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类型(2022高考数学一轮复习(创新设计))补上一课平面向量中极化恒等式、等和(高)线定理及最值(范围)问题.DOCX

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    1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 ,平面向量中极化恒等式、等和(高)线定理及最值(范围)问题) 1极化恒等式:ab1 4(ab) 2(ab)2 (1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”平方差的1 4. (2)平行四边形 PMQN,O 是对角线交点则: PM PN 1 4|PQ| 2|NM|2(平行四边形模式); PM PN |PO|21 4|NM| 2(三角形模式) 2等和(高)线定理 (

    2、1)由三点共线结论推导等和(高)线定理:如图,由三点共线结论可知,若OP OA OB (,R),则1,由OAB 与OAB相似,必存在一个常数 k, kR, 使得OP kOP , 则OP kOP kOA kOB , 又OP xOA yOB (x, yR), xykkk;反之也成立 (2)平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ,OP OA OB (,R),若点 P 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上,则k(定值);反之也成立,我们把直 线 AB 以及与直线 AB 平行的直线成为等和(高)线 当等和线恰为直线 AB 时,k1; 当等和线在 O 点和直线 AB 之间时,k(0,1); 当

    3、直线 AB 在 O 点和等和线之间时,k(1,); 当等和线过 O 点时,k0; 若两等和线关于 O 点对称,则定值 k 互为相反数; 定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比 3平面向量中的最值(范围)问题 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)向量投影、数量积、向量的模、夹角的最值(或范围) (2)向量表达式中字母参数的最值(或范围) 题型一极化恒等式的应用 【例 1】 (1)已知 AB 是圆 O 的直径,AB 长为 2,C 是圆 O 上异于

    4、 A,B 的一点, P 是圆 O 所在平面上任意一点,则(PA PB)PC的最小值为( ) A1 4 B1 3 C1 2 D1 (2)(2020天津卷)如图,在四边形 ABCD 中,B60,AB3,BC6,且AD BC ,AD AB 3 2,则实数的值为_;若 M,N 是线段 BC 上的动点, 且|MN |1,则DM DN 的最小值为_ 答案(1)C(2)1 6 13 2 解析(1)PA PB2PO ,(PA PB)PC2PO PC ,取 OC 中点 D,由极化恒等 式得,PO PC |PD|21 4|OC| 2|PD|21 4,又|PD| 2 min0,(PA PB)PC的最小值 为1 2.

    5、 (2)法一依题意得 ADBC,BAD120,由AD AB |AD |AB |cos BAD 3 2|AD |3 2,得|AD |1,因此|AD | |BC | 1 6.取 MN 的中点 E,连接 DE,则DM DN 2DE ,DM DN 1 4(DM DN )2(DM DN )2DE 21 4NM 2DE21 4.注意到线 段 MN 在线段 BC 上运动时,DE 的最小值等于点 D 到直线 BC 的距离,即 ABsin B3 3 2 ,因此 DE 21 4的最小值为 3 3 2 2 1 4 13 2 ,即DM DN 的最小值为13 2 . 法二因为AD BC , 所以 ADBC,则BAD12

    6、0, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以AD AB |AD |AB |cos 1203 2, 解得|AD |1. 因为AD ,BC 同向,且 BC6, 所以AD 1 6BC ,即1 6. 在四边形 ABCD 中,作 AOBC 于点 O,则 BOABcos 603 2,AOABsin 60 3 3 2 . 以 O 为坐标原点,以 BC 和 AO 所在直线分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系 如图,设 M(a,0),不妨设点 N 在点 M 右侧, 则 N

    7、(a1,0),且3 2a 7 2. 又 D 1,3 3 2,所以DM a1,3 3 2, DN a,3 3 2, 所以DM DN a2a27 4 a1 2 2 13 2 . 所以当 a1 2时,DM DN 取得最小值13 2 . 感悟升华(1)极化恒等式多用于向量的数量积; (2)注意在三角形、平行四边形中的应用 【训练 1】 (1)(2021杭州二中模拟)在ABC 中,M 是 BC 的中点,AM3 ,BC10,则AB AC_ (2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆 O, 点P是圆O上的一个动点, 则PA PB 的取值范围是_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3230313

