1f（x2） 1 等价于 f（1）f（x2）f（1） ，又 f（x）在（，）上单调递减， 1x21，1x3. 基础巩固题组 一、选择题 1.若函数 f（x）|2xa|的单调递增区间是3，） ，则 a 的值为（） A.2B.2C.6D.6

19、答案C 解析由图象易知函数 f（x）|2xa|的单调增区间是a 2，） ，令 a 23， a6. 2.下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（） A.y 1 1x B.ycos x C.yln（x1）D.y2 x 答案D 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析y 1 1x与 yln（x1）在（1，1）上为增函数，且 ycos x 在（1， 1）上不具备单调性.A，B，C 不满足题意.只有 y2 x 1 2 x 在（1，1）上是 减函数. 3.已知函数

20、 yf（x）的图象关于 x1 对称，且在（1，）上单调递增，设 a f 3 2 ，bf（2） ，cf（3） ，则 a，b，c 的大小关系为（） A.cbaB.bac C.bcaD.abc 答案C 解析函数图象关于 x1 对称，af 3 2 f 7 2 ，又 yf（x）在（1，） 上单调递增， f（2）f（3）f 7 2 ，即 bca. 4.定义新运算“”：当 ab 时，aba；当 ab 时，abb2，则函数 f（x） （1x）x（2x）在区间2，2上的最大值为（） A.1B.1C.6D.12 答案C 解析由已知得当2x1 时，f（x）x2， 当 10 时，exex0，exex0，所以 f（x）

21、0.故 f（x） 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 在（0，）上是增函数. 6.已知函数 f（x）在 R 上单调递减，且 a33.1，b 1 3 ，cln 1 3，则 f（a） ，f （b） ，f（c）的大小关系为（） A.f（a）f（b）f（c）B.f（b）f（c）f（a） C.f（c）f（a）f（b）D.f（c）f（b）f（a） 答案D 解析因为 a33.1301，0b 1 3 1 3 0 1，cln 1 3ln 10，所以 cbf（b）f（a）.

22、二、填空题 7.函数 f（x） 1 3 x log2（x2）在区间1，1上的最大值为 . 答案3 解析由于 y 1 3 x 在 R 上递减，ylog2（x2）在1，1上递增，所以 f（x） 在1，1上单调递减，故 f（x）在1，1上的最大值为 f（1）3. 8.若函数 f（x）ax（a0，a1）在1，2上的最大值为 4，最小值为 m，且函 数 g（x）（14m） x在0，）上是增函数，则 a. 答案 1 4 解析当 a1 时，则 yax为增函数，有 a24，a 1m，此时 a2，m1 2， 此时 g（x） x在0，）上为减函数，不合题意. 当 0a4. 若函数 yf（x）在区间（a，a1）上单

23、调 递增，则实数 a 的取值范围是. 答案（，14，） 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析作出函数 f（x）的图象如图所示，由图象可知 f（x）在（a，a1）上单调 递增，需满足 a4 或 a12，即 a1 或 a4. 10.（2021温州适应性测试）若函数 f（x）a|xb|1 在（1，）上是减函 数，则实数 a 的取值范围是，实数 b 的取值范围是. 答案（，0）1，） 解析当 a0 时，函数 f（x）a|xb|1 在（，b上是减函数，在（b，

24、）上是增函数，不满足函数 f（x）a|xb|1 在（1，）上是减函数； 当 a0 时，f（x）1，不满足函数 f（x）a|xb|1 在（1，）上是减 函数；当 a0 时，函数 f（x）a|xb|1 在（，b上是增函数，在（b， ）上是减函数，因为函数 f（x）a|xb|1 在（1，）上是减函数，所 以 a0 且b1，即 a0，x0）. （1）求证：f（x）在（0，）上是增函数； （2）若 f（x）在 1 2，2上的值域是 1 2，2，求 a 的值. （1）证明设 x2x10，则 x2x10，x1x20， f（x2）f（x1） 1 a 1 x2 1 a 1 x1 1 x1 1 x2 x2x1 x

25、1x2 0， f（x2）f（x1） ，f（x）在（0，）上是增函数. （2）解f（x）在 1 2，2上的值域是 1 2，2，又由（1）得 f（x）在 1 2，2上是 单调增函数， f 1 2 1 2，f（2）2，易知 a 2 5. 12.已知函数 f（x）2xa x的定义域为（0，1. （1）当 a1 时，求函数 yf（x）的值域； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 （2）求函数 yf（x）在区间（0，1上的最大值及最小值，并求出当函数 f（x） 取得最

26、值时 x 的值. 解（1）当 a1 时，f（x）2x1 x，任取 1x 1x20，则 f（x1）f（x2） 2（x1x2） 1 x1 1 x2 （x1x2） 2 1 x1x2. 1x1x20，x1x20，x1x20. f（x1）f（x2） ，f（x）在（0，1上单调递增，无最小值，当 x1 时取得最 大值 1，所以 f（x）的值域为（，1. （2）当 a0 时，yf（x）在（0，1上单调递增，无最小值，当 x1 时取得最 大值 2a； 当 a0 时，f（x）2xa x ， 当a 21，即 a（，2时，yf（x）在（0，1上单调递减，无最大值， 当 x1 时取得最小值 2a； 当a 21， 即

