（2022高考数学一轮复习(创新设计)）补上一课与均值、方差有关的比较大小、增减分析及最值(范围)问题.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 ,与均值、方差有关的比较大小、增减分析及最值(范围)问题) 关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差 的直接计算， 还经常从下列几个角度进行考查： (1)均值、 方差及概率的大小比较； (2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求 字母的范围 题型一随机变量的均值、方差比较大小 【例 1】 (1)(2021衡水中学调考)一个袋中放有大小、形状均

2、相同的小球，其中红 球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能地取出小球当有放回地依次取出两个小球时， 记取出的红球数为1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为2， 则() AE(1)E(2)，D(1)D(2) BE(1)E(2)，D(1)D(2) CE(1)E(2)，D(1)D(2) DE(1)E(2)，D(1)D(2) (2)(一题多解)(2021绍兴适考)已知 x1， x2， x3R， x1x2x3， 设 y1x1x2 2 ， y2x2x3 2 ， y3x3x1 2 ，z1y1y2 2 ，z2y2y3 2 ，z3y3y1 2 ，若随机变量 X，Y，Z 满足：P(X xi)P(Yyi

3、)P(Zzi)1 3(i1，2，3)，则( ) AD(X)D(Y)D(Y)D(Z) CD(X)D(Z)D(Z)D(Y) 答案(1)B(2)B 解析(1)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现 随机等可能取出小球当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1，则 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1的所有可能取值为 0，1，2，1B 2，1 3 ，E(1)21 3 2 3，D( 1)21 3 2 3 4 9； 当无放回依次取

4、出两个小球时，记取出的红球数为2，则2的所有可能取值为 0， 1， P(20)2 3 1 2 1 3， P( 21)2 3 1 2 1 31 2 3， E( 2)01 31 2 3 2 3， D( 2) 02 3 2 1 3 12 3 2 2 3 2 9，E( 1)E(2)，D(1)D(2)，故选 B. (2)法一由题意可知 x1x2x3y1y2y3z1z2z3，则由离散型随机变量的 数学期望公式得 E(X)E(Y)E(Z)x1x2x3 3 .又 E(X2)x 2 1x22x23 3 ，由基本不等 式得 E(Y2)y 2 1y22y23 3 1 6(x 2 1x22x23x1x2x2x3x3x

5、1)E(X2)，同理可知， E(Z2)E(Y2)E(Y)2E(Z2)E(Z)2， 即 D(X)D(Y)D(Z)， 故选 B. 法二由于随机变量 y1，y2，y3为 x1，x2，x3两两的平均值，则 x1x1x2 2 ， x2x3 2 ， x3x1 2 D(Y)D(Z) 感悟升华(1)求值比较；(2)用比差法 【训练 1】 (1)(2021绍兴适应性考试)一个袋中有 m 个红球，n 个白球，p 个黑球 (1mn5，p4)，从中任取 1 个球(每球取到的机会均等)，设1表示取出的红 球个数，2表示取出的白球个数，则() AE(1)E(2)，D(1)D(2) BE(1)E(2)，D(1)D(2) C

6、E(1)E(2)，D(1)D(2) DE(1)E(2)，D(1)D(2) (2)(2020嵊州适考)已知随机变量i的分布列如下： i012 P(1pi)22pi(1pi)p2i 其中 i1，2，若 0p1p21 2，则( ) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 AE(21)E(22)，D(21)D(22) BE(21)D(22) CE(21)E(22)，D(21)E(22)，D(21)D(22) 答案(1)D(2)A 解析(1)由题意得1，2的分布列分别为

7、 101 P np mnp m mnp 201 P mp mnp n mnp 则E(1) m mnp， E( 2) n mnp， D( 1) m（np） （mnp）2， D( 2) n（mp） （mnp）2， 又因为 nm， 则 m(np)n(mp)(mn)p0， 所以 E(1)E(2)， D(1)D(2)， 故选 D. (2)由分布列知iB(2， pi)(i1， 2)， 则 E(1)2p1， E(2)2p2， D(1)2p1(1p1)， D(2)2p2(1p2)， 所以 E(21)2E(1)4p1， E(22)2E(2)4p2， D(21)4D(1) 8p1(1p1)，D(22)4D(2)8

