（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第2节　等差数列.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 2 节等差数列 知 识 梳 理 1等差数列的定义 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字 母 d 表示 (2)等差中项：如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 2等差数列的通项公式及求和公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d，

2、其前 n 项和是 Snn（a1an） 2 或 Snna1n（n1） 2 d 3等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*) (2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman 特别地，当 kl2m(k，l，mN*)时，则 akal2am (3)若an为等差数列，Sn为前 n 项和，则 Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列， 公差为 n2d. (4)若等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn n 也是等差数列 4等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系 (1)通项公式：ana1(n1)ddn(a1d)，当 d0 时，等差数列

3、的通项公式是 关于 n 的一次函数；当 d0 时，等差数列的通项公式是常数函数 (2)求和公式：Snd 2n 2 a1d 2 n，当 d0 时，等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数，且常数项为 0；当 d0 时，等差数列的前 n 项和公式为 Snna1. 1用定义法证明等差数列应注意“从第 2 项起”，如证明了 an1and(n2) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 时，应注意验证 a2a1是否等于 d，若 a2a1d，则数列an不为等差数列

4、 2 利用二次函数性质求等差数列前 n 项和最值时， 一定要注意自变量 n 是正整数 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)若一个数列从第二项起每一项和它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差 数列() (2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的() (3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数() (4)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析对(1)由定义知，若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一 个常数，则此数列是等差数列，(1)错误；对(3)，当等差数列的公差为零时，此结 论不正

5、确 2一个等差数列的首项为 1 25，从第 10 项开始比 1 大，则这个等差数列的公差 d 的取值范围是() Ad 8 75 Bd 3 25 C. 8 75d 3 25 D. 8 751， a91，即 1 259d1， 1 258d1， 所以 8 750，a7a100，所以 3a80，即 a80，又 a7a100，所以 a8a90， 则 a94 时有 S820， S2n1S2n9116，则 an() A6B.17 2 C39D78 (2)(2020浙江卷)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差 d0，且a1 d 1.记 b1 S2，bn1S2n2S2n，nN*，下列等式不可能成立的是(

6、) A2a4a2a6B2b4b2b6 Ca24a2a8Db24b2b8 答案(1)B(2)D 解析(1)由题知 a1a2a820，且 S2n1S2n9a2n8a2n7a2n1 116，故知 a1a2n120116 8 172an，所以 an17 2 . (2)由 bn1S2n2S2n，得 b2a3a42a15d，b4a7a82a113d，b6a11 a12，b8a15a162a129d.由等差数列的性质易知 A 成立；若 2b4b2b6， 则 2(a7a8)a3a4a11a122a72a8，故 B 成立；若 a24a2a8，即(a13d)2 (a1d)(a17d)，则 a1d，故 C 可能成立

7、；若 b24b2b8，即(2a113d)2(2a1 5d)(2a129d)，则a1 d 3 2，与已知矛盾，故 D 不可能成立 感悟升华利用等差数列项的性质、等差数列前 n 项和的性质能简化运算 【训练 2】 (1)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且S4 S8 1 3，则 S8 S16( ) A. 3 10 B.3 7 C.1 3 D.1 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)已知数列an，bn均为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn和 T

8、n，若Sn Tn 3n2 n1 ， 则a5 b5等于( ) A.29 5 B.29 10 C.28 5 D.28 10 答案(1)A(2)B 解析(1)因为数列an是等差数列，所以 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数 列，因为S4 S8 1 3，所以不妨设 S 41，则 S83，所以 S8S42，所以 S1612 3410，所以 S8 S16 3 10. (2)根据等差数列的性质和前 n 项和公式，有a5 b5 2a5 2b5 9（a1a9） 2 9（b1b9） 2 S9 T9 392 91 29 10.故选 B. 考点三等差数列的判定与证明 【例 3】 (2021台州模拟)已知

9、数列an满足 a12，an12an1 an . (1)求证：数列 1 an1 是等差数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明由 1 an11 1 2an1 an 1 an an1 1 an11，得 1 an11 1 an11， 又 a12， 1 a111， 数列 1 an1 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)解由(1)知， 1 an1n，a nn1 n ， 数列an的通项公式为 ann1 n . 感悟升