    8、80 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(1)16(2)2,6 解析(1)因为 M 是 BC 的中点,由极化恒等式得AB AC |AM|21 4|BC| 29 1 410016. (2)取 AB 的中点 D, 连接 CD, 因为三角形 ABC 为正三角形, 所以 O 为三角形 ABC 的重心,O 在 CD 上,且 OC2OD2,所以 CD3,AB2 3. 又由极化恒等式得 PA PBPD21 4AB 2PD23, 因为 P 在圆 O 上,所以当 P 在点 C 处时,PDmax3, 当 P 在 CO 的延长线与圆 O

    9、的交点处时,PDmin1, 所以PA PB2,6 题型二等和线定理的应用 【例 2】 (1)如图,平面内有三个向量OA , OB , OC ,其中OA , OB 120, OA , OC 30, 且|OA |OB |1, |OC |2 3, 若OC mOA nOB , 则 mn_ (2)在扇形 OAB 中,AOB60,C 为AB 上的一个动点,若OC xOA yOB ,则 3xy 的取值范围是_ 答案(1)6(2)1,3 解析(1)法一连接 AB,交 OC 于点 D,则 DOAOAD30,BOD90, |OD |OB |tan 30 3 3 , |OD |DA | 3 3 ,|DB |2 3

    10、3 , 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由平面向量基本定理得OD 2 3OA 1 3OB ,|OC |2 36|OD |, OC 6 2 3OA 1 3OB 4OA 2OB ,mn6. 法二根据等高线定理可得|OC| |OD|kmn,k |OC | |OD | 2 3 3 3 6,mn6. (2)取 D 使得OD 1 3OA ,OC xOA yOB 3xOD yOB ,作一系列与 BD 平行的 直线与圆弧相交,当点 C 与点 B 重合时,3xy 取得最

    11、小值 1,当点 C 与点 A 重 合时,3xy 取得最大值 3,故 3xy 的取值范围是1,3 感悟升华(1)“等和线”的解题步骤 确定值为 1 的等和线; 过动点作该线平行线,结合动点的可行域,分析在何点处取得最值; 利用长度比或该点的位置,求得最值或范围 (2)“等和线”多用于向量线性表示式中有关系数的最值、范围问题 (3)此类问题也可建系,用坐标法解决 【训练 2】 如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,点 D 在 OA 的延长线上, 且 AD1,点 P 是BCD(含边界)的动点,设OP OC OD ,则的最大值 为_ 答案 3 2 解析当点 P 位于 B 点时,过点 B 作

    12、GHDC,交 OC,OD 的延长线于 G,H, 则OP xOG yOH ,且 xy1, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 GCBCOD,GC CO CB OD 1 2, OP OB xOG yOH 3 2xOC 3 2yOD OC OD , 所以3 2x, 3 2y 3 2x 3 2y 3 2.故答案为 3 2. 题型三平面向量中的最值(范围)问题 角度 1函数型 【例 31】(1)(一题多解)(2020浙江卷)已知平面单位向量 e1, e2满足|2e1

    13、e2| 2. 设 ae1e2,b3e1e2,向量 a,b 的夹角为,则 cos2的最小值是_ (2)(2021宁波十校联考)设向量 a(x1,y1),b(x2,y2),记 a*bx1x2y1y2,若 圆 C: x2y22x4y0 上的任意三个点 A1, A2, A3, 且 A1A2A2A3, 则|OA1 *OA2 OA2 *OA3 |(O 为坐标原点)的最大值是_ 答案(1)28 29 (2)16 解析(1)法一设 e1(1,0),e2(x,y), 则 a(x1,y),b(x3,y) 由 2e1e2(2x,y), 故|2e1e2| (2x)2y2 2,得(x2)2y22. 又有 x2y21,得

    14、(x2)21x22, 化简,得 4x3,即 x3 4,因此 3 4x1. cos2 ab |a|b| 2 (x1) (x3)y2 (x1)2y2(x3)2y2 2 4x4 2x2 6x10 2 4(x1)2 (x1) (3x5) 4(x1) 3x5 4 3(3x5) 8 3 3x5 4 3 8 3 3x5 , 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 x3 4时,cos 2有最小值,为4 3 41 33 45 28 29. 法二单位向量 e1,e2满足|2e