8、p2(1p2)因为 0p1p21 2，所以 E(2 1)E(22)， D(21)D(22)8p1(1p1)8p2(1p2)8(p1p2)1(p1p2)0，所以 D(21)D(22)，故选 A. 题型二随机变量均值、方差的增减分析 【例 2】 (1)(2019浙江卷)设 0a1，随机变量 X 的分布列是 X0a1 P 1 3 1 3 1 3 则当 a 在(0，1)内增大时() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 AD(X)增大BD(X)减小 CD(X)先增大

9、后减小DD(X)先减小后增大 (2)(2021湖州期末质检)已知离散型随机变量满足二项分布且B(3，p)，则当 p 在(0，1)内增大时() AD()减小BD()增大 CD()先减小后增大DD()先增大后减小 答案(1)D(2)D 解析(1)由题意知 E(X)01 3a 1 31 1 3 a1 3 ，因此 D(X) a1 3 0 2 1 3 a1 3 a 2 1 3 a1 3 1 2 1 3 1 27(a1) 2(12a)2(a2)21 27(6a 26a6) 2 9 a1 2 2 3 4. 当 0a1 2时，D(X)单调递减； 当1 2a1 时，D(X)单调递增 故当 a 在(0，1)内增大

10、时，D(X)先减小后增大故选 D. (2)因为B(3，p)，所以 D()3p(1p)3 p1 2 2 3 4，则当 p 在(0，1)内增 大时，D()先增大后减小，故选 D. 感悟升华常利用二次函数进行增减分析 【训练 2】 (1)(2018浙江卷)设 0p1，随机变量的分布列是 012 P 1p 2 1 2 p 2 则当 p 在(0，1)内增大时，() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 AD()减小BD()增大 CD()先减小后增大DD()先增大后减小

11、 (2)(2021浙江名师预测四)已知随机变量的分布列是() 1b Ppq 若 E()2，则() Ab 增大，p 增大， D()增大 Bb 增大，p 增大，D()减小 Cb 增大，p 减小，D()增大 Db 增大，p 减小，D()减小 答案(1)D(2)A 解析(1)由题意可得 E()1 2p，所以 D()p 2p1 4 p1 2 2 1 2，所以 当 p 在(0，1)内增大时，D()先增大后减小故选 D. (2)由分布列知 q1p，则 E()1pb(1p)2，故 b2p 1p1 1 1p，则 b 增大，p 增大又 D()(12)2p(b2)2(1p)p p2 1p p 1p 1 1p1， 则

12、 p 增大，D()增大，所以 p，D()均随 b 的增大而增大，故选 A. 题型三随机变量均值、方差的最值 【例 3】 (1)(2021七彩阳光联盟三联)随机变量的分布列如下： nn1n2 Pabc 其中 a，b，c 成等差数列，则 D()() A与 n 有关，有最大值2 3 B与 n 有关，有最小值2 3 C与 n 无关，有最大值2 3 D与 n 无关，有最小值2 3 (2)(2021鄞州中学质检)已知 A，B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4

13、83122854 期待你的加入与分享 白球若干个A 盒中有 m 个红球与 10m 个白球，B 盒中有 10m 个红球与 m 个白球(0m10)， 若从 A， B 盒中各取一个球， 表示所取的 2 个球中红球的个数， 则当 D()取到最大值时，m 的值为() A3B5C7D9 答案(1)C(2)B 解析(1)由题意可得 abc1，且 2bac，所以 b1 3，ac 2 3.所以 E() na1 3 (n1)(n2)cn1 32c.所以 D() 1 32c 2 a 2c2 3 2 1 3 2c5 3 2 c4c28 3c 2 94 c1 3 2 2 3 2 3.所以 D()与 n 无关， 当 c

14、1 3a 时， 有最大值2 3，故选 C. (2)由题意得的可能取值为 0，1，2，且 P(0)10m 10 m 10 10mm2 100 ，P(1) 10m 10 10m 10 m 10 m 10 10020m2m2 100 ，P(2) m 10 10m 10 10mm 2 100 ， 所以 E()010mm 2 100 110020m2m 2 100 210mm 2 100 1，则 D()(1 0)2 10mm2 100 (1 1)2 10020m2m2 100 (1 2)2 10mm2 100 10mm2 50 （m5）225 50 ，则当 m5 时，D()取得最大值1 2，故选 B.

