（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第1节　数列的概念与简单表示法.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 1 节数列的概念与简单表示法 知 识 梳 理 1数列的有关概念 概念含义 数列按照一定顺序排列的一列数 数列的项数列中的每一个数 数列的通项数列an的第 n 项 an 通项公式 数列an的第 n 项 an与 n 之间的关系能用公式 anf(n)表示，这个 公式叫做数列的通项公式 前 n 项和数列an中，Sna1a2an叫做数列的前 n 项和 2.数列的表示方法 列表法列表格表示 n 与 an的对应关系 图象法把点(n

2、，an)画在平面直角坐标系中 公 式法 通项公式把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值 a1和 an1f(an)或 a1，a2和 an1f(an，an1)等表 示数列的方法 3.an与 Sn的关系 若数列an的前 n 项和为 Sn，则 an S1，n1， SnSn1，n2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4数列的分类 1数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关， 而且还与这些“数”的排列顺序有关 2易混项与项数

3、的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的 项对应的位置序号 3在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接把数列 的通项公式写成 anSnSn1的形式，但它只适用于 n2 的情形 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)给出数列的前几项，写出的通项公式可能不唯一() (2)anSn1Sn(nN*)() (3)利用递推公式和初始项的值，应该能推出数列的其余各项() (4)若数列an的前 n 项和 Snn2n1，则 an2n.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(2)不正确，an1Sn1Sn；(4)不正确，当 n1 时，a1S13，当 n2 时，an

4、SnSn12n，an 3，n1， 2n，n2. 2设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a8的值为() A15B16C49D64 答案A 解析当 n8 时，a8S8S7827215. 3已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 Aan(1)n 11 Ban 2，n 为奇数， 0，n 为偶数 Can2sinn 2 Dancos(n1)1 答案C 解析对 n1，2，3，4 进行验证，an2

5、sin n 2 不合题意，故选 C. 4在数列an中，已知 a11，an14an1，则 a3_ 答案21 解析由题意知，a24a115，a34a2121. 5在数列an中，a12，且对任意的 m，nN*有 amnaman，则 a6_ 答案64 解析a6a2a4a2a2a2(a21)32664. 6(2020北京朝阳区一模)等比数列an满足如下条件：a10；数列an的前 n 项和 Sn0，q 1 2，S n 1 2 1 1 2n 11 2 1 1 2ncn，当 n5 时，cn 1cn，因此 c1c2c3c4c6c7，n5 时，cn取得最大值 (2)因为 an1an1an(n2)， 所以对任意的

6、nN*有 an6an 5 an4 1 an3， 1 an3 an1 an2 an，所以数列an为周期为 6 的周期数列，又 a22a11，所以 a32，a42，a5 1，a61 2，所以 a 2 020a42，a100a4，故 A，B 正确；易知 S31 212 7 2， 故 C 正确；易知 S305S6，所以 D 不正确选 D. 感悟升华(1)判断数列单调性的常用方法有两个：利用数列对应的函数的单调 性判断；对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 48

7、3122854 期待你的加入与分享 (2)判断数列周期的方法 由递推式计算出一些项，发现周期 推证出 ankan(n，kN*，k 为常数) 【训练 4】 (1)(2021温州调研)已知数列an满足an 1an n 2，a120，则an n 的最 小值为() A4 5B4 51C8D9 (2)若数列an满足 a11，a23，anan2an1(n3)，记数列an的前 n 项积为 Tn，则下列说法错误的是() ATn无最大值Ban有最大值 CT2 0209Da2 0201 答案(1)C(2)A 解析(1)由 an1an2n 知，当 n2 时， a2a121，a3a222，anan12(n1)， 相加

8、得，ana1n2n，所以an n n20 n 1， 又a1 1 20 满足上式，an n n20 n 1， 又 nN*， 所以 n4 时，an n 单调递减，n5 时，an n 单调递增， 因为a4 4 a5 5 ，所以an n 的最小值为a4 4 a5 5 8.故选 C. (2)因为 a11，a23，anan2an1(n3)， 所以 a33，a41，a51 3，a 61 3，a 71，a83， 因此数列an为周期数列，an6an，an有最大值 3，a2 020a41， 因为 T11，T23，T39，T49，T53，T61，T71，T83， 所以Tn为周期数列，Tn6Tn，Tn有最大值 9，T

9、2 020T49，故选 A. 基础巩固题组 一、选择题 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1数列2 3， 4 5， 6 7， 8 9，的第 10 项是( ) A16 17 B18 19 C20 21 D22 23 答案C 解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部 分进行分解：符号、分母、分子很容易归纳出数列an的通项公式 an(1)n 1 2n 2n1，故 a 1020 21. 2数列 0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通

10、项公式 an等于() A.（1） n1 2 Bcos n 2 Ccos n1 2 Dcos n2 2 答案D 解析令 n1，2，3，逐一验证四个选项，易得 D 正确 3设 an3n215n18，则数列an中的最大项的值是() A.16 3 B.13 3 C4D0 答案D 解析an3 n5 2 2 3 4，由二次函数性质得当 n2 或 3 时，a n最大，最 大为 0. 4数列an满足 an1an2n3，若 a12，则 a8a4() A7B6C5D4 答案D 解析依题意得(an2an1)(an1an)2(n1)3(2n3)2，即 an2an 2，所以 a8a4(a8a6)(a6a4)224. 5

