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类型(2022高考数学一轮复习(创新设计))补上一课数列的最值及奇偶项讨论问题.DOCX

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    1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 ,数列的最值及奇偶项讨论问题) 1数列是一种特殊的函数,数列的最值、范围问题与函数的最值(范围)问题相类 似,一般常借助单调性解决 2在数列中,经常出现某一项符号与项数 n 有关的问题,此类问题常通过讨论 n 的奇偶性求解 题型一项的最值问题 【例 1】设等差数列an前 n 项和为 An, 等比数列bn前 n 项和为 Bn.若 Bn38Bn 7,a1b2,a4b4. (1)求 bn和 An; (2)求数列bnA

    2、n的最小项 解(1)法一设等差数列an的公差为 d,设等比数列的公比为 q,由 Bn38Bn 7,可得 b1b2b3(b4bn3)b1b2b3q3Bn8Bn7, 则 q38,b1b2b37,解得 q2,b11. 则 bn2n 1; 由 a1b22,a4b48, 可得 d2,An2n1 22n(n1)n 2n; 法二Bn38Bn7,Bn48Bn17, 两式相减得 bn48bn1,故 q2. (2)设 cnbnAn2n 1n2n, cn1cn2n(n1)2n1(2n 1n2n)2n12(n1), 当 n4 时,cn1cn, 可得数列bnAn的最小项为 c514. 感悟升华(1)确定数列的最值(即项

    3、的最值),一般应先求出通项公式; (2)数列的最值常通过数列的单调性求解; 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)有些情况下可通过不等式组(如 an()an1, an()an1 或 an an11(1) an an11(1) )解决 【训练 1】 (1)若数列 n(n4) 2 3 n 中的最大项是第 k 项,则 k_ (2)已知数列an的前 n 项和 Sn 2n 1,n4, n2(a1)n,n5,nN *,则 an_;若 a5是an中的最大值,则 实数

    4、 a 的取值范围是_ 答案(1)4(2) 1,n1, 2n 2,2n4, 5a45,n5, 2na,n6, a53 5 解析(1)由题意知 k(k4) 2 3 k (k1) (k3) 2 3 k1 , k(k4) 2 3 k (k1) (k5) 2 3 k1 , 解得 10k1 10.kN*,k4. (2)当 2n4 时,anSnSn12n 2,n1 时,a1S11,不满足上式;当 n6 时,anSnSn12na;当 n5 时,a5S5S45a45,an 1,n1, 2n 2,2n4, 5a45,n5, 2na,n6, 由题意,a5是an中的最大值, 5a458 且 5a4512a,a53 5

    5、 . 题型二前 n 项和(或积)的最值 【例 2】(2014浙江卷)已知数列an和bn满足 a1a2a3an( 2)bn(nN*) 若an 为等比数列,且 a12,b36b2. (1)求 an与 bn; 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)设 cn 1 an 1 bn(nN *),记数列cn的前 n 项和为 Sn. 求 Sn; 求正整数 k,使得对任意 nN*均有 SkSn. 解(1)由题意 a1a2a3an( 2)bn,b3b26, 知 a3( 2

    6、)b3b28. 又由 a12,得公比 q2(q2,舍去), 所以数列an的通项为 an2n(nN*) 所以,a1a2a3an2 n(n1) 2 ( 2)n(n 1) 故数列bn的通项为 bnn(n1)(nN*) (2)由(1)知 cn 1 an 1 bn 1 2n 1 n 1 n1 (nN*), 所以 Sn 1 n1 1 2n(nN *) 因为 c10,c20,c30,c40; 当 n5 时, cn 1 n(n1) n(n1) 2n 1 , 而n(n1) 2n (n1) (n2) 2n 1 (n1) (n2) 2n 1 0, 得n(n1) 2n 5(51) 25 1, 所以,当 n5 时,cn

