(2022高考数学一轮复习(创新设计))第3节 导数与函数的极值、最值.DOCX
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1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 3 节导数与函数的极值、最值 知 识 梳 理 1函数的极值与导数 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0处连续且 f(x0)0, 如果在 x0附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,那么 f(x0)是极大值; 如果在 x0附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,那么 f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 求 f(x); 求方程 f(x)0 的根; 检查 f(x)在方程 f
2、(x)0 的根的左右两侧的符号如果左正右负,那么 f(x)在这 个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值 2函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在a,b上有最值的条件 如果在区间a,b上函数 yf(x)的图象是连续不断的曲线,那么它必有最大值和 最小值 (2)设函数 f(x)在a,b上连续且在(a,b)内可导,求 f(x)在a,b上的最大值和最小 值的步骤如下: 求 f(x)在(a,b)内的极值; 将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最 小值 1若函数 f(x)的图象连续不断,则 f(x)在a,b内一定有最值 2若函数
3、 f(x)在a,b内是单调函数,则 f(x)一定在区间端点处取得最值 3若函数 f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的 最值点 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减 少失分的可能 5求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下 结论 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的() (2)函数的
4、极大值不一定比极小值大() (3)对可导函数 f(x),f(x0)0 是 x0为极值点的充要条件() (4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不一定唯一;(3)x0为 f(x)的极值点 的充要条件是 f(x0)0,且 x0两侧导数符号异号 2(选修 22P32A4 改编)如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象,则 f(x)的极小值点的 个数为() A1B2 C3D4 答案A 解析由题意知在 x1 处 f(1)0,且其左右两侧导数符号为左负右正 3函数 f(x)x33x1 有() A极小值1,极
5、大值 1B极小值2,极大值 3 C极小值2,极大值 2D极小值1,极大值 3 答案D 解析因为 f(x)x33x1,故有 y3x23,令 y3x230,解得 x 1, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 于是,当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x(,1)1(1,1)1(1,) f(x)00 f(x)极小值极大值 所以 f(x)的极小值为 f(1)1,f(x)的极大值为 f(1)3. 4函数 f(x)ln xax 在 x1 处有极值,则常
6、数 a_ 答案1 解析f(x)1 xa,f(1)1a0,a1,经检验符合题意 5已知函数 f(x)3 2x 2(a4)x2ln x 在区间(1,2)上存在最值,则实数 a 的取值 范围是_ 答案(9,5) 解析f(x)3x(a4)2 x 3x2(a4)x2 x ,故可将题意等价的转化为 f(1)f(2)0,即(a5)(a9)0,解得9a5,故答案为(9,5) 6已知 yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 yx1,且 f(x)ln x1,则函数 f(x)_,函数 f(x)的最小值为_ 答案xln x1 e 解析由 f(x)ln x1 得 f(x)xln xc, 又 f(1)0, 则 c0,
7、 所以 f(x)xln x 又 x 0,1 e 时,f(x)0,f(x)单调递增,则 f(x)minf 1 e 1 e. 考点一用导数解决函数的极值问题 【例 1】 求下列函数的极值: (1)f(x)x22x4ln x; (2)f(x)ax33x213 a(aR 且 a0) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解(1)f(x)的定义域为(0,), f(x)2x24 x 2(x2) (x1) x , 令 f(x)0 得 x2 或1(舍) 随着 x 的变化,f
8、(x)与 f(x)的变化情况如下表: x(0,2)2(2,) f(x)0 f(x)极小值 f(x)有极小值 f(2)4ln 2,无极大值 (2)由题设知 a0,f(x)3ax26x3ax x2 a . 令 f(x)0 得 x0 或2 a. 当 a0 时,随着 x 的变化,f(x)与 f(x)的变化情况如下表: x(,0)00,2 a 2 a 2 a, f(x)00 f(x)极大值极小值 f(x)极大值f(0)13 a, f(x)极小值f 2 a 4 a2 3 a1. 当 a1 2,则当 x 1 a,2时,f(x)0. 所以 f(x)在 x2 处取得极小值 若 a1 2,则当 x(0,2)时,x
