(2022高考数学一轮复习(创新设计))补上一课数列中的不等式问题.DOCX
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1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 数列中的不等式问题) 1数列中的不等式问题在我省高考试卷中有加强趋势,主要有以下几种题型: (1)数列不等式的证明; (2)由数列不等式恒成立求参数; (3)由数列不等式求 n 的最值 2解决数列不等式问题的常见放缩技巧 (1)对 1 n2的放缩,根据不同的要求,大致有三种情况: 1 n2 1 n2n 1 n1 1 n(n2); 1 n2 1 n21 1 2 1 n1 1 n1 (n2); 1 n2 1 n n
2、1 n1 n(n1); 1 2 n 1 n n1 n n1(n1) 题型一关于数列项的不等式证明 【例 1】(2021杭州模拟)已知数列an, bn满足a11 2, a n1 an 1anbn(nN *) (1)若 bna 2 n 4 ,求证数列 1 an是等差数列,并求数列an的通项公式; (2)若 bna3n,求证:00,an0(或由数学归纳法可证 an0), an1 an 1an 2 2 an an 2 1 2an an2. 1 an1 1 an 1 2, 数列 1 an是以 2 为首项,1 2为公差的等差数列, 1 an2(n1) 1 2 n3 2 ,an 2 n3. (2)证明an1
3、 an 1ana3n, 则an 1 an 1 1ana3n1, 数列an是递减数列 a11 2,0a n1 2. 1 a2n1 1ana3n a2n 1 a2na n 1 an 1 a2n 1 22 1 a2n 5 2,即 1 a2n1 1 a2n 5 2, 1 a2n4 5 2(n1) 5n3 2 , a2n 2 5n3. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a 2 n1 a2n 1 1ana3n 1 11 2 1 2 3 8 13, a2n1 4 8
4、13 n1 . 综上所述,1 4 8 13 n1 a2n 2 5n3(nN *) 感悟升华常用方法 (1)利用数列的单调性、有界性放缩; (2)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩; (3)结合有界性,利用不等式性质或函数求出最值或范围 【训练 1】 (2021镇海中学模拟)已知数列an满足 a11,an1n1 n an(n2, nN*) (1)求 an; (2)若数列bn满足 b11 3,b n1bnb 2 n a2n(nN *),求证:bnbn 10, 所以 bn1bn,则 bn1bnb 2 n n2 bnbn1 n2 , 则 1 bn 1 bn1 bn1bn bnbn1 1 n2 1 n(n
5、1) 1 n1 1 n, 累加得 1 b2 1 bn1 5 4 1 n1, 则 bn11,所以 bnbn11(n2), 当 n1 时,不等式也成立, 所以对任意 nN*,都有 bnbn11. 题型二数列和不等式的证明 角度 1先放缩再求和 【例 21】 (2021杭州质检)设公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn,等 比数列bn的前 n 项和为 Tn,若 a2是 a1与 a4的等比中项,a612,a1b1a2b2 1. (1)求 an,Sn与 Tn; (2)若 cn SnTn,求证:c1c2cnn(n2) 2 . (1)解设等差数列an的公差为 d,由题意得 a22a1a4, 即
6、d2a1d. 因为 d0,故 da1. 由 a612 得 a12,d2,故 an2n,Snn(n1) 由 a1b1a2b21 得 b11 2,b 21 4,所以等比数列的公比 q b2 b1 1 2, 所以 Tn1 1 2 n . (2)证明因为 cn SnTnn(n1) 1 1 2 n ,01 1 2 n 1 恒成立, 所以 ck k(k1)k(k1)1 4k 1 2(kN *), 所以 c1c2cn 3 2n 1 2 n 2 (n2)n 2 . 故 c1c2cnn(n2) 2 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高
7、中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 角度 2先求和再放缩 【例 22】 (2021台州期末)设数列an的前 n 项和为 Sn,对于任意的正整数 n, 都有 Snn2.递增的等比数列bn满足:b11,且 b1,b2,b34 成等差数列 (1)求数列an,bn的通项公式; (2)求证: a2 b21 a3 b31 an1 bn110),因为 b11, 故由 2b2b1b34,b11,可得 q22q30, 解得 q3 或1(舍去), 所以数列bn的通项公式为 bn3n 1. (2)证明法一由(1)可得 an1 bn11 2n1 3n1 ,因为 n2 时,3n1(12)n
8、11 12C1n22C2n2n1, 根据“若 ab0,m0,则b a bm am”, 可得 an1 bn11 2n1 3n1 2(n1) 3n (n2), 所以 a2 b21 a3 b31 an1 bn11 3 2 23 32 2(n1) 3n . 令 Tn23 32 24 33 2(n1) 3n , 1 3T n23 33 24 34 2n 3n 2(n1) 3n 1 , 两式相减可得 2 3T n2 3 21 33 21 34 21 3n 2(n1) 3n 1 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