15、感悟升华利用函数单调性求最值 【训练 3】 (1)(2021宁波十校联考)已知随机变量的分布列如下 0a1 2 ： 012 Pbaba 则() AE()有最小值1 2 BE()有最大值3 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 CD()有最小值 0DD()有最大值1 2 (2)(2021浙江名师预测卷三)已知袋子里有大小一样的 3 个红球和 m 个白球， 从袋 子中有放回地取 n 次，每次取一个球，记取出红球的个数为 X，且 E(X)3，D(X) 6 5，

16、则 n 的值为_，当 P(Xk)(k0，1，2，3，n)取到最大值时 k 的值为_ 答案(1)D(2)53 解析(1)由随机变量分布列的性质得(ba)ba1，即 b1 2.又由数学期望公 式得 E()0(ba)1b2a1 22a.因为 0a 1 2，则 1 2E()E(Y)，D(X)D(Y) BE(X)E(Y)，D(X)D(Y) CE(X)E(Y)，D(X)D(Y) DE(X)E(Y)，D(X)E(Y)，D(X)D(Y)，故选 A. 8(2021宁波期末)已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是() AP |1 3 P 21 3B(E()2E(2) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ

17、群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 CD()D(1)DD(2)D(1)2) 答案D 解析在 A 中，P |1 3 P 1 3 1 3 P 21 3 P 3 3 3 3 ，故 A 正 确；在 B 中，由 D()E(2)(E()20 得(E()2E(2)，故 B 正确；在 C 中， 由方差的性质得 D()D(1)，故 C 正确；在 D 中，由方差的性质得 D(ab) a2D()，D(2)D(1)2)4D()D(2)，故 D 错误故选 D. 9(一题多解)(2021温州适考)已知随机变量的分布列如下： x

18、1x2x3 Pp1p2p3 其中 x2x1x3x20.若 E()x2，则() Ap1p2Bp2p3Dp1x2，即(x3x2)p3(x2 x1)p10.又 x3x2x2x10，所以 p3p10, 所以 p12.又 p31 p1p2，所以 2p1p21.又 p1p2p31，所以 p1p3，故选 D. 10(2021宁波适考)已知随机变量 X 的分布列是 X101 Pa 1 3 b 其中 a2b6a，则 E(X)的取值范围是() A. 4 9，1B. 2 9， 1 3 C. 1 3， 5 9D. 1 3， 4 9 答案B 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加

19、入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析由题意可得 ab2 3.因为 a2b6a，所以 a 4 32a6a，解得 1 6a 4 9， 所以 E(X)ab2 32a 2 9， 1 3 ，故选 B. 11已知随机变量 X 的分布列如下表： X101 Pabc 其中 a，b，c0.若 X 的方差 D(X)1 3对所有 a(0，1b)都成立，则( ) A0b1 3 B0b2 3 C.1 3b1 D.2 3b1 答案D 解析由 X 的分布列可得：X 的期望为 E(X)ac，abc1，所以 X 的方 差 D(X)(1ac)2a(ac)2b(1a

20、c)2c(ac)2(abc)2(ac)2a c(ac)2ac(2a1b)21b4 a1b 2 2 1b，因为 a(0， 1b)，所以当且仅当 a1b 2 时，D(X)取最大值 1b，又 D(X)1 3对所有 a(0， 1b)都成立，所以只需 1b1 3，解得 b 2 3，所以 2 3b1. 12(2021湖州中学质检一)已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物 玩具，甲盒中有 2 只熊猫，1 只狗；乙盒中有 1 只熊猫，2 只狗现从甲、乙两个 盒子中各取走一个动物玩具，再从甲、乙两个盒子中各取走一个动物玩具此时 记甲盒子中的熊猫只数为1，乙盒子中的熊猫只数为2，则() AE(1)E(2)