    7、0. 综上,对任意 nN*恒有 S4Sn,故 k4. 感悟升华(1)此类问题常构造函数,利用单调性解决; (2)和式最值有时也可通过找分界项(与零的关系)求解 【训练 2】 (2020金丽衢十二校二联)设数列an的前 n 项和为 Sn,满足:anSn 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 n1 n2n(nN *) (1)求证:数列 an 1 n(n1) 为等比数列; (2)求 Sn,并求 Sn的最大值 (1)证明因为 anSn n1 n2n, 所以 an1S

    8、n1 n2 n2n(n2), 由可得, 当 n2 时,2anan1 n1 n2n n2 n2n, 整理得 2 an 1 n(n1) an1 1 (n1)n. 又 a11 2 1 2, 所以数列 an 1 n(n1) 是首项、公比均为1 2的等比数列 (2)解由(1)得 an 1 n(n1) 1 2n, 所以 an 1 2n 1 n(n1) 1 2n 1 n 1 n1 , 所以 Sn1 1 2n 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 , 所以 Sn 1 n1 1 2n. 因为 an 1 2n 1 n(n1) 1 n(n1) n(n1) 2n 1 , 令函数 f(n)n(n1) 2n 1,

    9、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则 f(n1)f(n)(n1) (2n) 2n 1 , 所以 f(1)f(4). 又 f(1)0,f(4)0,f(5)0, 所以当 n5 时,anSn, 当 n4 时,Sn1Sn, 因此 Sn的最大值为 S411 80. 题型三项或积的代数式的最值 【例 3】 (1)已知各项为正的等比数列an中,a4与 a14的等比中项为 2 2,则 2a7 a11的最小值为() A16B8C6D4 (2)设 Sn为等差数列an的前 n

    10、 项和, 若 a75, S555, 则 nSn的最小值为() A343B324C320D243 答案(1)B(2)A 解析(1)因为 a29a4a14a7a118,所以 2a7a112a7 8 a72 2a7 8 a78. (2)设等差数列an的公差为 d, a75,S555, a16d5, 5(a12d)55.解得 a119, d4. Sn19nn(n1) 2 42n221n, nSn2n321n2, 设 f(x)2x321x2(x0),则 f(x)6x(x7) 当 0 x7 时,f(x)7 时,f(x)0, 故 nSn的最小值为 f(7)343. 感悟升华(1)利用基本不等式求最值; (2

    11、)利用函数、导数研究对应函数的单调性,借助单调性求最值 【训练 3】 (1)(2021浙江五校联考)已知等差数列an的公差 d0,且 a1,a3,a13 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 成等比数列, 若 a11, Sn为数列an的前 n 项和, 则2Sn16 an3 的最小值为_ (2)(2021浙江新高考仿真三)设数列an的前 n 项和为 Sn,对任意 nN*,有 Sn1 2Snn1,a11,则n 2n an1的最大值为( ) A2B1C.5 4 D

    12、.3 2 (3)(2021镇海中学模拟)已知数列an满足 a11, a24, 且 2ann1 n an1n1 n an 1(n2,nN),则a n n 的最大值为() A.49 24 B1C2D.5 3 答案(1)4(2)D(3)C 解析(1)设公差为 d,因为 a1,a3,a13成等比数列,所以(12d)2112d,解 得 d2.所以 an2n1,Snn2.所以2Sn16 an3 2n 216 2n2 n 28 n1 .令 tn1,则原 式t 292t t t9 t 2.因为 t2, tN*, 所以当 t3, 即 n2 时, 2Sn16 an3 min 4. (2)由 Sn12Snn1 得当

    13、 n2 时,Sn2Sn1n,两式作差得 an12an1,即 an112(an1),又因为 a112,所以数列an1为首项为 2,公比为 2 的 等比数列,则 an12n,an2n1,则n 2n an1 n2n 2n ,设 f(n)n 2n 2n ,则 f(n1) f(n)(n1) 2n1 2n 1 n 2n 2n (1n) (2n) 2n 1 , 则有 f(1)f(2)f(3), 当 n3 时,f(n1)f(n),所以n 2n an1的最大值为 f(2) 222 22 3 2,故选 D. (3)由 2ann1 n an1n1 n an1得 2nan(n1)an1(n1)an1,则数列nan为等