27、a （2， 0） 时， yf （x） 在 0，a 2 上单调递减， 在 a 2，1 上单调递增，无最大值，当 xa 2时取得最小值 2 2a. 能力提升题组 13.已知函数 f（x）ex1，g（x）x24x3，若存在 f（a）g（b） ，则实 数 b 的取值范围为（） A.0，3B.（1，3） C.2 2，2 2D.（2 2，2 2） 答案D 解析由题意可知 f（x）ex11，g（x）x24x3（x2） 211， 若 f（a）g（b） ，则 g（b）（1，1， 即b24b31，即 b24b20， 解得 2 2b0，若 f（2x 2）f（x） ，则实数 x 的取值范 围是（） A.（，1）（2，

28、）B.（，2）（1，） C.（1，2）D.（2，1） 答案D 解析当 x0 时，两个表达式对应的函数值都为 0， 函数的图象是一条连续的曲线.又当 x0 时，函数 f（x）x3为增函数，当 x0 时，f（x）ln（x1）也是增函数，函数 f（x）是定义在 R 上的增函数. 因此，不等式 f（2x2）f（x）等价于 2x2x，即 x2x20，解得2x1. 15.（2021苏州调研）函数 y|x|（1x）的单调递增区间为，单调递减 区间为. 答案 0，1 2（，0和 1 2， 解析y|x|（1x） x（1x） ，x0， x（1x） ，x0 x2x，x0， x2x，x0， 函数的大致图象如图所示.

29、由图易知函数的单调递增区间为 0，1 2 ，单调递减区间为（，0和 1 2，. 16.（2021绍兴适考）已知函数 f（x） 2x，x0， log2（xa） ，x0.若 f（1）f（1） ， 则实数 a； 若 yf （x） 存在最小值， 则实数 a 的取值范围为. 答案1 21，0） 解析因为 f（1）f（1） ，所以1 2log 2（1a） ，则 1a2 1 2，即 a1 2. 因为函数 y2x在（，0）上单调递增，函数 ylog2（xa）在0，）上 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483

30、122854 期待你的加入与分享 单调递增，故函数 f（x）的值域为（0，1）log2（a） ，）.由 f（x）存在 最小值知，log2（a）0，即 0a20，所以1a0 恒成立，试确定 a 的取值范围. 解（1）由 xa x20，得 x22xa x 0， 当 a1 时，x22xa0 恒成立，定义域为（0，） ， 当 a1 时，定义域为x|x0 且 x1， 当 0a1 时，定义域为x|0 x1 1a或 x1 1a. （2）设 g（x）xa x2，当 a（1，4） ，x2，）时， g（x）1 a x2 x2a x2 0. 因此 g（x）在2，）上是增函数， f（x）在2，）上是增函数. 则 f（

31、x）minf（2）lga 2. （3）对任意 x2，） ，恒有 f（x）0， 即 xa x21 对 x2，）恒成立. a3xx2. 令 h（x）3xx2，x2，）. 由于 h（x） x3 2 2 9 4在2，）上是减函数， h（x）maxh（2）2. 故 a2 时，恒有 f（x）0. 因此实数 a 的取值范围为（2，）. 18.已知 aR，设函数 f（x）x|xa|x. （1）若 a3，求函数 f（x）的单调区间； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 （2

32、）若 a0，对于任意的 x0，t，不等式1f（x）6 恒成立，求实数 t 的最大值及此时 a 的值. 解（1）当 a3 时，f（x） x22x（x1）21，x3， x24x（x2）24，x3， 函数 f（x）的单调递增区间为（，1） ， （3，） ，单调递减区间为（1，3）. （2）当 a0，x0，t时，xa 恒成立，故 f（x）x2（a1）x. 当 a1 时，a1 2 0，f（x）在0，t上单调递增， f（x）minf（0）0， f（x）maxf（t）t2（a1）t，由题意得 f（x）max6， 即 t2（a1）t6， 解得 0t（a1） （a1） 224 2 . 令 m（a1）0，h（m）

33、 m224m 2 12 m224m在0，）上单 调递减， 所以 h（x）maxh（0） 6，即当 a1 时，tmax 6. 当1a0 时，a1 2 0，f（x）在 0，a1 2上单调递减，在 a1 2 ， 上 单调递增，f（x）minf a1 2（a1） 2 4 1 4，0，满足 f（x）min1. 当 0ta11 时，f（x）maxf（0）0，满足题意，此时 tmax1，a0； 当 ta1 时，f（x）maxf（t）t2（a1）t， 由题意得 f（x）max6， 即 t2（a1）t6， 解得 a1t（a1） （a1） 224 2 . 令 ma1，则 0m1，h（m）m m 224 2 在（0，1上单调递增， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 h（m）maxh（1）3， 即当 a0 时，tmax3. 综上所述，tmax3，此时 a0.