（2022高考数学一轮复习(步步高)）顶层设计 前瞻 概率与统计热点问题.doc

1、概率与统计热点问题概率与统计热点问题 三年真题考情 核心热点真题印证核心素养 统计图表2019，17；2018，3数学抽象、 数据分析 二项分布2018，20；2017，19数学运算、 数据分析 分布列、数学期望 2019，21；2017，18； 2016，19 数学运算、 数据分析 正态分布2017，19数据分析 条件概率、独立事件、 互斥事件 2019，18；2016，18数据分析 回归分析2018，18；2016，18直观想象、 数据分析 独立性检验2018，18；2017，18数据分析 热点聚焦突破 教材链接高考频率分布直方图 教材探究(必修 3P72 频率分布直方图)在调查了 100

2、 位居民的月均用水量的问题 中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数的估计值是 2.25 t(最高的矩形的中点)(如图 1)，它告诉我们，该市的月均用水量为 2.25 t 的居 民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们多多少 图 1 图 2 那么，如何从频率分布直方图中估计中位数呢？在样本中，有 50%的个体小于或 等于中位数，也有 50%的个体大于或等于中位数因此，在频率分布直方图中， 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值图中的 虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，其左边的直方图的面积代表着 50 个单位，右边的直方图也是 50

3、 个单位虚线处的数据值为 2.02(如图 2)同样地， 可以从频率分布直方图中估计平均数平均数的估计值等于频率分布直方图中每 个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和由图估计可知，居民月用水 量的平均数的估计值是 2.02 t. 试题评析统计的基本思想是由样本估计总体，根据频率分布直方图能推出样 本的数字特征，进而估计总体的数字特征，从而作出统计推断 【教材拓展】 德化瓷器是泉州的一张名片，已知瓷器产品 T 的质量采用综合指 标值 M 进行衡量，M8，10为一等品；M4，8)为二等品；M0，4)为三等 品某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选 一个试用，烧制了一

4、批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图 (1)估计该新型窑炉烧制的产品 T 为二等品的概率； (2)根据陶瓷厂的记录， 产品各等次的销售率(某等次产品销量与其对应产量的比值) 及单件售价情况如下： 一等品二等品三等品 销售率 8 9 2 3 2 5 单件售价20 元16 元12 元 根据以往的销售方案，未售出的产品统一按原售价的 50%全部处理完已知该瓷 器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件： 综合指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不小于 6； 单件平均利润不低于 4 元 若该新型窑炉烧制产品 T 的成本为 10 元/件，月产量为 2

5、000 件，在销售方案不 变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件 解(1)记 A 为事件“该新型窑炉烧制的产品 T 为二等品” 由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品 T 为二等品的频率为(0.110.16)2 0.54， 故该新型窑炉烧制的产品 T 为二等品的概率估计值为 0.54. (2)先分析该窑炉烧制出的产品 T 的综合指标值的平均数： 由频率分布直方图可知，综合指标值的平均数 x (10.0130.0450.1170.1690.18)26.84. 该窑炉烧制出的产品 T 的综合指标值的平均数的估计值 6.846， 故满足认购条件. 再分析该窑炉烧制的单件平均

6、利润值： 由频率分布直方图可知，该新型窑炉烧制的产品 T 为一、二、三等品的概率估计 值分别为 0.36，0.54，0.1. 故 2 000 件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为 720，1 080，200. 一等品的销售总利润为 7208 9(2010)6 400 元； 二等品的销售总利润为 1 0802 3(1610)1 080 1 3(101650%)3 600 元； 三等品的销售总利润为 2002 5(1210)200 3 5(101250%)320 元 故 2 000 件产品的单件平均利润值的估计值为(6 4003 600320)2 0004.84 元， 满足认购条件， 综上所

7、述，该新型窑炉达到认购条件 【链接高考】 (2019全国卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进 行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给 服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔 浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分 比根据试验数据分别得到如下直方图： 记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P(C) 的估计值为 0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值； (2)分别估计甲、 乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组