    14、 差数列,其首项为 1,公差为 2a2a17,则 nan17(n1)7n6,则an n 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 7n6 n2 .设函数 f(x)7x6 x2 , 则 f(x)127x x3 , 则an n 的最大值为 max a1 1 ,a2 2 a2 2 2, 故选 C. 题型四数列的奇偶项讨论 【例4】(1)若数列an的通项公式an(1)n2n1 n2n, 则它的前n项和S n_ (2)在数列an中,a11,a22,且 an2an1(1)n

    15、(nN*),则 an_, S100_ (3)已知公差不为零的等差数列an中,a11,且 a2,a5,a14成等比数列,an 的前n项和为Sn, bn(1)nSn, 则an_, 数列bn的前n项和Tn_ 答案(1)1(1) n n1 或 n2 n1,n 为奇数, n n1,n 为偶数 (2) 1(n 为奇数) n(n 为偶数) 2 600(3)2n1(1)nn(n1) 2 解析(1)an(1)nn(n1) n(n1) (1)n 1 n1 1 n , Sn 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 (1)n 1 n 1 n1 , 当 n 为偶数时,Sn1 1 n1,当 n 为奇数时, Sn1 1

    16、n1, 综上所述 Sn1(1) n n1 . (2)当 n 为奇数时,an2an0;当 n 为偶数时,an2an2, an的一个通项公式为 an 1,n2k1(kN) , n,n2k(kN) , 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 S100S奇S偶50150(2100) 2 2 600. (3)设等差数列an的公差为 d(d0),则由 a2,a5,a14成等比数列得 a25a2a14, 即(14d)2(1d)(113d),解得 d2,则 ana1(n1)d

    17、2n1,Snna1 n(n1) 2 dn2,当 n 为偶数时,TnS1S2S3S4Sn1Sn1222 3242(n1)2n237(2n1)n(n1) 2 ;当 n 为大于 1 的奇 数时,TnS1S2S3S4Sn1Sn12223242(n2)2(n 1)2n237(2n3)n2n(n1) 2 ,当 n1 时,也符合上式综 上所述,Tn(1)nn(n1) 2 . 感悟升华当所给条件中, 出现符号数列(1)n或出现关于 n 的三角函数时, 常 考虑分奇偶项讨论 【训练 4】 (1)已知数列an的通项公式是 an n2sin 2n1 2 ,则 a1a2a3a2 018() A.2 0172 018

    18、2 B.2 0182 019 2 C.2 0172 017 2 D.2 0182 018 2 (2)在数列an中,an1(1)nan2n1,则数列an的前 12 项和为() A76B78C80D82 (3)(2021上海徐汇区一模)若不等式(1)na3(1) n1 n1 对任意的正整数n恒成 立,则实数 a 的取值范围是_ 答案(1)B(2)B(3) 3,8 3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)ann2sin 2n1 2 n2,n 为奇数,

    19、n2,n 为偶数, a1a2a3a2 018122232422 01722 0182(2212)(42 32)(2 01822 0172)12342 0182 0182 019 2 . (2)因为 an1(1)nan2n1,所以 a2a11, a3a23,a4a35,a5a47,a6a59,a7a611,a11a1019,a12 a1121,所以 a1a32,a4a28,a12a1040, 所以从第一项开始,依次取两个相邻奇数项的和都等于 2,从第二项开始,依次 取两个相邻偶数项的和构成以 8 为首项, 以 16 为公差的等差数列, 以上式相加可 得,S12a1a2a3a12(a1a3)(a5

    20、a7)(a9a11)(a2a4)(a6a8) (a10a12)328244078. (3)n 为偶数时,a 3 1 n1 min ,即 a31 3 8 3; n 为奇数时,a 3 1 n1 min ,即a3, a3, 综上实数 a 的取值范围是 3,8 3 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 一、选择题 1已知数列an的通项公式为 an n n258,则数列a n的最大值为() A第 7 项B第 8 项 C第 7 项或第 8 项D不存在 答案B 解析a