    15、1e2| 2, 所以|2e1e2|254e1e22,即 e1e23 4. 因为 ae1e2,b3e1e2,a,b 的夹角为, 所以 cos2(ab) 2 |a|2|b|2 (e1e2)(3e1e2) 2 |e1e2|2|3e1e2|2 (44e1e2)2 (22ee2) (106e1e2) 44e1e2 53e1e2. 不妨设 te1e2,则 t3 4,cos 244t 53t,又 y 44t 53t在 3 4,上单调递增 所以 cos2 43 59 4 28 29. 所以 cos2的最小值为28 29. 法三由题意,不妨设 e1(1,0),e2(cos x,sin x) 因为|2e1e2|

    16、2, 所以 (2cos x)2sin2x 2, 得 54cos x2, 即 cos x3 4. 易知 a(1cos x,sin x),b(3cos x,sin x),所以 ab(1cos x)(3cos x) sin2x44cos x, |a|2(1cos x)2sin2x22cos x,|b|2(3cos x)2sin2x106cos x, 所以 cos2(ab) 2 |a|2|b|2 (44cos x)2 (22cos x) (106cos x) 44cos x 53cos x. 不妨设 mcos x,则 m3 4,cos 244m 53m,又 y 44m 53m在 3 4,上单调递增,

    17、所以 cos2 43 59 4 28 29,所以 cos 2的最小值为28 29. (2)由 O,A1,A2,A3四点共圆,且 A1A2A2A3,可知 A1A3为圆 C 的直径,故OA1 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 OA3 2OC .由圆 C 的标准方程设OA2 (1 5cos ,2 5sin ),又点 C(1, 2),则|OA1 *OA2 OA2 *OA3 |(OA1 OA3 )*OA2 |2|OC *OA2 |2|(1 5cos ) 2(2 5

    18、sin )|2|5sin()3|16,其中 tan 1 2,当且仅当2k 2, kZ 时等号成立,所以所求最大值为 16. 感悟升华此类问题可归结为函数、三角函数求最值、值域问题 【训练 31】 (1)如图, 在扇形 OAB 中,OA2,AOB90,M 是 OA 的中点,点 P 在AB 上,则PM PB 的最小值为_ (2)(2017浙江卷)已知向量 a,b 满足|a|1,|b|2,则|ab|ab|的最小值是 _,最大值是_ 答案(1)42 5(2)42 5 解析 (1)如图,以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴的正半轴,OB 为 y 轴的正半轴建立平面直 角坐标系,则 M(1,0),B(0,

    19、2),设 P(2cos ,2sin ), 0, 2 ,所以PM PB (12cos ,2sin )(2cos ,22sin )42cos 4sin 42(cos 2sin )42 5sin() 其中 sin 5 5 ,cos 2 5 5,所以PM PB 的最小值为 4 2 5. (2)由题意,不妨设 b(2,0),a(cos ,sin )(0,2), 则 ab(2cos ,sin ),ab(cos 2,sin ) 令 y|ab|ab| 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待

    20、你的加入与分享 (2cos )2sin2 (cos 2)2sin2 54cos 54cos , 则 y2102 2516cos216,20 由此可得(|ab|ab|)max 202 5, (|ab|ab|)min 164, 即|ab|ab|的最小值是 4,最大值是 2 5. 角度 2解不等式型 【例 32】 (1)(2021金丽衢十二校二联)设 tR,已知平面向量 a,b 满足|a| 2|b|2,且 ab1,向量 cxa(tx)b,若存在两个不同的实数 x0,t,使 得 c22ac30,则实数 t() A有最大值为 2,最小值为3 2 B无最大值,最小值为3 2 C有最大值为 2,无最小值 D

    21、无最大值,最小值为 0 (2)已知不共线向量OA ,OB 夹角为,|OA |1,|OB |2,OP (1t)OA ,OQ tOB (0t1),|PQ |在 tt0处取最小值,当 0t00, 06 6 t, 即 t22t30, 4t28t30, 0t1, 解得 t 3 2,2,则实数 t 的最小值为3 2,无最大值,故选 B. (2)由题意,不共线向量OA ,OB 夹角为,|OA |1,|OB |2,OP (1t)OA ,OQ tOB (0t1), 得PQ OQ OP tOB (1t)OA , 所以|PQ |2tOB (1t)OA 2 (54cos )t22(12cos )t1,由二次函数的图象