10、华等差数列的判定与证明方法 方法解读适合题型 定义法 对于任意自然数 n(n2)，anan1(n2， nN*)为同一常数an是等差数列 解答题中证明问题 等差中项 法 2an1anan2(n3， nN*)成立an是等 差数列 通项公式 法 anpnq(p，q 为常数)对任意的正整数 n 都 成立an是等差数列选择、 填空题中的判定 问题前 n 项和 公式法 验证 SnAn2Bn(A，B 是常数)对任意的正 整数 n 都成立an是等差数列 【训练 3】 已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中 为常数 (1)证明：an2an； (2)是否存在，使得an为等差数列

11、？并说明理由 (1)证明由题设知，anan1Sn1，an1an2Sn11. 两式相减得 an1(an2an)an1. 由于 an10，所以 an2an. (2)解由题设知，a11，a1a2S11，可得 a21. 由(1)知，a31. 由 2a2a1a3，解得4. 故 an2an4， 由此可得a2n1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n14n32(2n1)1； a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n 4n122n1. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待

12、你的加入与分享 所以 an2n1，an1an2. 因此存在4，使得数列an为等差数列 考点四等差数列最值问题 【例 4】 (1)(一题多解)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a113，S3S11， 当 Sn最大时，n 的值是() A5B6C7D8 (2)已知等差数列16， 14， 12， 的前n项和为Sn， 且Sn0， 则n的最大值为_ 答案(1)C(2)16 解析(1)法一由 S3S11，得 a4a5a110，根据等差数列的性质，可得 a7a80.根据首项等于 13 可推知这个数列递减，从而得到 a70，a80，即n217n0，解得 0n0 且a6 a5 9 11，则当 S n取最

13、大值 时，n 的值为() A9B10C11D12 (2)已知数列an是等差数列， Sn是其前n项和， 若Sn存在最大值， 则在S1， S2 2 ， S3 3 ， ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 S2021 2 021中最大的数是( ) AS1B. S2014 2 014 C. S2021 2 021 D无法确定 答案(1)B(2)A 解析(1)由a6 a5 9 11，得 S 11S9，即 a10a110，根据首项 a10 可推知这个数列 递减，从而

14、 a100，a110，故 n10 时，Sn最大 (2)由题意可知数列an是等差数列， 且前 n 项和 Sn存在最大值， 公差 d0，S140，S140，a1a14a7a80，a80，所以 Sn取最大值时 n 的值为 7，故选 B. 6在等差数列an中，若a9 a80 时，n 的最小值为() A14B15C16D17 答案C 解析数列an是等差数列， 它的前 n 项和 Sn有最小值， 公差 d0， 首项 a10， an为递增数列，a9 a81，a 8a90，由等差数列的性质知 2a8a1 a150.Sn（a1an）n 2 ，当 Sn0 时，n 的最小值为 16. 本资料分享自新人教版高中数学资源

15、大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 二、填空题 7(2018上海卷)记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a30，a6a714，则 S7 _ 答案14 解析a6a72a111d14，a3a12d0，d2，a42，S77a414. 8(2021名校仿真训练三)等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a35，S312，则 公差 d_，通项公式 an_ 答案1n2 解析由 S312，得 3a212，即 a24，又 a35，则 da3a21，故通项公 式 ana2(n2)dn2. 9(201

16、9北京卷)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S510，则 a5 _，Sn的最小值为_ 答案010 解析设首项为 a1,公差为 d， a2a1d3，S55a110d10， a14，d1，a5a14d0， ana1(n1)dn5. 令 an0，则 n5，即数列an中前 4 项为负，a50，第 6 项及以后为正 Sn的最小值为 S4S510. 10已知等差数列an中，a1a37，设其前 n 项和为 Sn，且 S4S6，则其公差 d_，其前 n 项和 Sn取得最大值时 n_ 答案15 解析由 S4S6，知 a5a60，则有 a1a12d7， a14da15d0， 解得 a19 2， d

17、1， 所以 an9 2(n1)(1) 11 2 n.由11 2 n0， 得 n11 2 ， 又 nN*， 所以当 n5 时，Sn取得最大值 三、解答题 11已知等差数列的前三项依次为 a，4，3a，前 n 项和为 Sn，且 Sk110. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求 a 及 k 的值； (2)设数列bn的通项公式 bnSn n ，证明：数列bn是等差数列，并求其前 n 项和 Tn. (1)解设该等差数列为an，则 a1a，a24，a33a，