    21、n n n258 1 n58 n 1 2 58, 当且仅当 n 58时取等号, 而 a 7 7 7258 7 107,a 8 8 8258 4 61,而 a 70,且 a1a2a2 0214 042,则 a1a2 021的最大值 为() A3B4C6D9 答案B 解析因为在等差数列an中,a1a2a2 0214 042, 所以2 021(a1a2 021) 2 4 042,即 a1a2 0214, 又 an0,所以 a1a2 021 a1a2 021 2 2 4, 当且仅当 a1a2 0212 时,等号成立, 所以 a1a2 021的最大值为 4.故选 B. 3 (2021北京顺义区二模)设a

    22、n是各项均为正数的等比数列, Sn为其前 n 项和 已 知 a1a316,S314,若存在 n0使得 a1,a2,an0的乘积最大,则 n0的一个 可能值是() A4B5C6D7 答案A 解析等比数列an中,公比 q0; 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由 a1a316a22,所以 a24, 又 S314, 所以 a1a316, a1a310,解得 a12, a38 或 a18, a32, 若 a12, a38 时,可得 q2,可得 a1,a2,an0

    23、的值为 2,4,8,16,不会 存在 n0使得 a1,a2,an0的乘积最大(舍去), 若 a18, a32 时,可得 q1 2,可得 a 1,a2,an0的值为 8,4,2,1, 1 2, 1 4, 观察可知存在 n04,使得 8421 的乘积最大,综上,可得 n0的一个可能值 是 4. 4(2021嘉兴期末)等差数列an满足:a10,4a37a10.记 anan1an2bn,当数 列bn的前 n 项和 Sn取最大值时,n() A17B18C19D20 答案C 解析因为数列an是首项大于 0 的等差数列,且 4a37a10,所以 3a155d0. 不妨取 a155,d3,则 an583n,所

    24、以数列an的前 19 项为正,从第 20 项开始为负因为 bnanan1an2,所以数列bn的前 17 项为正,第 18 项为负, 第 19 项为正,从第 20 项开始为负,所以 S17S16S10,S18S17b180,所以 S19S17b18b19S17,S20S19b20S19,S21S20 b210,且 t 随着 Sn的增大而增 大当 n 为奇数时,Sn1 1 2 n 递减,则 Sn 1,3 2 ,t 0,5 6 ;当 n 为偶数时, Sn1 1 2 n 递增,Sn 3 4,1,t 7 12,0.所以 tmin 7 12,t max5 6,即 S2n1 Sn 的 最大值为5 6,最小值

    25、为 7 12,所以 S2n1 Sn 的最大值与最小值差的绝对值为5 6 7 12 17 12,故选 A. 7(2021鄞州中学检测)已知数列an满足 a11,an1ana2n2an1,则使得 | a2 020m|最小的整数 m 是( ) A65B64C63D62 答案B 解析显然 an0,由 an1ana2n2an1 得 an1an 1 an2,则数列a n为单调 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 递增数列,则 an(anan1)(an1an2)(a2a

    26、1)a1 1 an12 1 an22 1 a12a12n1 1 an1 1 an2 1 a12n,所以 a2 020 4 040,所以 a2 02063.6;由 an1ana2n2an1 得an1 an 1 an 1 2n 2 2n 2n 2 2n 2n2 2n 2n2,所以 a 2 020 a2( a3 a2)( a4 a3)( a2 020 a2 019)2 4 038 264.5,所以使得| a2 020m|最小的整 数 m 是 64,故选 B. 8(2021杭州二中月考)已知数列an满足 a11,a21 2,且3(1) nan 22an 2(1)n10,nN*,记 T2n为数列an的前

    27、 2n 项和,数列bn是首项和公 比都是 2 的等比数列,则使不等式 T2n 1 bn 1 bn1 成立的最小整数 n 的值为( ) A7B6C5D4 答案C 解析因为3(1)nan22an2(1)n10,nN*,所以当 n 为奇数时, an2an2,且 a11,所以数列an的奇数项构成首项为 1,公差为 2 的等差数 列;当 n 为偶数时,an 2 an 1 2,且 a 21 2,所以数列a n的偶数项构成首项为1 2,公 比为1 2的等比数列,则 T 2n(a1a3a5a2n1)(a2a4a6a2n)n2 1 1 2 n .又因为数列bn是首项和公比都是 2 的等比数列,所以 bn2n,则