    22、和性质知,当 tt0 12cos 54cos 时,|PQ |取最小值,即 012cos 54cos 1 5,解得 1 2cos 0,b0); (2)三角不等式:|a|b|ab|a|b|; (3)数量积不等式:|ab|a|b|. 【训练 33】 (1)(2021浙江新高考仿真三)设平面向量 a,b 满足 1|a|2, 2|b|3,则|ab|ab|的取值范围是_ (2)(一题多解)(2021浙江五校联考)已知 a|3,|b|c|4,若 ca,则|abc| 的最大值为_ 答案(1)6,2 13(2)9 解析(1)|ab|2|ab|22(|a|2|b|2),由基本不等式,得|ab|2|a b|2(|a

    23、b|ab|) 2 2 .又|a|1,2,|b|2,3,由得(|ab|a b|)24(|a|2|b|2)52,即|ab|ab|2 13.又由三角不等式有|ab|a b|(ab)(ab)|,即|ab|ab|2|a|,|ab|ab|2|b|,故|ab|a b|6,综上,有 6|ab|ab|2 13. (2)法一|abc| a2b2c22ab2bc 412b(ca).ca,|c a|5,则 b(ca)|b|ca|20,所以|abc| 41409. 法二由|a|3,|b|c|4 知,a 在以 O 为圆心,3 为半径的圆上运动,b,c 均 在以 O 为圆心,4 为半径的圆上运动,如图,又 ac,则|abc

    24、|(ac)b| |CA OB |CA |OB |549. 角度 4轨迹型 【例 34】 (2021名校仿真训练四)直线 axbyc0 与圆 O:x2y24 相交于 两点 M, N.若 c2a2b2, P 为圆 O 上任意一点, 则PM PN 的取值范围是_ 答案2,6 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析如图, 取 MN 的中点 A,连接 OA,则 OAMN,c2a2b2,O 点到直线 MN 的距 离 OA |c| a2b21,圆 O 的半径 r2,R

    25、tAON 中,设AON,得 cos OA ON 1 2,得 3,cos MONcos 2cos 2 3 1 2,由此可得OM ON |OM |ON |cos MON22 1 2 2,则PM PN (OM OP )(ON OP ) OM ON OP 2OP (OM ON )242OP OA 22|OP |OA |cos AOP2 4cos AOP,当OP ,OA 同向时,取得最小值 242,当OP ,OA 反向时, 取得最大值 246,则PM PN 的取值范围是2,6 感悟升华利用向量及其运算的几何意义,结合轨迹图形求解,并注意分析临界 状态 【训练 34】 (2021湖州期末质检)正方形 AB

    26、CD 的边长为 2,E,M 分别为 BC, AB 的中点,点 P 是以 C 为圆心,CE 为半径的圆上的动点,点 N 在正方形 ABCD 的边上运动,则PM PN 的最小值是_ 答案1 5 解析由题 意得PM PN (PC CM )(PC CN )1PC CM (PC CM )CN 1PC CM PM CN .由图易得向量PM ,CN 的夹角恒为锐角,则PM CN 0,则当点 N 与点 C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 重合,点 P 为 CM 与圆

    27、C 的交点时,PC CM 取得最小值 5,PM CN 取得最小 值 0,此时PM PN 取得最小值 1 5. 角度 5投影与函数分析型 【例 35】 (1) 如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为 1,正六边形的顶点称为“晶 格点”若 A,B,C,D 四点均位于图中的“晶格点”处,且 A,B 的位置如图 所示,则AB CD 的最大值为_ (2)(2019浙江卷)已知正方形 ABCD 的边长为 1,当每个i(i1,2,3,4,5,6) 取遍1 时,|1AB 2BC3CD 4DA 5AC 6BD |的最小值是_,最大 值是_ 答案(1)24(2)02 5 解析(1)先建立平面直角坐标系如图,

    28、 因为正六边形的边长 均为 1,所以 B(0,0),A 3 2 ,9 2 ,当CD 在AB 方向上的投影 最大时,AB CD 最大,此时取 C(0,5),D( 3,0),即 (AB CD )max 3 2 ,9 2 ( 3,5)3 2 45 2 24. (2)如图,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐 标系,则AB (1,0),AD (0,1) 设 a1AB 2BC3CD 4DA 5AC 6BD 1AB 2AD 3AB 4AD 5(AB AD )6(AD AB ) (1356)AB (2456)AD 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3

    29、23031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1356,2456) 故|a| (1356)2(2456)2. i(i1,2,3,4,5,6)取遍1, 当13560, 24560(134561, 21)时, |1AB 2BC 3CD 4DA 5AC 6BD |取得最小值 0. 考虑到56,56有相关性,要确保所求模最大,只需使|1356|,|2 456|尽可能取到最大值,即当13562,24564(1 2561,341)时可取到最大值, |1AB 2BC3CD 4DA 5AC 6BD |的最大值为 4162 5.

