(2022高考数学一轮复习(创新设计))补上一课数列的最值及奇偶项讨论问题.DOCX
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1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 ,数列的最值及奇偶项讨论问题) 1数列是一种特殊的函数,数列的最值、范围问题与函数的最值(范围)问题相类 似,一般常借助单调性解决 2在数列中,经常出现某一项符号与项数 n 有关的问题,此类问题常通过讨论 n 的奇偶性求解 题型一项的最值问题 【例 1】设等差数列an前 n 项和为 An, 等比数列bn前 n 项和为 Bn.若 Bn38Bn 7,a1b2,a4b4. (1)求 bn和 An; (2)求数列bnA
2、n的最小项 解(1)法一设等差数列an的公差为 d,设等比数列的公比为 q,由 Bn38Bn 7,可得 b1b2b3(b4bn3)b1b2b3q3Bn8Bn7, 则 q38,b1b2b37,解得 q2,b11. 则 bn2n 1; 由 a1b22,a4b48, 可得 d2,An2n1 22n(n1)n 2n; 法二Bn38Bn7,Bn48Bn17, 两式相减得 bn48bn1,故 q2. (2)设 cnbnAn2n 1n2n, cn1cn2n(n1)2n1(2n 1n2n)2n12(n1), 当 n4 时,cn1cn, 可得数列bnAn的最小项为 c514. 感悟升华(1)确定数列的最值(即项
3、的最值),一般应先求出通项公式; (2)数列的最值常通过数列的单调性求解; 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)有些情况下可通过不等式组(如 an()an1, an()an1 或 an an11(1) an an11(1) )解决 【训练 1】 (1)若数列 n(n4) 2 3 n 中的最大项是第 k 项,则 k_ (2)已知数列an的前 n 项和 Sn 2n 1,n4, n2(a1)n,n5,nN *,则 an_;若 a5是an中的最大值,则 实数
4、 a 的取值范围是_ 答案(1)4(2) 1,n1, 2n 2,2n4, 5a45,n5, 2na,n6, a53 5 解析(1)由题意知 k(k4) 2 3 k (k1) (k3) 2 3 k1 , k(k4) 2 3 k (k1) (k5) 2 3 k1 , 解得 10k1 10.kN*,k4. (2)当 2n4 时,anSnSn12n 2,n1 时,a1S11,不满足上式;当 n6 时,anSnSn12na;当 n5 时,a5S5S45a45,an 1,n1, 2n 2,2n4, 5a45,n5, 2na,n6, 由题意,a5是an中的最大值, 5a458 且 5a4512a,a53 5
5、 . 题型二前 n 项和(或积)的最值 【例 2】(2014浙江卷)已知数列an和bn满足 a1a2a3an( 2)bn(nN*) 若an 为等比数列,且 a12,b36b2. (1)求 an与 bn; 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)设 cn 1 an 1 bn(nN *),记数列cn的前 n 项和为 Sn. 求 Sn; 求正整数 k,使得对任意 nN*均有 SkSn. 解(1)由题意 a1a2a3an( 2)bn,b3b26, 知 a3( 2
6、)b3b28. 又由 a12,得公比 q2(q2,舍去), 所以数列an的通项为 an2n(nN*) 所以,a1a2a3an2 n(n1) 2 ( 2)n(n 1) 故数列bn的通项为 bnn(n1)(nN*) (2)由(1)知 cn 1 an 1 bn 1 2n 1 n 1 n1 (nN*), 所以 Sn 1 n1 1 2n(nN *) 因为 c10,c20,c30,c40; 当 n5 时, cn 1 n(n1) n(n1) 2n 1 , 而n(n1) 2n (n1) (n2) 2n 1 (n1) (n2) 2n 1 0, 得n(n1) 2n 5(51) 25 1, 所以,当 n5 时,cn
7、0. 综上,对任意 nN*恒有 S4Sn,故 k4. 感悟升华(1)此类问题常构造函数,利用单调性解决; (2)和式最值有时也可通过找分界项(与零的关系)求解 【训练 2】 (2020金丽衢十二校二联)设数列an的前 n 项和为 Sn,满足:anSn 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 n1 n2n(nN *) (1)求证:数列 an 1 n(n1) 为等比数列; (2)求 Sn,并求 Sn的最大值 (1)证明因为 anSn n1 n2n, 所以 an1S