21、，D(1)D(2) CE(1)E(2)，D(1)D(2) DE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)，故选 B. 13(2021杭州二中模拟)已知甲盒中有 2 个红球，1 个蓝球，乙盒中有 1 个红球， 2 个蓝球从甲、乙两个盒中各取 1 个球放入原来为空的丙盒中现从甲、乙、 丙三个盒子中分别取 1 个球，记从各盒中取得红球的个数为i(i1，2，3)，则 () AE(1)E(3)E(2)，D(1)D(2)D(3) BE(1)E(3)E(2)，D(1)D(2)D(3) CE(1)E(3)E(2)，D(1)D(2)D(3) DE(1)E(3)E(2)，D(1)D(2)D(3) 答案C

22、解析由题可得1的可能取值为 0，1，且 P(10)2 3 1 2 1 3；P( 11)2 3 1 2 1 31 2 3，所以 E( 1)2 3，D( 1)2 9.同理可得 2的可能取值为 0，1，且 P(20) 1 31 2 3 1 2 2 3；P( 21)2 3 1 2 1 3，所以 E( 2)1 3，D( 2)2 9. 3的可能取值为 0， 1， 且 P(30)2 3 2 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 3 2 3 1 2； P( 31)2 3 2 3 1 2 1 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2，所以 E( 3)1 2，D( 3)1 4.所以可知 E( 1)E(3)E(

23、2)，D(1)D(2) D(3)，故选 C. 14已知随机变量i(i1，2)满足 P(i0)pi 2，P( i1)1 2，P( i2)1p i 2 ，若 1 2p 1p21，则() AE(211)E(221)，D(211)D(221) BE(211)E(221)，D(211)D(221) CE(211)E(221)，D(211)D(221) DE(211)E(221)，D(211)D(221) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案D 解析由均值与方差的

24、性质可知 E(ab)aE()b，D(ab)a2D()，则 E(2i 1)2E(i)1， D(2i1)4D(i) 由题意知 E(i)0pi 21 1 22 1pi 2 3 2 pi，D(i) 03 2p i 2 pi 2 13 2p i 2 1 2 23 2p i 2 1pi 2 pi3 2 2 pi 2 pi1 2 2 1 2 pi1 2 2 1pi 2 p2ipi1 4 pi1 2 2 1 2，所以 E( i)3 2p i在 pi 1 2，1上单调递减，D(i) pi1 2 2 1 2在 p i 1 2，1上单调递减，又1 2p 1 p21，所以 E(1)E(2)，D(1)D(2)，所以 E

25、(211)E(221)，D(211) D(221)，故选 D. 15已知甲盒子中有 m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有 m1 个红球，n1 个蓝 球(m3，n3)，同时从甲、乙两个盒子中各取出 i(i1，2)个球进行交换，(a) 交换后，从甲盒子中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i1，2)(b)交换后，乙盒子 中含有红球的个数记为i(i1，2)，则() Ap1p2，E(1)E(2)Bp1E(2) Cp1p2，E(1)E(2)Dp1p2，E(1)p2. 同上述易得1的可能取值为 1，2，3，且 P(11)1 6，P( 12)1 2，P( 13)1 3， 则 E(1)11 62 1 23 1

26、3 13 6 ，2的可能取值为 0，1，2，3，4，且 P(20) 1 75，P( 21)11 75，P( 22)31 75，P( 23)26 75，P( 24) 2 25，则 E( 2)0 1 75 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 111 752 31 753 26 754 2 25 7 3，则 E( 1)E(2)，故选 A. 16(1)将 k 个小球随机地投入编号为 1，2，k1 的 k1 个盒子中(每个盒子 容纳的小球个数没有限制)，记 1 号盒

27、子中小球的个数为1；(2)将 k1 个小球随 机地投入编号为 1，2，k2 的 k2 个盒子中(每个盒子容纳的小球个数没有 限制)，记 k2 号盒子中小球的个数为2，则() AE(1)E(2)D(1)D(2) BE(1)E(2)D(1)D(2) CE(1)E(2)D(1)D(2) DE(1)E(2)D(1)D(2) 答案A 解析1B k， 1 k1 ，2B k1， 1 k2 ，则 E(1) k k1，E( 2)k1 k2，显然 E(1)E(2)，又 D(1)D(2) k k1 1 1 k1 k1 k2 1 1 k2 k k1 2 k1 k2 2 k k1 k1 k2 k k1 k1 k2 0，