    30、感悟升华(1)关于数量积问题常用投影分析法; (2)当向量线性表达式系数较多且给出其取值范围时,常用系数分析法 【训练 35】 (1)已知正三角形 ABC 的边长为 4,O 是平面 ABC 内的动点,且 AOB 3,则OC AB 的最大值为_ (2)(2021浙江名师预测一)已知等边ABC 的边长为 1,当每个i(i1,2,3)在 1, 0, 1中取值时, 则|1AB 2BC3CA|的最小值是_, 最大值是_ 答案(1)16 3 3 (2)02 解析(1)如图,圆 E2为ABC 的外接圆,圆 E1与圆 E2关 于直线 AB 对称, 由题意知 O 在圆 E1, E2的优弧AB 上(圆 E 1,

    31、E2半径相等), 设 AB 的中点为 D, OC AB (DC DO )AB BA DO |BA |DO |cosADO,易知DO 在BA 方向上的射影最大时,OC AB 取得最 大值,易知DO 在BA 方向上射影的最大值为ABO 外接圆的半径,故所求最大值 为 4 4 2sin 3 16 3 3 . (2)当i(i1,2,3)中三个均为 0 时,|1AB 2BC 3CA |0;当i(i1,2,3) 中恰有 2 个为 0 时,|1AB 2BC3CA|1;当i(i1,2,3)中恰有 1 个为 0 时, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料

    32、分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1|1AB 2BC3CA| 3;当i(i1,2,3)中均不为 0 时,0|1AB2BC 3CA |2,综上所述,|1AB2BC3CA|的最小值是 0,最大值是 2. 一、选择题 1若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y 2 3 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一 点,则OP FP 的最大值为( ) A2B3C6D8 答案C 解析如图,由已知|OF|1,取 FO 中点 E,连接 PE,由 极化恒等式得 OP FP |PE|21 4|OF| 2|PE|21 4, |PE|2max25 4 ,OP FP

    33、 的最大值为 6. 2.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,BAD60,M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内 任意一点(含边界),则AM AN 的最大值为( ) A3B2 3C6D9 答案D 解析由平面向量数量积的几何意义知,AM AN 等于|AM |与AN 在AM 方向上的投 影之积, 所以(AM AN )maxAM AC 1 2AB AD (AB AD )1 2AB 2AD23 2AB AD 9. 3(一题多解)(2020新高考山东卷)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的 一点,则AP AB的取值范围是( ) A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6) 答案A 本

    34、资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析法一如图, 取 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0), C(3, 3), F(1, 3)设 P(x,y),则AP (x,y), AB (2,0),且1x3. 所以AP AB(x,y)(2,0)2x(2,6) 故选 A. 法二AP AB|AP|AB|cos PAB2|AP|cos PAB,又|AP|cos PAB 表示AP在 AB 方向上的投影,所以结合图形可知,当

    35、P 与 C 重合时投影最大当 P 与 F 重 合时投影最小又AC AB2 32cos 306,AFAB22cos 1202, 故当点 P 在正六边形 ABCDEF 内部运动时,AP AB(2,6)故选 A. 4(2021镇海中学检测)已知向量 m,n 满足(mn)(m2n)0,(mn)(m2n) 10,则|n|的最小值为() A.1 4 B.1 2 C. 2 2 D1 答案C 解析因为(mn)(m2n)0,所以 m2mn2n20.因为(mn)(m2n)1 0,所以 m2mn2n210,所以 mn1 2,且 m 22n21 20.因为(mn) 2 1 4|m| 2|n|2 2|n|21 2 |n

    36、|2,解得|n|21 2,所以|n| 2 2 ,即|n|的最小值为 2 2 ,故 选 C. 5.如图,BCD 与ABC 的面积之比为 2,点 P 是区域 ABDC 内的任一点(含边界)且AP ABAC,则的取值范围是 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 () A0,1B0,2 C0,3D0,4 答案C 解析过点 P 作 GHBC,交 AC、AB 的延长线于 G,H, 则AP xAG yAH ,且 xy1,当点 P 位于 D 点时,G,H 分别位于 C,B,