8、n1 n2 n2n(n2), 由可得, 当 n2 时,2anan1 n1 n2n n2 n2n, 整理得 2 an 1 n(n1) an1 1 (n1)n. 又 a11 2 1 2, 所以数列 an 1 n(n1) 是首项、公比均为1 2的等比数列 (2)解由(1)得 an 1 n(n1) 1 2n, 所以 an 1 2n 1 n(n1) 1 2n 1 n 1 n1 , 所以 Sn1 1 2n 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 , 所以 Sn 1 n1 1 2n. 因为 an 1 2n 1 n(n1) 1 n(n1) n(n1) 2n 1 , 令函数 f(n)n(n1) 2n 1,
9、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则 f(n1)f(n)(n1) (2n) 2n 1 , 所以 f(1)f(4). 又 f(1)0,f(4)0,f(5)0, 所以当 n5 时,anSn, 当 n4 时,Sn1Sn, 因此 Sn的最大值为 S411 80. 题型三项或积的代数式的最值 【例 3】 (1)已知各项为正的等比数列an中,a4与 a14的等比中项为 2 2,则 2a7 a11的最小值为() A16B8C6D4 (2)设 Sn为等差数列an的前 n
10、 项和, 若 a75, S555, 则 nSn的最小值为() A343B324C320D243 答案(1)B(2)A 解析(1)因为 a29a4a14a7a118,所以 2a7a112a7 8 a72 2a7 8 a78. (2)设等差数列an的公差为 d, a75,S555, a16d5, 5(a12d)55.解得 a119, d4. Sn19nn(n1) 2 42n221n, nSn2n321n2, 设 f(x)2x321x2(x0),则 f(x)6x(x7) 当 0 x7 时,f(x)7 时,f(x)0, 故 nSn的最小值为 f(7)343. 感悟升华(1)利用基本不等式求最值; (2
11、)利用函数、导数研究对应函数的单调性,借助单调性求最值 【训练 3】 (1)(2021浙江五校联考)已知等差数列an的公差 d0,且 a1,a3,a13 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 成等比数列, 若 a11, Sn为数列an的前 n 项和, 则2Sn16 an3 的最小值为_ (2)(2021浙江新高考仿真三)设数列an的前 n 项和为 Sn,对任意 nN*,有 Sn1 2Snn1,a11,则n 2n an1的最大值为( ) A2B1C.5 4 D
12、.3 2 (3)(2021镇海中学模拟)已知数列an满足 a11, a24, 且 2ann1 n an1n1 n an 1(n2,nN),则a n n 的最大值为() A.49 24 B1C2D.5 3 答案(1)4(2)D(3)C 解析(1)设公差为 d,因为 a1,a3,a13成等比数列,所以(12d)2112d,解 得 d2.所以 an2n1,Snn2.所以2Sn16 an3 2n 216 2n2 n 28 n1 .令 tn1,则原 式t 292t t t9 t 2.因为 t2, tN*, 所以当 t3, 即 n2 时, 2Sn16 an3 min 4. (2)由 Sn12Snn1 得当
13、 n2 时,Sn2Sn1n,两式作差得 an12an1,即 an112(an1),又因为 a112,所以数列an1为首项为 2,公比为 2 的 等比数列,则 an12n,an2n1,则n 2n an1 n2n 2n ,设 f(n)n 2n 2n ,则 f(n1) f(n)(n1) 2n1 2n 1 n 2n 2n (1n) (2n) 2n 1 , 则有 f(1)f(2)f(3), 当 n3 时,f(n1)f(n),所以n 2n an1的最大值为 f(2) 222 22 3 2,故选 D. (3)由 2ann1 n an1n1 n an1得 2nan(n1)an1(n1)an1,则数列nan为等
