（2022高考数学一轮复习(创新设计)）补上一课圆锥曲线某点处的切线问题.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 ,圆锥曲线某点处的切线问题) 1设圆(xa)2(yb)2r2上有一点 P(x0，y0)，则过 P 点的切线方程为(xa)(x0 a)(yb)(y0b)r2. 2(1)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上有一点 P(x 0，y0)，则 P 点处的切线方程为x0 x a2 y0y b2 1(ab0) (2)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上有一点 P(x 0，y0)，则 P 点处的切线方程为x0

2、 x a2 y0y b2 1. (3)抛物线 y22px(p0)上有一点 P(x0， y0)， 则 P 点处的切线方程为 y0yp(xx0) 题型一椭圆的切线方程 【例 1】 (2021诸暨期末)已知 F 是椭圆x 2 2 y21 的右焦点，过 F 的直线交椭圆 于 A，B 两点，过 A，B 两点的椭圆的切线交于点 P. (1)当 AB 的斜率为 1 时，求点 P 的坐标 (2)过点 P 作 AB 的垂线，交椭圆于 C，D 两点 求证：F 在直线 CD 上； 求四边形 ACBD 面积的最大值 注：本题可以直接应用定理，椭圆x 2 2 y21 上一点(x0，y0)处的切线方程是x0 x 2 y0

3、y1. 解(1)由题意知 F(1，0)，当直线 AB 的斜率为 1 时，直线 AB 的方程为 yx1， 则 x2 2 y21， yx1， A 4 3， 1 3 ，B(0，1)， lAP： 4 3x 2 y 31， 即 2xy3，lBP：y1， 点 P 的坐标为(2，1) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)证明设 lAB：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 xmy1， x22y22， 化简得(m22)y22my10， 则 y1y

4、2 2m m22， y1y2 1 m22， 由 x1x 2 y1y1， x2x 2 y2y1， 作差得x 2y y1y2 x1x20y m 2 x， 代入切线 PA 的方程得 x 2 x1my1 2 my11my12， ym 2 xm， lCD：x21 m(ym)， 即 ym(x1)， 直线 CD 恒过定点(1，0)，即点 F 在直线 CD 上 结合可得 |AB| 1m2|y1y2| 1m22 2 m 21 m22 2 2（m 21） m22 ， 同理得|CD|2 2（m 21） 2m21 ， 四边形 ABCD 的面积 S1 2|AB|CD| 4（m21）2 （m22）（2m21）. 令 m2

5、1t1，则 m2t1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 S 4t2 （t1）（2t1） 4t2 2t2t1 4 1 t 1 2 2 9 4 ， 当 t1，即 m0 时，Smax2. 感悟升华(1)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)在点 P(x 0，y0)(P 在椭圆上)处的切线方程可 通过隐函数求导得出 (2)过椭圆x 2 a2 y2 b21(a0，b0)外一点 P(x 0，y0)引椭圆的两条切线 PA，PB，(A， B 为切点，弦 AB 所在的

6、直线方程为x0 x a2 y0y b2 1(ab0) (3)对椭圆y 2 a2 x2 b21(ab0)也有上述类型结论 【训练 1】 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦距为 2，且过点 Q 2 2 ， 3 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若 O 为坐标原点，P 为直线 l：x2 上的一动点，过点 P 作直线 l与椭圆相切 于点 A，若POA 的面积 S 为 2 2 ，求直线 l的方程 解(1)由题意得 2c2，c1. 椭圆 C 过点 Q 2 2 ， 3 2 ， 1 2 a2 3 4 b2 1. c2a2b2，解得 a22，b21. 椭圆 C 的标准方程为x 2

7、 2 y21. (2)设 A(x0，y0)，则切线 l的方程为xx0 2 yy01， 即 y1 y0 x0 2y0 x， 则直线 l与 x 轴交于点 B 2 x0，0，P 2，1x0 y0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 SPOA1 2| 2 x0| 1x0 y0 y0| 2 2 ， 即| 1x0 x0y0 y0 x0| 2 2 ，1x0y 2 0 x0y0 2 2 ， 即 1x0y20 2 2 x0y0， y201x 2 0 2 ， 或 1x0y2

8、0 2 2 x0y0， y201x 2 0 2 ， 解得 x01，y0 2 2 或 x01，y0 2 2 (x00，y01 不合题意舍)， 直线 l的方程为 y 2 2 x 2或 y 2 2 x 2. 题型二双曲线的切线方程 【例 2】 (一题多解)求双曲线 x2y 2 2 1 在点( 2， 2)处的切线方程 解法一对 x2y 2 2 1 求导得 2x2 2yy0， y2x y ， y|x22， 故双曲线 x2y 2 2 1 在点( 2， 2)处的切线方程为 y 22(x 2)， 即 2xy 20. 法二由双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上一点 P(x 0，y0)处的切线方程是x