    37、 BCD 与ABC 的面积之比为 2,AC3AC,AB3AB, OP xAG yAH xAC yAB x3AC y3ABABAC ,所以3y, 3x3x3y3. 当点 P 位于 A 点时,显然有0,选 C. 6 (一题多解)已知点 C 为扇形 AOB 的弧 AB 上任意一点, 且AOB120, 若OC OA OB (,R),则的取值范围是() A2,2B(1, 2C1, 2D1,2 答案D 解析法一(常规方法) 设半径为 1,由已知可设 OB 为 x 轴的正半轴,O 为坐标原点,建立直角坐标系, 其中 A 1 2, 3 2 ;B(1,0);C(cos ,sin )(其中BOC 02 3 ,有O

    38、C OA OB (,R),即(cos ,sin ) 1 2, 3 2 (1,0),整理得1 2 cos ; 3 2 sin ,解得2sin 3 ,cos sin 3 ,则2sin 3 cos sin 3 3sin cos 2sin 6 , 0,2 3 ,易得1,2 法二(等和线定理) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 设k, 当 C 位于 A 或 B 时,A、B、C 三点共线, 所以 k1, 当点运动到AB 的中点 C 时,k2,1,2 7设为两个非零向

    39、量 a,b 的夹角,已知对任意实数 t,|bta|的最小值为 1,则 () A若确定,则|a|唯一确定 B若确定,则|b|唯一确定 C若|a|确定,则唯一确定 D若|b|确定,则唯一确定 答案B 解析|bta|2b22abtt2a2 |a|2t22|a|b|cos t|b|2. 因为|bta|min1, 所以4|a| 2|b|24|a|2|b|2cos2 4|a|2 |b|2(1cos2)1. 所以|b|2sin21,所以|b|sin 1,即|b| 1 sin . 即确定,|b|唯一确定 8(2021龙湾中学检测)已知平面向量 a,b,c 满足|a|b|ab2,(ac)(b 2c)1,则|bc

    40、|的最小值为() A. 7 5 2 B. 7 3 2 C. 5 3 2 D. 31 2 答案A 解析由|a|b|ab2 得a,b 3,则不妨设 aOA (1, 3),bOB (2, 0),cOC (x,y),则 ac(1x, 3y),b2c(22x,2y)由(ac)(b 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2c)1 得(x1)2 y 3 2 2 5 4,则点 C(x,y)的轨迹是以 1, 3 2 为圆心, 5 2 为 半径的圆,则|bc|CB |的最小值为

    41、 (21)2 0 3 2 2 5 2 7 5 2 ,故 选 A. 9(2021武汉质检)已知等边ABC 内接于圆:x2y21,且 P 是圆上一点, 则PA (PBPC)的最大值是( ) A. 2B1C. 3D2 答案D 解析设 BC 的 中点为 E,连接 AE,向量PO ,OE 的夹角为.因为等边ABC 内接于圆:x2y2 1,所以点 O 在 AE 上,且 OA2OE1,所以PA (PBPC)PA2PE2(PO OA )(PO OE )2PO 2PO (OA OE )OA OE 2PO 2PO (OE )2OE 2 2 111 2cos 2 1 2 2 1cos ,所以当 cos 1,PO ,

    42、 OE , OP , OE 0,即点 P 为 AE 的延长线与圆的交点时,PA(PB PC)取最大值 2, 故选 D. 10(2021名校冲刺卷三)已知|a|b|c|2,且 ab2,(ac)(bc)0,则|a bc|() A有最小值 2 32,最大值 2 32 B有最小值 2 32,最大值 2 7 C有最小值 2 7,最大值 2 32 D有最小值 2 32,最大值 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案C 解析如图 所示,令 aOA ,bOB ,cO

    43、C ,由 ab2,|a|b|c|2 可得AOB 3.又(a c)(bc)0,所以点 C 在以 AB 为直径的圆内,|abc|OD OC |,所以|a bc|的最大值是OC ,OD 同向为 2 32,最小值是点 C 与点 A 或点 B 重合为 2 7,故选 C. 11已知 m,n 是两个非零向量,且|m|1,|m2n|3,则|mn|n|的最大值 为() A. 5B. 10C4D5 答案B 解析因为(m2n)24n24mn19,所以 n2mn2,所以(mn)2m2 2mnn25n2, 所以|mn|n| 5|n|2|n|.令|n|x(0 x 5), f(x) 5x2 x,则 f(x) 2x 2 5x