9、 群 483122854 期待你的加入与分享 2 3 2 33 1 1 3n 2 11 3 2(n1) 3n 1 7 9 1 3n 2(n1) 3n 1 , 所以 Tn7 6 3 2 1 3n 2(n1) 3n 1 ,所以 Tn7 6,所以 a2 b21 a3 b31 an1 bn11 7 6 3 2 8 33. 法二令 cn an1 bn11 2n1 3n1 ,下一步用分析法证明cn 1 cn 1 2, 要证cn 1 cn 1 2,即证 (2n3) (3n1) (3n 11) (2n1)1 2, 即证(4n6)(3n1)(2n1)(3n 11), 即证2n5(2n3)3n, 当 nN*时,显
10、然成立,所以cn 1 cn 1 2, 所以 c1c2cn3 2 5 8 2n1 3n1 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 n1 3 2 1 1 2n 11 2 3 1 1 2n0)放缩; 注意添减项(多为常数)放缩 【训练 2】 (1)(角度 1)(2021镇海中学检测)已知正数数列an的前 n 项和为 Sn, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 且满足 2S2n(n2n)Sn(n2n2)0. 求数列an的通项公式; 设数列 bn an n21,证明
11、:b 1b2bn2 n1. (2)(角度 2)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 a22a4a9,S636. 求 an,Sn; 若数列bn满足 b11,bn1bn Sn,求证: 1 b1 1 b2 1 bn2 n1(nN *) (1)解由 2S2n(n2n)Sn(n2n2)0 得 (Sn1)2Sn(n2n2)0, 结合正数数列得 Snn 2n2 2 , 所以 an 2,n1, n,n2. 证明由知 bn 1,n1, n n21,n2. 当 n2 时,bn n n21 1 n1 n 1 n 2 n n 2 n n12( n n1), 所以 b1b2bn12( 2 1 3 2 n n1)2
12、 n1. (2)解设等差数列an的公差为 d, 则由条件得 3a17da18d, 6a115d36, 解得 a11,d2, 所以 an1(n1)22n1, 所以 Sn(12n1)n 2 n2. 证明由知,bn1bnn, 当 n1 时,解得 b21. 因为当 n2 时,bnbn1n1, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 bn1bnbnbn11,bn(bn1bn1)1, 即 1 bnb n1bn1, 当 n2 时, 1 b1 1 b2 1 b3 1 b
13、n 1 b1(b 3b1)(b4b2)(b5b3)(bn1 bn1) 1 b1b 1b2bnbn112 bnbn12 n1. 当 n1 时, 1 b112 11,不等式也成立 综上,不等式 1 b1 1 b2 1 bn2 n1 对任意 nN *都成立 题型三数列不等式恒成立求参数 【例 3】 (2021杭州质检)已知数列an的各项均为正数,a11 4,b n 1 an,b n 是等差数列,其前 n 项和为 Sn,b2S681. (1)求数列an的通项公式; (2)设 cn(1a1)(1a2)(1an), Tna1 c1 a2 c2 a3 c3 an cn, 若对任意的正整数 n, 都有 4aT
14、ncn恒成立,求实数 a 的取值范围 解(1)设数列bn的公差为 d,由 b1 1 a12, b2S681,得(2d)(1215d)81, 即 5d214d190,解得 d1 或 d19 5 . 因为数列an的各项均为正数,b12, 所以 d0,所以 d1, 所以 bnn1,所以 an 1 (n1)2. (2) 由 题 意 得 cn 1 1 22 1 1 32 1 1 (n1)2 13 22 n(n2) (n1)2 n2 2(n1), 因为an cn 1 (n1)2 2(n1) n2 2 (n1) (n2) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享
15、 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2 1 n1 1 n2 , 所以 Tn2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n1 1 n2 n n2, 所以不等式 4aTncn,化为 4a n n2 n2 2(n1), 即 8a1, 所以 8a1,即 a1 8. 故 a 的取值范围为 ,1 8 . 感悟升华(1)能分离参数时,常分离参数,化为函数求最值、值域问题; (2)不能分离参数时,常分类讨论 【训练 3】 (2021义乌联考)已知等比数列an,满足 a13,a3a1a2,数列bn 满足 b11,对一切正整数 n 均有 bn1bn2n1. (1)
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