9、20,ax1 1 2x10. 所以 2 不是 f(x)的极小值点 综上可知,a 的取值范围是 1 2,. (2)f(x)的定义域为(0,),f(x)a x 2x 1 x a x2 2x . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 a0 时,f(x)0, 此时 f(x)在(0,)上单调递减,所以不存在极小值 当 a0 时,令 f(x)0 可得 x 4 a2, 当 x 变化时,f(x)与 f(x)的变化情况如下表: x0, 4 a2 4 a2 4 a2, f(
10、x)0 f(x)极小值 所以 f(x)在 0, 4 a2上单调递减,在 4 a2,上单调递增, 所以极小值为 f 4 a22ln 4 a2, 所以 2ln 4 a22,解得 a2. 考点二用导数解决函数的最值问题 【例 2】 已知函数 f(x)ln xax2bx(其中 a, b 为常数且 a0)在 x1 处取得极 值,且 f(x)在(0,e上的最大值为 1,求 a 的值 解因为 f(x)ln xax2bx,所以 f(x)的定义域为(0,), 又函数 f(x)在 x1 处取得极值,则 f(1)0. 因为 f(x)1 x2axb,则 f(1)12ab0,b2a1, f(x) ln x ax2 (2
11、a 1)x , 求 导 得 f(x) 2ax2(2a1)x1 x (2ax1) (x1) x (x0), 令 f(x)0,得 x11,x2 1 2a, 因为 f(x)在 x1 处取得极值,所以 x2 1 2ax 11. 当 a0,即 1 2a0,即 x2 1 2a0 时, 若 1 2a1,f(x)在 0, 1 2a ,1,e上单调递增,在 1 2a,1上单调递减,所以最大值 可能在 x 1 2a或 xe 处取得,而 f 1 2a ln 1 2aa 1 2a 2 (2a1) 1 2aln 1 2a 1 4a 10, 令 f(e)ln eae2(2a1)e1,解得 a 1 e2. 若 1 1 2a
12、e,f(x)在(0,1), 1 2a,e上单调递增, 在 1, 1 2a 上单调递减, 所以最大值可能在 x1 或 xe 处取得, 而 f(1)ln 1a(2a1)0, 令 f(e)ln eae2(2a1)e1, 解得 a 1 e2,与 1x 2 1 2ae 矛盾 若 x2 1 2ae,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e上单调递减,所以最大值可能在 x1 处取得,而 f(1)ln 1a(2a1)0. (1)记 f(x)的极小值为 g(a),求 g(a)的最大值; (2)若对任意实数 x,恒有 f(x)0,求 f(a)的取值范围 解(1)函数 f(x)的定义域是(,),f(x)exa.
13、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 令 f(x)0,得 xln a, 易知当 x(ln a,)时,f(x)0,当 x(,ln a)时,f(x)0, 所以函数 f(x)在 xln a 处取极小值, g(a)f(x)极小值f(ln a)eln aaln aaaln a. g(a)1(1ln a)ln a, 当 0a0,g(a)在(0,1)上单调递增; 当 a1 时,g(a)0)恒成立 当 x0 时,由 f(x)0,即 exax0,得 ae x x . 令 h(
14、x)e x x ,x(0,), 则 h(x)e xxex x2 e x(x1) x2 , 当 0 x1 时,h(x)1 时,h(x)0, 故 h(x)的最小值为 h(1)e,所以 ae, 故实数 a 的取值范围是(0,e f(a)eaa2,a(0,e,f(a)ea2a, 易知 ea2a0 对 a(0,e恒成立, 故 f(a)在(0,e上单调递增, 所以 f(0)1f(a)f(e)eee2, 即 f(a)的取值范围是(1,eee2 感悟升华此类问题,关键是确定极值点、极值表达式,再用函数、导数来解决 【训练 3】 已知函数 f(x)2x3ax22. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 0a
15、0,则当 x(,0) a 3,时,f(x)0, 当 x 0,a 3 时,f(x)0, 故 f(x)在(,0), a 3,单调递增,在 0,a 3 单调递减; 若 a0,则 f(x)在(,)单调递增; 若 a0, 当 x a 3,0时,f(x)0, 故 f(x)在 ,a 3 ,(0,)单调递增,在 a 3,0单调递减 (2)当 0a3 时, 由(1)知, f(x)在 0,a 3 单调递减, 在 a 3,1单调递增, 所以 f(x)在0, 1的最小值为 f a 3 a 3 272,最大值为 f(0)2 或 f(1)4a. 于是 ma 3 272,M 4a,0a2, 2,2a3. 所以 Mm 2aa
16、 3 27,0a2, a3 27,2a3. 当 0a2 时,可知 y2aa 3 27单调递减, 所以 Mm 的取值范围是 8 27,2. 当 2a0.令 f(x)0,得 x1;令 f(x)0,得 0 x1.f(x) 在 x1 处取得极小值也是最小值,且 f(1)1 2ln 1 1 2. 3(2018全国卷)函数 yx4x22 的图象大致为() 答案D 解析当 x0 时,y2,排除 A,B.由 y4x32x0,得 x0 或 x 2 2 , 结合三次函数的图象特征,知原函数在(1,1)上有三个极值点,所以排除 C, 故选 D. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期
17、待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex 1 的极值点,则 f(x)的极小值为() A1B2e 3 C5e 3 D1 答案A 解析f(x)x2(a2)xa1ex 1, 则 f(2)42(a2)a1e 30a1, 则 f(x)(x2x1)ex 1,f(x)(x2x2)ex1, 令 f(x)0,得 x2 或 x1, 当 x1 时,f(x)0, 当2x1 时,f(x)0, 则 f(x)的极小值为 f(1)1. 5若函数 f(x)1 3x 3x22 3在区间(a,a5)上存在最小值,则实数
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