9、0 x a2 y0y b2 1， 双曲线 x2y 2 2 1 在点( 2， 2)处的切线方程为2x 2y 2 1， 即为 2xy 20. 感悟升华(1)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上一点 P(x 0，y0)处的切线方程是x0 x a2 y0y b2 1. (2)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与直线 AxByC0 相切的条件是 A 2a2B2b2 c2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)过双曲线x 2 a2 y2

10、b21(a0，b0)外一点 P(x 0，y0)所引两条切线的切点弦方程是 x0 x a2 y0y b2 1. 【训练 2】 (一题多解)已知 P(1，1)是双曲线外一点，过 P 引双曲线 x2y 2 2 1 的 两条切线 PA，PB，A，B 为切点，求直线 AB 的方程 解法一设切点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 PA：x1xy1y 2 1，PB：x2xy2y 2 1， 又点 P(1，1)代入得 x11 2y 11，x21 2y 21， 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线 x1 2y1 上， 过直线 AB 的方程为 x1 2y1， 即 2xy20. 法二利用结论(2)得

11、直线 AB 的方程为 xy 21，即 2xy20. 题型三抛物线的切线方程 【例 3】 (2019全国卷)已知曲线 C：yx 2 2 ，D 为直线 y1 2上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B. (1)证明：直线 AB 过定点； (2)若以 E 0，5 2 为圆心的圆与直线 AB 相切， 且切点为线段 AB 的中点， 求四边形 ADBE 的面积 (1)证明设 D t，1 2 ，A(x1，y1)，则 x212y1. 因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1， 故 y11 2 x1t x1. 整理得 2tx12y110. 设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210.

12、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故直线 AB 的方程为 2tx2y10. 所以直线 AB 过定点 0，1 2 . (2)解由(1)得直线 AB 的方程为 ytx1 2. 由 ytx1 2， yx 2 2 可得 x22tx10. 于是 x1x22t，x1x21， y1y2t(x1x2)12t21， |AB| 1t2|x1x2| 1t2 （x1x2）24x1x22(t21) 设 d1，d2分别为点 D，E 到直线 AB 的距离， 则 d1 t21，d2 2

13、 t21. 因此，四边形 ADBE 的面积 S1 2|AB|(d 1d2)(t23) t21. 设 M 为线段 AB 的中点，则 M t，t21 2 . 因为EM AB ，而EM (t，t22)，AB 与向量(1，t)平行， 所以 t(t22)t0，解得 t0 或 t1. 当 t0 时，S3；当 t1 时，S4 2. 因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2. 感悟升华(1)对抛物线 x22py，x22py(p0)可直接求导得出切线的斜率再 由点斜式求得切线方程 (2)对抛物线 y22px，y22px(p0)可通过隐函数求导得出切线的斜率，再由 点斜式求出切线方程 【训练 3】 如图，

14、过抛物线 M：yx2上一点 A(点 A 不与原点 O 重合)作抛物线 M 的切线 AB 交 y 轴于点 B，点 C 是抛物线 M 上异于点 A 的点，设 G 为ABC 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 的重心(三条中线的交点)，直线 CG 交 y 轴于点 D. (1)设 A(x0，x20)(x00)，求直线 AB 的方程； (2)求|OB| |OD|的值 解(1)因为 y2x，所以直线 AB 的斜率 ky|xx02x0， 所以直线 AB 的方程为 yx2

15、02x0(xx0)， 即 y2x0 xx20. (2)由题意及(1)得点 B 的纵坐标 yBx20， 所以 AB 的中点坐标为 x0 2 ，0 . 设 C(x1，y1)，G(x2，y2)， 直线 CG 的方程为 xmy1 2x 0. 由 xmy1 2x 0， yx2， 得 m2y2(mx01)y1 4x 2 00. 因为 G 为ABC 的重心， 所以 y13y2. 由根与系数的关系得 y1y24y21mx0 m2 ，y1y23y22 x20 4m2. 所以（1mx0） 2 16m4 x20 12m2，解得 mx 032 3. 所以点 D 的纵坐标 yD x0 2m x20 64 3， 故|OB

16、| |OD| yB yD|4 36. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1已知圆 O：x2y21. (1)(一题多解)求过点 P 1 2， 3 2 的圆 O 的切线方程； (2)(一题多解)过点 Q(2，2)引圆的两条切线 QA，QB，(A，B 为切点)，求弦 AB 所在的直线方程 解(1)法一点 P 1 2， 3 2 在圆上， 且 kOP 3， k 切线 3 3 ， 故过点 P 1 2， 3 2 的圆 O 的切线方程为 y 3 2 3 3 x1 2 ，