    28、 T2n 1 bn 1 bn1 等价于 1 2n(n 21)1,即 n212n; 当 n5 时, n215 时, 由数学归纳法易得 n212n. 综上所述,使不等式 T2n 1 bn 1 bn0,a2a42a3a5a4a625,则 a3a5_; 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a4的最大值为_ 答案5 5 2 解析因为 an0,a2a42a3a5a4a6a232a3a5a25(a3a5)225,所以 a3a5 5,所以 a3a552 a3a52a4,所

    29、以 a45 2.即 a 4的最大值为5 2. 10 若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积, 则称该数列为“m 积数 列”若各项均为正数的等比数列an是一个“2 020 积数列”,且 a11,则当其 前 n 项的乘积取最大值时 n 的值为_ 答案1 009 或 1 010 解析由题可知 a1a2a3a2 020a2 020, 故 a1a2a3a2 0191, 由于an是各项均为正数的等比数列且 a11. 所以 a1 0101,公比 0q1且0a1 0111, 故当数列an的前n项的乘积取最大值时n的值为1 009 或 1 010. 11(一题多解)(2021浙江教育绿色联盟适考)

    30、已知数列an满足 an1(1)nan n(nN*),记数列an的前 n 项和为 Sn,则 S60_ 答案930 解析法一因为 a2ka2k12k1,a2k1a2k2k(kN*),两式相减,则 a2k1 a2k11,即an的相邻两个奇数项之和恒为 1;又 a2k1a2k2k,a2k2a2k1 2k1(kN*),两式相加,则 a2k2a2k4k1,所以 S60(a1a3a59) (a2a4)(a58a60)15(411)(431)(4291) 930. 法二一般递推关系中出现(1)n, 应分奇偶项进行讨论, 以简化递推关系 同时, 对于首项未定的数列求和,可以考虑从特殊到一般归纳其规律:设 a1x

    31、,则由 递推关系,得 a21x,a31x,a44x,a5x,a65x,a71x,a8 8x,则有 a1a2a3a46,a5a6a7a814,可猜想 a4m1a4m2 a4m3a4m48m6(mN),故 S606151514 2 8930. 12(2021浙江名校联考信息卷)已知数列an,bn,且 a1b11,an1an1, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 bn1bn2n,则 bn_;设 cnbn1 a2n ,则 cn的最小值为_ 答案2n1 8 9 解

    32、析由题意可得 an1an1,bn1bn2n.由 a11,an1an1 得 ann,由 b11 及 bn1bn2n运用累加法得 bn2n1,所以 cn2 n n2,所以 c n1cn 2n 1 (n1)2 2n n2 (n22n1)2n n2(n1)2 ,所以当 n1,2 时,cn1cn0,则有 c1c2c3c4c5,所以 cn的最小值为 c38 9. 13(2021杭州地区四校联考)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a13 2,2S n Sn13(n2,nN*),则 Sn的最大值与最小值之和为_ 答案 9 4 解析因为 2SnSn13(n2,nN*),所以 n3 时,2Sn1Sn23

    33、,两式相 减得 2anan10,即 an1 2a n1(n3)当 n2 时,2S2S13,即 3a12a2 3,由 a13 2得 a 23 4,则 a 21 2a 1,所以数列an是以3 2为首项, 1 2为公比 的等比数列,所以 Sn 3 2 1 1 2 n 1 1 2 1 1 2 n .当 n 为奇数时,Sn1 1 2 n ,Sn 随 n 的增大而减小,则 1SnS13 2;当 n 为偶数时,S n1 1 2 n ,Sn随 n 的增大 而增大,则3 4S 2SnTn5n71 4 对任意的 nN*恒成立,则实数的取值范围是_ 答案 29 54, 解析因为 an1 23 n1,所以当 n1 时