11、数列an的前 n 项积为 n2，那么当 n2 时，an() A2n1Bn2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C.（n1） 2 n2 D. n2 （n1）2 答案D 解析设数列an的前 n 项积为 Tn，则 Tnn2， 当 n2 时，an Tn Tn1 n2 （n1）2. 6已知数列an满足 a11，an1an2(nN*)，则() Aan2n1Ban2n 1 CSnn2DSn2n 1 答案C 解析由 an1an2，得 a2a12，a3a22，anan12

12、，累加得 an anan1an1an2a2a1a12(n1)12n1，所以 Sn135 2n1n12n1 2 n2. 二、填空题 7若数列an满足关系 an11 1 an，a 834 21，则 a 5_ 答案 8 5 解析借助递推关系，则 a8递推依次得到 a721 13，a 613 8 ，a58 5. 8已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an0(nN*)，又 anan1Sn，则 a3a1 _ 答案1 解析因为 anan1Sn，所以令 n1 得 a1a2S1a1，由于 a10，则 a21，令 n 2，得 a2a3S2a1a2，即 a31a1，所以 a3a11. 9已知数列an的前 n 项

13、和 Snn22n1(nN*)，则 a1_；数列an 的通项公式为 an_ 答案2 2，n1， 2n1，n2 解析由题意易得 a1S12，当 n2 时，anSnSn1(n22n1)(n1)2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2(n1)12n1，而 a123，所以 an 2，n1， 2n1，n2. 10 已知数列an满足 an2an1an， 且 a12， a23， 则 a2 020的值为_ 答案2 解析由题意得 a3a2a11，a4a3a22，a5a4a3

14、3，a6a5a4 1，a7a6a52，a8a7a63，数列an是周期为 6 的周期数列，而 2 02063364，a2 020a42. 三、解答题 11(1)已知数列an满足 a12a23a34a4nann，求 an； (2)已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 an0，Sn1，且 6Sn(an1)(an2)，求 an. 解(1)设 a12a23a34a4nanTn， 当 n1 时，a1T11， 当 n2 时，nanTnTn1n(n1)1， 因此 an1 n，而 a 11，也满足此等式， 所以 an1 n. (2)当 n1 时，a1S11 6(a 11)(a12)， 即 a213a120.

15、解得 a11 或 a12. 因为 a1S11，所以 a12. 当 n2 时，anSnSn11 6(a n1)(an2)1 6(a n11)(an12)， 所以(anan13)(anan1)0. 因为 an0，所以 anan10， 所以 anan13， 所以数列an是以 2 为首项，3 为公差的等差数列 所以 an3n1. 12已知数列an满足 a11，an3n 1an 1(n2，nN*) (1)求 a2，a3的值； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2

16、)证明：an3 n1 2 . (1)解因为 a11，an3n 1an 1(n2，nN*)， 所以 a232 114， a333 1a29413. (2)证明因为 an3n 1an 1(n2，nN*)， 所以 anan13n 1， 所以 an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1 3n 13n231 3 n1 2 (n2，nN*) 当 n1 时，a131 2 1 满足上式 所以当 nN*时，an3 n1 2 . 能力提升题组 13数列an满足 an1 2an，0an1 2， 2an1，1 2a n7 nN*.若an是递增数列，则 实数 a 的取值范围是_ 答案(2，3)

17、解析每段单调递增得 1a3，又 a7a8得 2a3. 16 (2021“超级全能生”联考)十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子 繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列an满足以下关系：a11， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a21，anan1an2(n3， nN*)，记其前 n 项和为 Sn，设 a2 020m(m 为常数)， 则 S2 018a2 020_；a1a3a5a2 019_ 答案1m 解析因为 an2an1ananan1an

18、1an2anan1an2an3an3 an4Sn1，所以 a2 020S2 0181，所以 S2 018a2 0201.a1a3a5 a2 019a1a1a2a3a4a2 017a2 018a1S2 0181S2 018a2 020m. 17已知数列an中，a11，前 n 项和 Snn2 3 an. (1)求 a2，a3； (2)求an的通项公式 解(1)由 S24 3a 2得 3(a1a2)4a2， 解得 a23a13. 由 S35 3a 3得 3(a1a2a3)5a3， 解得 a33 2(a 1a2)6. (2)由题设知 a11. 当 n2 时，有 anSnSn1n2 3 ann1 3 a

19、n1， 整理得 ann1 n1a n1. 于是 a11， a23 1a 1， a34 2a 2， an1 n n2a n2， ann1 n1a n1. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 将以上 n 个等式两端分别相乘， 整理得 ann（n1） 2 . 显然，当 n1 时也满足上式 综上可知，an的通项公式 ann（n1） 2 . 18已知数列an的前 n 项和 Sn2n22n，数列bn的前 n 项和 Tn2bn. (1)求数列an与bn的通项公式； (2

20、)(一题多解)设 cna2nbn，证明：当且仅当 n3 时，cn1cn. (1)解当 n1 时，a1S14. 对于 n2， 有 anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.又当 n1 时， a14 适合上 式， 故an的通项公式 an4n.将 n1 代入 Tn2bn，得 b12b1，故 T1b11. 对于 n2，由 Tn12bn1，Tn2bn， 得 bnTnTn1(bnbn1)，bn1 2b n1，所以数列bn是以 1 为首项，1 2为公比 的等比数列，故 bn21 n. (2)证明法一由 cna2nbnn225 n， 得cn 1 cn 1 2 11 n 2 . 当且仅当 n3 时，11 n 4 3 2，即 cn1 cn 1， 即 cn1cn. 法二由 cna2nbnn225 n，得 cn1cn24 n(n1)22n224n(n1)22 当且仅当 n3 时，cn1cn0，即 cn1cn.