17、即 x 3y20. 法二对 x2y21 求导得 2x2yy0，即 yx y， y|x1 2 1 2 3 2 3 3 ，切线方程为 y 3 2 3 3 x1 2 ，即 x 3y20， 法三圆 x2y22在点 P(x0，y0)处的切线为 x0 xy0y2， 所求切线方程为 1 2x 3 2 y1，即为 x 3y20. (2)法一QAOQBO90，Q、A、O、B 四点共圆，且 QO 为圆的直 径，易求得此圆的方程为(x1)2(y1)22，又 x2y21， 两式相减得弦 AB 所在直线方程为 2x2y10. 法二设切点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 QA 为 x1xy1y1，直线 QB

18、为 x2x y2y1， 把 Q(2，2)代入得2x12y11，2x22y21， A(x1，y1)，B(x2，y2)两点均在直线2x2y1 上， 弦 AB 所在的直线方程为 2x2y10. 2(2021浙江新高考训练四)对于椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，有如下性质：若点 P(x 0， y0)是椭圆外一点，PA，PB 是椭圆的两条切线，则切点 A，B 所在直线的方程是x0 x a2 y0y b2 1.利用此结论解答下列问题： 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你

19、的加入与分享 已知椭圆 C：x 2 2 y21 和点 P(2，t)(tR)，过点 P 作椭圆 C 的两条切线，切点分 别是 A，B，记点 A，B 到直线 PO(O 是坐标原点)的距离分别是 d1，d2. (1)当 t0 时，求线段 AB 的长； (2)求 |AB| d1d2的最大值 解(1)因为点 P(2，t)，所以直线 AB 的方程是2x 2 ty1， 即 xty1，当 t0 时，直线 AB 的方程是 x1， 把 x1 代入椭圆方程x 2 2 y21，易得|AB| 2. (2)由(1)知直线 AB 的方程是 xty1，直线 PO 的方程是 tx2y0.设 A(x1，y1)， B(x2，y2)

20、，则 d1d2|tx 12y1| t24 |tx 22y2| t24 . 又 x1ty11， x2ty21，由点 A，B 在直线 PO 的两侧可得 tx 12y1与 tx22y2异号， 所以 d1d2|（t 22） （y2y1）| t24 . 又|AB| 1t2|y1y2|， 所以 |AB| d1d2 （1t2） （4t2） 2t2 . 设 2t2s(s2)，则 |AB| d1d2 （s1） （s2） s2 2 1 s 2 1 s 1， 当1 s 1 4，即 s4，t 22 时， |AB| d1d2有最大值为 3 2 4 . 3在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx 2 4 与直线 l：

21、ykxa(a0)交于 M，N 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 两点， (1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由 解(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(2 a，a)， 或 M(2 a，a)，N(2 a，a) 又 yx 2，故 y x2 4 在 x2a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 y a a(x2 a)， 即axya0. yx

22、 2 4 在 x2a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即axya0. 故所求切线方程为axya0 和axya0. (2)存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2. 将 ykxa 代入 C 的方程得 x24kx4a0. 故 x1x24k，x1x24a.从而 k1k2y1b x1 y2b x2 2kx1x2（ab） （x1x2） x1x2 k（ab） a . 当 ba 时，有 k1k20， 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故OPMOPN

23、，所以点 P(0，a)符合题意 4(2021稽阳联考)已知抛物线 C：yax2(a0)上的点 P(b，1)到焦点的距离为5 4. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求 a 的值； (2)如图，已知动线段 AB(B 在 A 右边)在直线 l：yx2 上，且|AB| 2，现过 A 作 C 的切线， 取左边的切点为 M， 过 B作 C 的切线， 取右边的切点为N， 当MNAB 时，求点 A 的横坐标 t 的值 解(1)抛物线 C：yax2即 x21 ay

24、， 其准线方程为 y 1 4a. 点 P(b，1)到焦点的距离为5 4， 1 1 4a 5 4，解得 a1. (2)法一由(1)可知，抛物线 C：yx2. 设点 M(x1，x21)，N(x2，x22) yx2，y2x，kAM2x1， 切线 AM 的方程为 yx212x1(xx1)， 即 y2x1xx21， 同理可得切线 BN 的方程为 y2x2xx22. 动线段 AB(B 在 A 右边)在直线 l：yx2 上， 且|AB| 2， 故可设点 A(t，t2)，B(t1，t1) 将点 A(t，t2)代入切线 AM 的方程得 t22x1tx21， 即 x212tx1t20， x12t 4t 24（t2

25、） 2 t t2t2， 同理可得 x2t1 （t1）2（t1）2t1 t2t2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 kMNx 2 2x21 x2x1x 1x2， 当 MNAB 时，kMN1， 即 x1x21， t t2t2t1 t2t21， 2t t2t2 t2t2， 2t 2t t2t2 t2t2， 则 t0 或 t2t2 t2t21(舍去)， t0. 法二设点 M(x1，x21)，N(x2，x22) yx2，y2x，kAM2x1， 切线 AM 的方程