8、区间的中点值 为代表) 解(1)由已知得 0.70a0.200.15， 故 a0.35， b10.050.150.700.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00. 教你如何审题回归分析问题 【例题】 如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折 线图 注：年份代码 17 分别对应年份 20082014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系

9、数加以说明； (2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2020 年我国生活垃圾无害化 处理量 附注： 参考数据： 7 i1yi9.32， 7 i1tiyi40.17， 7 i1 （yiy ）20.55， 72.646. 参考公式：相关系数 r n i1 （tit ）（yiy ） n i1 （tit ）2 n i1 （yiy ）2 ， 回归方程y a b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b n i1 （tit ）（yiy ） n i1 （tit ）2 ，a y b t . 审题路线 自主解答 解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t 4， 7 i1 (

10、tit )228， 7 i1 （yiy ）20.55. 7 i1 (tit )(yiy ) 7 i1tiyit 7 i1yi40.1749.322.89， r 2.89 22.6460.550.99. 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99， 说明 y 与 t 的线性相关程度相当高， 从而可以 用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 (2)由y 9.32 7 1.331 及(1)得b 7 i1 （tit ）（yiy ） 7 i1 （tit ）2 2.89 28 0.10， a y b t 1.3310.1040.93. 所以 y 关于 t 的回归方程为y 0.930.10t. 将 202

11、0 年对应的 t13 代入回归方程得y 0.930.10132.23. 所以预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 2.23 亿吨 探究提高在两个变量的回归分析中要注意以下两点： (1)求回归直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算 (2)借助散点图，观察两个变量之间的关系若不是线性关系，则需要根据相关知 识转化为线性关系 【尝试训练】 (2020武汉模拟)某市房管局为了了解该市市民 2019 年 1 月至 2020 年 1 月期间购买二手房的情况，首先随机抽取其中 200 名购房者，并对其购房面 积 m(单位：平方米，60m130)进行了一次调查统计，制成了如图 a 所示的

12、频 率分布直方图，接着调查了该市 2019 年 1 月至 2020 年 1 月期间当月在售二手房 均价 y(单位：万元/平方米)，制成了如图 b 所示的散点图(图中月份代码 113 分 别对应 2019 年 1 月至 2020 年 1 月) 图 a 图 b (1)试估计该市市民的平均购房面积m ； (2)从该市 2019 年 1 月至 2020 年 1 月期间所有购买二手房的市民中任取 3 人，用 频率估计概率，记这 3 人购房面积不低于 100 平方米的人数为 X，求 X 的分布列 与数学期望； (3)根据散点图选择y a b x和y cd ln x 两个模型进行拟合， 经过数据处理得 到两

13、个回归方程，分别为y 0.936 90.028 5 x和y 0.955 40.030 6ln x，并得 到一些统计量的值，如下表所示： y 0.936 90.028 5 x y 0.955 40.030 6ln x 13 i1 (yiy i)20.000 5910.000 164 13 i1 (yiy )20.006 050 请利用相关指数 R2判断哪个模型的拟合效果更好， 并用拟合效果更好的模型预测 2020 年 6 月份的在售二手房均价(精确到 0.001) 参考数据： ln 20.69， ln 31.10， ln 172.83， ln 192.94， 21.41， 31.73， 174.

14、12， 194.36. 参考公式：R21 n i1 （yiy i）2 n i1 （yiy ）2 解(1)m 650.05750.1850.2950.251050.21150.15 1250.0596. (2)每一位市民购房面积不低于 100 平方米的概率为 0.200.150.050.4， XB(3，0.4)，P(Xk)Ck30.4k0.63 k(k0，1，2，3)， X 的分布列为 X0123 P0.2160.4320.2880.064 E(X)30.41.2. (3)设模型y 0.936 90.028 5 x和y 0.955 40.030 6ln x 的相关指数分别为 R2 1， R22，