14、 差数列,其首项为 1,公差为 2a2a17,则 nan17(n1)7n6,则an n 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 7n6 n2 .设函数 f(x)7x6 x2 , 则 f(x)127x x3 , 则an n 的最大值为 max a1 1 ,a2 2 a2 2 2, 故选 C. 题型四数列的奇偶项讨论 【例4】(1)若数列an的通项公式an(1)n2n1 n2n, 则它的前n项和S n_ (2)在数列an中,a11,a22,且 an2an1(1)n
15、(nN*),则 an_, S100_ (3)已知公差不为零的等差数列an中,a11,且 a2,a5,a14成等比数列,an 的前n项和为Sn, bn(1)nSn, 则an_, 数列bn的前n项和Tn_ 答案(1)1(1) n n1 或 n2 n1,n 为奇数, n n1,n 为偶数 (2) 1(n 为奇数) n(n 为偶数) 2 600(3)2n1(1)nn(n1) 2 解析(1)an(1)nn(n1) n(n1) (1)n 1 n1 1 n , Sn 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 (1)n 1 n 1 n1 , 当 n 为偶数时,Sn1 1 n1,当 n 为奇数时, Sn1 1
16、n1, 综上所述 Sn1(1) n n1 . (2)当 n 为奇数时,an2an0;当 n 为偶数时,an2an2, an的一个通项公式为 an 1,n2k1(kN) , n,n2k(kN) , 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 S100S奇S偶50150(2100) 2 2 600. (3)设等差数列an的公差为 d(d0),则由 a2,a5,a14成等比数列得 a25a2a14, 即(14d)2(1d)(113d),解得 d2,则 ana1(n1)d
17、2n1,Snna1 n(n1) 2 dn2,当 n 为偶数时,TnS1S2S3S4Sn1Sn1222 3242(n1)2n237(2n1)n(n1) 2 ;当 n 为大于 1 的奇 数时,TnS1S2S3S4Sn1Sn12223242(n2)2(n 1)2n237(2n3)n2n(n1) 2 ,当 n1 时,也符合上式综 上所述,Tn(1)nn(n1) 2 . 感悟升华当所给条件中, 出现符号数列(1)n或出现关于 n 的三角函数时, 常 考虑分奇偶项讨论 【训练 4】 (1)已知数列an的通项公式是 an n2sin 2n1 2 ,则 a1a2a3a2 018() A.2 0172 018
18、2 B.2 0182 019 2 C.2 0172 017 2 D.2 0182 018 2 (2)在数列an中,an1(1)nan2n1,则数列an的前 12 项和为() A76B78C80D82 (3)(2021上海徐汇区一模)若不等式(1)na3(1) n1 n1 对任意的正整数n恒成 立,则实数 a 的取值范围是_ 答案(1)B(2)B(3) 3,8 3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)ann2sin 2n1 2 n2,n 为奇数,
19、n2,n 为偶数, a1a2a3a2 018122232422 01722 0182(2212)(42 32)(2 01822 0172)12342 0182 0182 019 2 . (2)因为 an1(1)nan2n1,所以 a2a11, a3a23,a4a35,a5a47,a6a59,a7a611,a11a1019,a12 a1121,所以 a1a32,a4a28,a12a1040, 所以从第一项开始,依次取两个相邻奇数项的和都等于 2,从第二项开始,依次 取两个相邻偶数项的和构成以 8 为首项, 以 16 为公差的等差数列, 以上式相加可 得,S12a1a2a3a12(a1a3)(a5
20、a7)(a9a11)(a2a4)(a6a8) (a10a12)328244078. (3)n 为偶数时,a 3 1 n1 min ,即 a31 3 8 3; n 为奇数时,a 3 1 n1 min ,即a3, a3, 综上实数 a 的取值范围是 3,8 3 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 一、选择题 1已知数列an的通项公式为 an n n258,则数列a n的最大值为() A第 7 项B第 8 项 C第 7 项或第 8 项D不存在 答案B 解析a
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