    44、21.由 f(x)0,得 x 10 2 ,所以当 0 x0 时, 当 10 2 x 5时,f(x)0,所以函数 f(x)在 0, 10 2上单调递增,在 10 2 , 5 上单 调递减,所以 f(x)maxf 10 2 10,故选 B. 12(2021北京海淀区检测)已知点 M 在圆 C1:(x1)2(y1)21 上,点 N 在圆 C2:(x1)2(y1)21 上,则下列说法错误的是() A.OM ON 的取值范围为32 2,0 B|OM ON |的取值范围为0,2 2 C|OM ON |的取值范围为2 22,2 22 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你

    45、的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 D若OM ON ,则实数的取值范围为32 2,32 2 答案B 解析 M 在圆 C1上,点 N 在圆 C2上, MON90,OM ON 0, 又|OM | 21,|ON | 21, 当|OM | 21,|ON | 21 时, OM ON 取得最小值, ( 21)2cos 32 2,故 A 正确; 设 M(1cos ,1sin ),N(1cos ,1sin ), 则OM ON (cos cos ,sin sin ), |OM ON |22cos cos 2sin sin 2 2cos ()2,0

    46、|OM ON |2,故 B 错误; 两圆外离,半径为 1,|C1C2|2 2, 2 22|MN|2 22, 即 2 22|OM ON |2 22,故 C 正确; 21|OM | 21, 21|ON | 21, 当OM ON 时, 21 21 21 21, 解得32 232 2,故 D 正确 13 已知向量OA , OB 满足|OA |OB |2, OA OB 2, 若OC OA OB (, R), 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 且1,则|OC |的最

    47、小值为() A1B. 5 2 C. 2D. 3 答案D 解析|OC |2(OA OB )2OA (1)OB 2 424(1)22(1)OA OB , 因为OA OB 2, 所以|OC |2424(1)22(1)242444 1 2 2 3, 当1 2时,|OC |取得最小值 3. 二、填空题 14在ABC 中,AB6,AC5,A120,动点 P 在以 C 为圆心,2 为半径的 圆上,则PA PB的最小值为_ 答案16 解析设 AB 的中点为 M,则PA PB 1 2(PA PB) 2 1 2(PA PB) 2 PM 2 MA 2PM29, 所以要求PA PB的最小值,只需求|PM |的最小值,

    48、显然当点 P 为线段 MC 与圆的 交点时,|PM |取得最小值,最小值为|MC|2.在AMC 中,由余弦定理得|MC|2 3252235cos 12049,所以|MC|7,所以|PM |的最小值为 5,则PA PB 的最小值为 16. 15(2021宁波适考)在 RtABC 中,CACB2,M,N 是斜边 AB 上的两个动 点,且 MN 2,则CM CN 的取值范围是_ 答案 3 2,2 解析取 MN 的中点为 P,由极化恒等式得CM CN 1 4(2CP )2MN 2CP21 2. 问题转化为求|CP |的取值范围, 当 P 为 AB 的中点时, |CP|取最小值为 2, 则CM CN 的

    49、最小值为3 2;当 M 与 A(或 N 与 B)重合时,|CP |取最大值为10 2 ,则CM CN 的最 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 大值为 2,所以CM CN 的取值范围是 3 2,2. 16(2021浙江新高考仿真二)若非零向量 a 和 b 满足|ab|b|2,则|a|的取值 范围是_,|ab|的取值范围是_ 答案(0,42,6 解析因为|ab|b|a|abb|ab|b|4,又 a 是非零向量,所以|a| 的取值范围是(0,4,因为|ab|a

    50、b|2|b|(ab)(ab)|ab|ab|, 所以4|ab|ab|4,|ab|ab|4,又|ab|2,解得|ab|的取值范 围是2,6 17(2021稽阳联考)在 RtABC 中,B90,BC2,AB1,D 为 BC 的中 点,E 在斜边 AC 上,若AE 2EC,则DE AC _ 答案 1 3 解析 如图,以 B 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,建立平面直 角坐标系,则 B(0,0),A(1,0),C(0,2),所以AC (1,2) 因为 D 为 BC 的中点,所以 D(0,1), 因为AE 2EC,所以 E 1 3, 4 3 , 所以DE 1 3, 1 3

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