15、 则 R2110.000 591 0.006 05 ，R2210.000 164 0.006 05 ， R21R22， 模型y 0.955 40.030 6ln x 的拟合效果更好 2020 年 6 月份对应的 x18， y 0.955 40.030 6ln 180.955 40.030 6(ln 22ln 3)1.044(万元/平方 米) 满分答题示范分布列、期望、方差 【例题】 (12 分)(2020广州抽测)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在 2020 年 元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动为设计一套趣味性 抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该

16、中学某班 数学兴趣小组提供的方案获得了征用方案如下：将一个 444 的正方体各面 均涂上红色，再把它分割成 64 个相同的小正方体经过搅拌后，从中任取两个小 正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖一次中奖的礼品价值为. (1)求 P(3) (2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖记抽取的两个小正方 体着色面数之和为 6，设为一等奖，获得价值 50 元的礼品；记抽取的两个小正方 体着色面数之和为 5，设为二等奖，获得价值 30 元的礼品；记抽取的两个小正方 体着色面数之和为 4，设为三等奖，获得价值 10 元的礼品，其他情况不获奖求 某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望

17、规范解答 解(1)64 个小正方体中，三面着色的有 8 个，两面着色的有 24 个，一面着色的 有 24 个，另外 8 个没有着色， P(3)C 1 8C18C124C124 C264 640 2 016 20 63. 4(得分点 1) (2)的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6，的取值为 50，30，10， 0，5(得分点 2) P(50)P(6) C28 C264 28 2 016 1 72，(6)(得分点 3) P(30)P(5)C 1 8C124 C264 192 2 016 2 21，7(得分点 4) P(10)P(4)C 2 24C18C124 C264 468 2 016

18、 13 56，8(得分点 5) P(0)1 1 72 2 21 13 56 83 126.9(得分点 6) 所以随机变量的分布列为 5030100 P 1 72 2 21 13 56 83 126 10(得分点 7) E()50 1 7230 2 2110 13 560 83 126 370 63 .12(得分点 8) 高考状元满分心得 得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”： 如第(2)问中，指出随机变量所有的可能取值，有则得 1 分，无则没有分；随机 变量的各个值对应的概率也是每个 1 分，每个步骤都有分，都是得分点 得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分，如(得分点 1)，(得

19、分点 7)，若这两个关键结果有误，则不得分 得计算分：解题过程中计算要正确，是得满分的保证，如(得分点 1，3，4，5， 6，8) 【规范训练】 (2019天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的 概率均为2 3.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相 互独立 (1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分 布列和数学期望； (2)设 M 为事件“上学期间的三天中， 甲同学在 7： 30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率 解(1)因为甲同学上学期间的三天中到

20、校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校 的概率为2 3， 故 XB 3，2 3 ，从而 P(Xk)Ck3 2 3 k1 3 3k ， k0，1，2，3. 所以，随机变量 X 的分布列为 X0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量 X 的数学期望 E(X)32 32. (2)设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 Y，则 YB 3，2 3 ，且 M X3，Y1X2，Y0 由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥，且事件X3与Y1，事件 X2与Y0均相互独立， 从而由(1)知 P(M)P(X3，Y1X2，Y0) P(X3，Y1)P(X2，Y0) P(X3)P(Y1

21、)P(X2)P(Y0) 8 27 2 9 4 9 1 27 20 243. 热点跟踪训练 1(2020济南模拟)某公司积极响应习总书记关于共建学习型社会的号召，开展 “学知识，促生产，增效益”的主题学习活动为进一步提高管理效率，公司决 定所有中层干部集中进行“回炉”再学习管理业务专项培训已知公司中层 干部共有 13 名(其中女性 5 名)，初、中级职称的人数比例如等高条形图所示 参培人数 x (1)若公司随机安排 2 名性别不同的中层干部作为培训班的牵头人，求这两人职称 也不同的概率； (2)由统计数据的散点图可以看出，参加某项管理业务培训所需总费用 y(万元)与 参培人数 x 之间存在线性相