    34、,a11 2,b 10.当 n2 时,3n 1 为大于 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 的奇数,3n 11 为偶数,所以 bn3n 11 2 ,显然 b10 也满足上式,所以 bn 3n 11 2 ,nN*,所以 Tn1 2(3 031323n1)n 2 3n1 4 n 2 3n2n1 4 .所 以不等式an1Tn5n71 4 ,即3 n 2 3 n2n1 4 5n71 4 可化为1 2 9(n4) 3n . 令 f(n)9(n4) 3n 1 2,

    35、nN *,则 f(n1)9(n3) 3n 1 1 2,所以 f(n1)f(n) 9(n3) 3n 1 9(n4) 3n 92n 3n 1 ,所以当 n4 时,f(n1)f(n)0,f(n)递增,当 n5 时,f(n1)f(n)0,f(n)递减,即 f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(7),所以 f(n)maxf(5)29 54,故 29 54,即实数的取值范围是 29 54,. 三、解答题 15已知数列an的通项公式 an23n 1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3,求其前 n 项和 Sn. 解Sn2(133n 1)111(1)n(ln 2ln 3)123 (1)nnln

    36、3, 所以当 n 为偶数时,Sn213 n 13 n 2ln 33 nn 2ln 31, 当 n 为奇数时, Sn213 n 13 (ln 2ln 3) n1 2 n ln 3 3nn1 2 ln 3ln 21, 综上所述,Sn 3nn 2ln 31,n 为偶数, 3nn1 2 ln 3ln 21,n 为奇数. 16(2021鄞州中学测试)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn(n2)(an 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1),nN*.

    37、(1)证明:数列 an1 n1 为常数列,并求 an; (2)令 bna2nsin an 2 ,求数列bn的前 n 项和 Tn. (1)证明因为 2Sn(n2)(an1), 所以当 n2 时,2Sn1(n1)(an11), 得 2an(n2)an(n1)an11, 即 nan(n1)an11. 等式两边同除 n(n1)得 an n1 an1 n 1 n(n1) 1 n 1 n1, 整理得an1 n1 an 11 n , 所以数列 an1 n1 为常数列 因为 2S1(12)(a11),所以 a13, 则an1 n1 a11 2 2,所以 an2n1. (2)解由(1)可得 a2n22n12n

    38、11, 所以 bn(2n 11)sin(2n1) 2 (2n 11)sin 2n, 则 bn 2n 11,n2k(kN*) , (2n 11) ,n2k1(kN*). 当 n2k,kN*时, Tn(221)(231)(241)(2n1)(2n 11) 222324252n2n 1 22242n 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4 3(2 n1); 当 n2k1,kN*时 , TnTn1bn14 3(2 n11)(2n21)2 n27 3 . 综上所述,

    39、Tn 4 3(2 n1) ,n2k(kN*) , 2 n27 3 ,n2k1(kN*). 17(2021浙江新高考训练三)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn(nN*),且 a1 a6a4,S69,数列bn满足 b12,bnbn12n 1(n2,nN*) (1)求数列an和bn的通项公式; (2)求数列anbn的前 n 项和 Tn,并求 Tn的最小值 解(1)由 S63(a1a6)3(a3a4)3a49, 得 a43,a30, 故数列an的公差 d3,ana3(n3)d3n9, 即数列an的通项公式为 an3n9. 当 n2 时,bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n 12n

    40、22 22n, 而 b12,故 bn2n, 即数列bn的通项公式为 bn2n. (2)Tn62322(3n12)2n 1 (3n9)2n, 2Tn622323(3n12)2n(3n9)2n 1. 上述两式相减得 Tn1232232n(3n9)2n 1 123(2n 14)(3n9)2n1 24(3n12)2n 1, 故 Tn(3n12)2n 124. 设 cn(3n12)2n 1, 显然当 n4 时,cn0,Tn24 且单调递增 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 而 c136,c248,c348, 故 Tn的最小值为 T2T324.

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