18、 由已知有 a3a8，得 a1a2，公差 d422， 所以 Skka1k（k1） 2 d2kk（k1） 2 2k2k， 由 Sk110，得 k2k1100， 解得 k10 或 k11(舍去)，故 a2，k10. (2)证明由(1)得 Snn（22n） 2 n(n1)， 则 bnSn n n1， 故 bn1bn(n2)(n1)1， 即数列bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 所以 Tnn（2n1） 2 n（n3） 2 . 12设an是等差数列，a110，且 a210，a38，a46 成等比数列 (1)求an的通项公式； (2)记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值 解(1)设an的

19、公差为 d. 因为 a110， 所以 a210d，a3102d，a4103d. 因为 a210，a38，a46 成等比数列， 所以(a38)2(a210)(a46) 所以(22d)2d(43d) 解得 d2. 所以an的通项公式为 ana1(n1)d2n12. (2)由(1)知，an2n12. 则当 n7 时，an0； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 n6 时，an0；当 n6 时，an0； 所以 Sn的最小值为 S5S630. 能力提升题组 13

20、(2021山水联盟考试)已知an为等差数列，且 ln a22a1a3，则() A|a1|a2|且|a3|a4| B|a1|a4| C|a1|a2|且|a3|a2|且|a3|a4| 答案C 解析因为数列an是等差数列，设公差为 d，且 ln a22a1a3，所以 3a2d ln a2a21，则 d2a21.因为 a20，所以 d0，所以 0a3a4，所以有|a3|a2|，故选 C. 14 如图， 点列An， Bn分别在某锐角的两边上， 且|AnAn 1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|， BnBn2， nN*(PQ表示点P与Q不重合) 若dn|AnBn| Sn为A

21、nBnBn1的面积，则() ASn是等差数列BS2n是等差数列 Cdn是等差数列Dd2n是等差数列 答案A 解析Sn表示点 An到对面直线的距离(设为 hn)乘以|BnBn1|长度的一半，即 Sn 1 2h n|BnBn1|，由题目中条件可知|BnBn1|的长度为定值，过 A1作垂线得到初始距离 h1，那么 A1，An和相应两个垂足构成直角梯形，则 hnh1|A1An|sin (其中为两 条线所成的锐角，为定值)， 从而 Sn1 2(h 1|A1An|sin )|BnBn1|， Sn11 2(h 1|A1An1|sin )|BnBn1|， 则 Sn1Sn1 2|A nAn1|BnBn1|sin

22、 为定值， 所以 Sn1Sn为定值，故选 A. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 15(2021湖州中学质检一)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若满足 a10，且 a4，a5是方程 x2mx10(mR)的两根，则S5 S4的取值范围是_，当 n _时 Sn最大 答案 5 6，14 解析因为 a4， a5是方程 x2mx10的两根， 所以 a4a51， 则 a4与 a5异号 又 因为 a10，所以 a40，a50，则当 n4 时，等差数列an的前

23、n 项和 Sn最大设 等差数列an的公差为 d，则S5 S4 5a110d 4a16d 10a45a5 10a46a5 10a245 10a2461 1 10a246.因 为 6S7S5，则满足 an0 的最大 n 的值为 _，满足 SkSk10，a7S7S60 的最大 n 的值为 6. 又 a6a7S7S50，则 S1111（a1a11） 2 11a60，S1212（a1a12） 2 6(a6 a7)0， S1313（a1a13） 2 13a70， 因为an是递减的等差数列， 所以满足 SkSk 10，求使得 Snan的 n 的取值范围 解(1)设an的公差为 d. 由 S9a5得 9a198 2 d(a14d)， 即 a14d0. 由 a34 得 a12d4. 于是 a18，d2. 因此an的通项公式为 an102n. (2)由(1)得 a14d， 故 an(n5)d，Snn（n9）d 2 . 由 a10 知 d0，故 Snan等价于n（n9） 2 n5， 即 n211n100，解得 1n10， 所以 n 的取值范围是n|1n10，nN