26、为 yx212x1(xx1)， 即 y2x1xx21， 同理可得切线 BN 的方程为 y2x2xx22. 动线段 AB(B 在 A 右边)在直线 l：yx2 上， 且|AB| 2， 故可设 A(t，t2)，B(t1，t1) 将 A(t，t2)代入切线 AM 的方程得 t22x1tx21， 即 x212tx1t20， 同理 x222(t1)x2t10，两式相减可得 x21x222t(x1x2)2x210. 因为 kMNx1x21， 所以2t(x1x2)0，则 t0. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ

27、 群 483122854 期待你的加入与分享 5(2021浙江名师预测卷二)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦距是 2 2，点 P(1，1)是椭圆 C1内一点，过 P 的直线 y1 2x 3 2与椭圆 C 1交于 M，N 两点，且 P 平分弦 MN. (1)求椭圆的标准方程； (2)A，B 是抛物线 C2：x24y 上两点，且 A，B 处的切线相互垂直，直线 AB 与椭 圆 C1相交于 C，D 两点，求OCD 面积的最大值 解(1)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，分别代入椭圆方程得 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 两式相减得x 2 1

28、x22 a2 y 2 1y22 b2 0， 即（x1x2） （x1x2） a2 （y1y2） （y1y2） b2 0. P(1，1)是 MN 的中点， x1x22，y1y22， y1y2 x1x2 b2 a2 1 2，2b 2a2. 又 c 2，a2b2c2，a24，b22， 椭圆的方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)设直线 AB 的方程为 ykxm， A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4) 由 ykxm， x24y， 得 x24kx4m0， 则 x1x24k，x1x24m， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入

29、与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由 x24y，得 yx 2， 设 A，B 点处的切线分别为 l1，l2， 则 kl1x1 2 ，kl2x2 2 ， l1l2，x1 2 x2 2 4m 4 1， m1，直线 AB 的方程为 ykx1. 由 ykx1， x2 4 y 2 2 1，得(12k 2)x24kx20， x3x4 4k 12k2，x 3x4 2 12k2， |CD| 1k2|x3x4| 1k2 8（14k2） 12k2 ， 又原点到直线 AB 的距离 d 1 1k2， SOCD1 2d|CD| 1 2 1 1k2 1k 2 8

30、（14k2） 12k2 2（14k2） 12k2 ， 设 4k21t1， 易得 SOCD2 2t t21 2 2 t1 t 2， 当且仅当 t1 时等号成立，此时 k0， OCD 面积的最大值是 2. 6(2020北京朝阳区一模)已知点 M(x0，y0)为椭圆 C：x 2 2 y21 上任意一点，直 线 l：x0 x2y0y2 与圆(x1)2y26 交于 A，B 两点，点 F 为椭圆 C 的左焦点 (1)求椭圆 C 的离心率及左焦点 F 的坐标； (2)(一题多解)求证：直线与椭圆 C 相切； (3)判断AFB 是否为定值，并说明理由 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 32303

31、1380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)解由题意 a 2，b1，c a2b21， 所以离心率 ec a 2 2 ，左焦点 F(1，0) (2)证明法一对x 2 2 y21求导得x2yy0， 即y x 2y， 所以y|xx 0 x0 2y0， 由点斜式得椭圆 C： x2 2 y21 在点 M(x0， y0)处的切线方程为 yy0 x0 2y0(xx 0)， 即 x0 x2y0yx202y20， 又 x202y202， 切线方程为 x0 x2y0y2. 法二由题知x 2 0 2 y201，即 x202y202， 当

32、 y00 时直线方程为 x 2或 x 2，直线与椭圆 C 相切， 当 y00 时，由 x2 2 y21， x0 x2y0y2， 得(2y20 x20)x24x0 x44y200， 即 x22x0 x22y200， 所以(2x0)24(22y20)4x208y2080， 故直线与椭圆 C 相切 (3)解设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当 y00 时，x1x2，y1y2，x1 2， FA FB(x11)2y2 1(x11)26(x11)22x2140， 所以FA FB，即AFB90. 当 y00 时，由 （x1）2y26， x0 x2y0y2， 得(y201)x22(2y20 x0)x2

33、10y200， 则 x1x22（2y 2 0 x0） 1y20 ，x1x2210y 2 0 1y20 ， y1y2 x20 4y20 x 1x2 x0 2y20(x 1x2) 1 y20 5x204x04 22y20 .因为FA FB(x11，y1)(x21，y2) x1x2x1x21y1y2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 420y 2 08y204x022y20 22y20 5x 2 04x04 22y20 5（x 2 02y20）10 22y20 0. 所以FA FB，即AFB90.故AFB 为定值 90.