(2022高考数学一轮复习(创新设计))第2节 圆的方程.DOCX
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1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 2 节圆的方程 知 识 梳 理 1圆的定义和圆的方程 2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0,y0)与圆 C:(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系: (1)drM 在圆外,即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆外; (2)drM 在圆上,即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆上; (3)drM 在圆内,即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆内 圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上; (2)
2、圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆相切时,切点与两圆心三点共线 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径() (2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆() (3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆() (4)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0,B0, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 D2E24AF0.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(2)当 a0 时,x2y2a2表示点(0
3、,0);当 a0 时,表示半径为|a|的圆 (3)当(4m)2(2)245m0,即 m1 4或 m1 时才表示圆 2若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部,则实数 a 的取值范围是() A(1,1)B(0,1) C(,1)(1,)Da1 答案A 解析因为点(1,1)在圆的内部, 所以(1a)2(1a)24,所以1a0),将 P,Q 两点的坐标分 别代入得 2D4EF20, 3DEF10. 又令 y0,得 x2DxF0. 设 x1,x2是方程的两根, 由|x1x2|6,得 D24F36, 由,解得 D2,E4,F8,或 D6,E8,F0. 故所求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x
4、2y26x8y0. 感悟升华求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程一般来说,求圆的 方程有两种方法: (1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时,常用到的 圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的中垂线 上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线; (2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【训练 1】 (1)(2018天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(
5、1,1),(2, 0)的圆的方程为_ (2)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M(0, 5)在圆 C 上,且圆心到直线 2x y0 的距离为4 5 5 ,则圆 C 的方程为_ 答案(1)x2y22x0(2)(x2)2y29 解 析(1) 设 圆 的 方 程 为 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F0) , 则 F0, 11DEF0, 42DF0, 解得 D2,E0,F0,即圆的方程为 x2y22x0. (2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,设 C(a,0),且 a0,所以圆心到直线 2x y0 的距离 d2a 5 4 5 5 ,解得 a2,所以圆 C 的半径 r|
6、CM| 453, 所以圆 C 的方程为(x2)2y29. 考点二与圆有关的最值问题 【例 2】 已知实数 x,y 满足方程 x2y24x10. (1)求y x的最大值和最小值; (2)求 yx 的最大值和最小值; (3)求 x2y2的最大值和最小值 解原方程可化为(x2)2y23,表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆 (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设y xk,即 ykx. 当直线 ykx 与圆相切时,斜率 k 取最大值或最小值,此时|2k0| k21 3,解得 k 3(如图 1) 所以y x的最大值为 3,最小值为 3. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
7、群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距,当直线 yxb 与圆相切时,纵 截距 b 取得最大值或最小值,此时|20b| 2 3,解得 b2 6(如图 2) 所以 yx 的最大值为2 6,最小值为2 6. (3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心 连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3) 又圆心到原点的距离为 (20)2(00)22, 所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3,x2y2的最小值是(2 3)
8、274 3. 感悟升华把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题,充分体现了数 形结合以及转化的数学思想,其中以下几类转化极为常见: (1)形如 myb xa的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如 taxby 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; (3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题, 可转化为两点间距离的平方的最值问题 【训练 2】 (1)圆心在曲线 y2 x(x0)上,与直线 2xy10 相切,且面积最小 的圆的方程为() A(x2)2(y1)225B(x2)2(y1)25 C(x1)2(y2)225D(x1)2(y2)25 (2)设点 M(x0,1),若在
9、圆 O:x2y21 上存在点 N,使得OMN45,则 x0的 取值范围是_ (3)(2021绍兴模拟)设点 P(x,y)是圆:x2(y3)21 上的动点,定点 A(2,0), B(2,0),则PA PB的最大值为_ 答案(1)D(2)1,1(3)12 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)设圆心坐标为 C a,2 a (a0),则半径 r| 2a2 a1| 5 22a2 a1 5 5,当且仅当 2a2 a,即 a1 时取等号 所以当 a1 时圆的半
10、径最小,此时 r 5,C(1,2),所以面积最小的圆的方程 为(x1)2(y2)25. (2)如图所示,过点 O 作 OPMN 交 MN 于点 P. 在 RtOMP 中,|OP|OM|sin 45, 又|OP|1,得|OM| 1 sin 45 2. |OM| 1x20 2,x201. 因此1x01. (3)由题意,知PA (2x,y),PB(2x,y),所以PAPBx2y24,由 于点 P(x, y)是圆上的点, 故其坐标满足方程 x2(y3)21, 故 x2(y3)21, 所以PA PB (y3)21y246y12.由圆的方程 x2(y3)21,易知 2y4,所以,当 y4 时,PA PB的
11、值最大,最大值为 641212. 考点三与圆有关的轨迹问题 【例 3】 已知点 P(2, 2), 圆 C: x2y28y0, 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点 (1)求点 M 的轨迹方程; (2)当|OP|OM|时,求 l 的方程及POM 的面积 解(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216,所以圆心为 C(0,4),半径为 4. 设 M(x,y),则CM (x,y4),MP (2x,2y) 由题设知CM MP 0,故 x(2x)(y4)(2y)0, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的
12、加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即(x1)2(y3)22. 由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆由于|OP|OM|, 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ONPM. 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为1 3, 故 l 的方程为 x3y80. 又|OM|OP|2 2,O 到 l 的距离为4 10 5 , 所以|PM|4 10 5 ,SPOM1 2 4 10 5 4 10 5 1
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