28、D(1)D(2)故选 A. 17 已知甲盒中仅有 1 个球且为红球， 乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m3， n3)， 从乙盒中随机抽取 i(i1，2)个球放入甲盒中 (1)放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1，2)； (2)放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i1，2) 则() Ap1p2，E(1)E(2)Bp1p2，E(1)E(2) Cp1p2，E(1)E(2)Dp1p2，E(1)E(2) 答案A 解析随机变量1，2的分布列如下： 112 P n mn m mn 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分

29、享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2123 P C2n C2mn C1mC1n C2mn C2m C2mn 所以 E(1) n mn 2m mn 2mn mn ， E(2) C2n C2mn 2C1mC1n C2mn 3C2m C2mn 3mn mn ， 所以 E(1)E(2) 因为 p1 m mn n mn 1 2 2mn 2（mn）， p2 C2m C2mn C1mC1n C2mn 2 3 C2n C2mn 1 3 3mn 3（mn）， p1p2 n 6（mn）0，所以 p 1p2. 二、填空题 18(2021杭州质检)在一次随机试

30、验中，事件 A 发生的概率为 p，事件 A 发生的 次数为，则期望 E()_，方差 D()的最大值为_ 答案p 1 4 解析由题意，知所有可能的值为 0，1，因为 P(0)1p，P(1)p，所 以 E()0(1p)1pp，方差 D()(0p)2(1p)(1p)2pp(1p) p1 2 2 1 4 1 4，所以方差 D()的最大值为 1 4. 19已知随机变量的分布列如下 012 Pba2 1 2 a 2 则 E()的最小值为_，此时 b_ 答案 3 4 1 2 解析由题意得E()0b1a22 1 2 a 2 a2a1 a1 2 2 3 4， 所以E() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 Q

31、Q 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 的最小值为3 4，此时 a 1 2，又因为 ba 21 2 a 21，所以 ba 2a 2 1 2 1 2. 20(2020山东卷改编)信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量 X 所有可 能的取值为 1，2，n，且 P(Xi)pi0(i1，2，n)， n i1pi1，定义 X 的信息熵 H(X) n i1pilog2pi.下列结论正确的是_(只填序号) 若 n1，则 H(X)0； 若 n2，则 H(X)随着 p1的增大而增大； 若 pi1 n(i1，2，n)

32、，则 H(X)随着 n 的增大而增大； 若 n2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 1，2，m，且 P( Yj)pjp2m 1j(j1，2，m)，则 H(X)H(Y) 答案 解析对于，当 n1 时，p11，H(X)1log210，故正确；对于， 当 n2 时，有 p1p21，此时，若 p11 4或 3 4都有 H(X) 1 4log 21 4 3 4log 23 4 ，故 错误；对于，当 pi1 n(i1，2，n)时，H(X) n i1 1 nlog 21 nn 1 nlog 21 n log2n，显然 H(X)随 n 的增大而增大，故正确；对于， 法一当 n2m 时， H(X)(p1log2

33、p1p2log2p2p2m1log2p2m1p2mlog2p2m) （p1log2p1p2mlog2p2m）（p2log2p2 p2m1log2p2m1）（pmlog2pmpm1log2pm1 ） ， H(Y)（p1p2m）log2（p1p2m）（p2p2m1）log2（p2p2m1） （pmpm1）log2（pmpm1 ） ， 由于 p1log2p1p2mlog2p2mlog2(pp11pp2m2m) log2（p1p2m）p1（p1p2m）p2m log2(p1p2m)p1p2m(p1p2m)log2(p1p2m)， 同理可证 p2log2p2p2m1log2p2m1(p2p2m1) log2(p2p2m1)， pmlog2pmpm1log2pm1(pmpm1)log2(pmpm1)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 H(X)H(Y)，故错误 法二(特值法)令 m1，则 n2，p11 4，p 23 4. P(Y1)1，H(Y)log210， H(X) 1 4log 21 4 3 4log 23 4 0， H(X)H(Y)，故错误