22、关关系，试根据回归方程估计该公司所有中层干部都 参加此项业务培训所需要的总费用 参考公式：回归方程y b xa 中，b n i1 （xix ）（yiy ） n i1 （xix ）2 . 解(1)由题设及等高条形图，在公司中层干部 13 人中女性有 5 人，其中初级职 称有 560%3(人)，中级职称有 540%2(人) 男性有 1358(人)，其中初、中级职称均为 850%4(人) 故所求概率为 p3424 58 1 2. (2)由散点图知，x 1234567 7 4， y 2.93.33.64.44.85.25.9 7 30.1 7 4.3. 7 i1 (xix )2941014928， 7

23、 i1 (xix )(yiy )3(1.4)2(1)1(0.7)00.110.520.9 31.614. 所以b n i1 （xix ）（yiy ） n i1 （xix ）2 14 280.5， 于是a y b x 4.30.542.3. 故回归直线方程为y 0.5x2.3. 令 x13，得y 0.5132.38.8(万元) 故估计该公司所有中层干部都参加此项业务培训所需要的总费用约为 8.8 万元 2 (2020河南八市联考)某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价， 随 机选取了 50 名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分 (1)设消费者的年龄为 x，对该款智能家电的

24、评分为 y.若根据统计数据，用最小二 乘法得到 y 关于 x 的线性回归方程为y 1.2x40，且年龄 x 的方差为 s2 x14.4， 评分 y 的方差为 s2y22.5.求 y 与 x 的相关系数 r， 并据此判断对该款智能家电的评 分与年龄相关性的强弱； (2)按照一定的标准，将 50 名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分 划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有 99%的把握认为 对该智能家电的评价与年龄有关 好评差评 青年816 中老年206 附：线性回归直线y b xa 的斜率b n i1 （xix ）（yiy ） n i1 （xix ）2 ；相关系数 r

25、 n i1 （xix ）（yiy ） n i1 （xix ）2 n i1 （yiy ）2 ； 独立性检验中的 K2 n（adbc）2 （ab）（ac）（bd）（cd），其中 nabcd. 临界值表： P(K2k0)0.0500.0100.001 k03.8416.63510.828 解(1)相关系数 r 50 i1 （xix ）（yiy ） 50 i1 （xix ）2 50 i1 （yiy ）2 50 i1 （xix ）（yiy ） 50 i1 （xix ）2 50 i1 （xix ）2 50 i1 （yiy ）2 b 50s2x 50s2y1.2 12 150.96. 故对该款智能家电的评分

26、与年龄的相关性较强 (2)完善列联表如下 好评差评合计 青年81624 中老年20626 合计282250 由 22 列联表得 K2的观测值 k50（862016） 2 24262822 9.6246.635. 故有 99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关 3某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每 瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年 销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25， 需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高 气温低于 20，需

27、求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月 份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40) 天数216362574 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶)的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的 进货量 n(单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 解(1)由题意知，X 所有的可能取值为 200，300，500， 由表格数据知 P(X200)216 3030.2， P(X300

28、) 36 3030.4， P(X500)2574 303 0.4. 因此 X 的分布列为 X200300500 P0.20.40.4 (2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为 200，因此只需考虑 200n500. 当 300n500 时， 若最高气温不低于 25，则 Y6n4n2n， 若最高气温位于区间20，25)，则 Y63002(n300)4n1 2002n； 若最高气温低于 20，则 Y62002(n200)4n8002n； 因此 E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n. 当 200n300 时， 若最高气温不低于 20，则 Y6

29、n4n2n； 若最高气温低于 20，则 Y62002(n200)4n8002n； 因此 E(Y)2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n. 所以 n300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元 4 如图为 2020 届某师范大学数学与应用数学专业 N 名毕业生的综合测评成绩(百 分制)分布直方图，已知 8090 分数段的学员数为 21 人 (1)求该专业毕业总人数 N 和 9095 分数段内的人数 n； (2)现欲将 9095 分数段内的 n 名毕业生随机地分配往 A，B，C 三所学校，每所 学校至少分配两名毕业生 若这 n 名毕业生中甲、 乙两人必须进同一所学校，

30、 共有多少种不同的分配方法？ 若这 n 名毕业生中恰有两名女生，设随机变量表示 n 名毕业生中分配往 B 学 校的两名毕业生中女生的人数，求的分布列和数学期望 解(1)8090 分数段的频率 p1(0.040.03)50.35， 此分数段的学员总数为 21 人， 毕业生的总人数 N 21 0.3560， 9095 分数段的频率 p21(0.010.040.050.040.030.01)50.1. 9095 分数段内的人数 n600.16. (2)将 9095 分数段内的 6 名毕业生随机地分配往 A，B，C 三所学校，每所学 校至少分配两名毕业生，且甲、乙两人必须进同一所学校，则共有C 2 4

31、C22 A22 A3318 种不同的分配方法 的所有可能取值为 0，1，2， P(0)C 0 2C24 C26 6 15，P(1) C12C14 C26 8 15， P(2)C 2 2C04 C26 1 15， 所以的分布列为 012 P 6 15 8 15 1 15 所以随机变量的数学期望为 E()0 6 151 8 152 1 15 2 3. 5 (2020西安模拟)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案： 应聘者从 6 道备选 题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过 已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成， 2 道题不能 完

32、成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2 3，且每题正确完成与否互不影响 (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 解(1)设甲正确完成面试的题数为，则的可能取值为 1，2，3. P(1)C 1 4C22 C36 1 5；P(2) C24C12 C36 3 5； P(3)C 3 4C02 C36 1 5. 应聘者甲正确完成题数的分布列为 123 P 1 5 3 5 1 5 E()11 52 3 53 1 52. 设乙正确完成面试的题数为，则的可能取值为 0，1，2，3. P(0)C03 12 3 3 1 27； P(1)C13 2

33、 3 1 12 3 2 6 27； P(2)C23 2 3 2 12 3 12 27； P(3)C33 2 3 3 8 27. 应聘者乙正确完成题数的分布列为 0123 P 1 27 6 27 12 27 8 27 E()0 1 271 6 272 12 273 8 272. (或因为B 3，2 3 ，所以 E()32 32) (2)因为 D()(12)21 5(22) 23 5(32) 21 5 2 5，D()3 2 3 1 3 2 3. 所以 D()D() 综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定； 从至少完成 2 道题的概率考查，甲面试通过的可能

34、性大 6(2020福州质检)某工厂对 A，B 两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据 中随机抽取 6 次，记录数据如下： A：8.3，8.4，8.4，8.5，8.5，8.9； B：7.5，8.2，8.5，8.5，8.8，9.5. (注：数值越大表示产品质量越好) (1)若要从 A，B 中选一种型号产品投入生产，从统计学角度考虑，你认为生产哪 种型号产品合适？简单说明理由； (2)若将频率视为概率，对产品 A 今后的 4 次检测数据进行预测，记这 4 次数据中 不低于 8.5 分的次数为，求的分布列及期望 E() 解(1)A 产品的平均数： x A8.38.48.48.58.58.9 6 8.

35、5. B 产品的平均数： x B7.58.28.58.58.89.5 6 8.5. A 产品的方差：s2A1 6(8.38.5) 2(8.48.5)2(8.48.5)2(8.58.5)2(8.5 8.5)2(8.98.5)20.037. B 产品的方差：s2B1 6(7.58.5) 2(8.28.5)2(8.58.5)2(8.58.5)2(8.8 8.5)2(9.58.5)20.363. 因为 x Ax B，s2As2B，所以两种产品的质量平均水平一样，A 产品的质量更稳定， 选择 A 产品合适 (2)由题意得的所有可能取值为 0，1，2，3，4， 数据不低于 8.5 的频率为3 6 1 2，将频率视为概率， 则B 4，1 2 ， P(k)Ck4 1 2 k 11 2 4k Ck4 1 2 4 (k0，1，2，3，4) 的分布列如下： 01234 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 E()0 1 161 1 42 3 83 1 44 1 162 或者 E（）41 22.