(2022高考数学一轮复习(步步高))第四章 §4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用.docx
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1、4.5函数函数 yAsin(x)的图象及应用的图象及应用 考试要求1.结合具体实例,了解 yAsin(x)的实际意义;能借助图象理解参数, A 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可 以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 1简谐运动的有关概念 yAsin(x)(A0, 0),x0 振幅周期频率相位初相 A T2 f1 T 2 x 2.用“五点法”画 yAsin(x)(A0,0)一个周期内的简图时,要找五个特征点 x 0 2 3 2 2 x0 2 3 2 2 yAsin(x)0A0A0 3.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)
2、(A0,0)的图象的两种途径 微思考 1如图所示为函数 ysin(x)的部分图象利用零点代入求时,x1取哪些值? 提示2k,kZ. 2函数 ysin(x)图象的对称轴是什么?对称中心是什么? 提示对称轴是直线 xk 2 (kZ), 对称中心是点 k ,0(kZ) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)把 ysin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1 2, 纵坐标不变, 所得图象对应的函数解析 式为 ysin 1 2x.( ) (2)将 ysin 2x 的图象向右平移 6个单位长度,得到 ysin 2x 3 的图象() (3)函数 f(x)Asin(x)(A
3、0)的最大值为 A,最小值为A.() (4)如果 yAcos(x)的最小正周期为 T,那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为 T 2.( ) 题组二教材改编 2函数 y2sin 1 2x 3 的振幅、频率和初相分别为() A2,4, 3 B2, 1 4, 3 C2, 1 4, 3 D2,4, 3 答案C 解析由题意知 A2,f1 T 2 1 4,初相为 3. 3函数 ysin x 的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍得到的图象对应的 函数解析式是_ 答案ysin 1 2x 解析根据函数图象变换法则可得 4如图,某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(
4、x)b,0,则 这段曲线的函数解析式为_ 答案y10sin 8x 3 4 20,x6,14 解析从题图中可以看出,从 614 时的图象是函数 yAsin(x)b 的半个周期, 所以 A1 2(3010)10,b 1 2(3010)20, 又1 2 2 146,所以 8. 又 8102k,kZ,0,所以 3 4 , 所以 y10sin 8x 3 4 20,x6,14 题组三易错自纠 5ycos(x1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是_ 答案24 解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2,横坐标之差恰为半个周期,故它们之间的距 离为 24. 6将曲线 C1:y2cos 2x 6 上的点向右平
5、移 6个单位长度,再将各点横坐标缩短为原来的 1 2,纵坐标不变,得到曲线 C 2,则 C2的方程为() Ay2sin 4xBy2sin 4x 3 Cy2sin xDy2sin x 3 答案A 解析将曲线 C1:y2cos 2x 6 上的点向右平移 6个单位长度,可得 y2sin 2x 的图象,再 将各点横坐标缩短为原来的1 2,纵坐标不变,可得曲线 C 2:y2sin 4x,故选 A. 题型一 函数 yAsin(x)的图象及变换 例 1 (1)(2020天津)已知函数 f(x)sin x 3 .给出下列结论: f(x)的最小正周期为 2; f 2 是 f(x)的最大值; 把函数 ysin x
6、 的图象上所有点向左平移 3个单位长度,可得到函数 yf(x)的图象 其中所有正确结论的序号是() ABCD 答案B 解析T2 1 2,故正确 当 x 3 22k(kZ), 即 x 62k(kZ)时,f(x)取得最大值,故错误 ysin x 的图象 向左平移 3个单位长度 ysin x 3 的图象,故正确 (2)(2020江苏)将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6个单位长度,则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是_ 答案x5 24 解析将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6个单位长度, 所得图象的函数解析式为 y3sin 2 x 6 43sin 2x 12 . 令
7、 2x 12k 2,kZ, 得对称轴的方程为 xk 2 7 24,kZ, 分析知当 k1 时,对称轴为直线 x5 24,与 y 轴最近 思维升华 (1)由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象有两条途径: “先平 移后伸缩”与“先伸缩后平移” (2)当 x 的系数不为 1 时,特别注意先提取系数,再加减 跟踪训练 1 (1)(2020广州测试)由 y2sin 6x 6 的图象向左平移 3个单位长度,再把所得图 象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,所得图象对应的函数解析式为() Ay2sin 3x 6By2sin 3x 6 Cy2sin 3x 12Dy2sin 12x
8、 6 答案A 解析由 y2sin 6x 6 的图象向左平移 3 个单位长度,可得 y2sin 6 x 3 6 2sin 6x2 6 2sin 6x 6 的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 得到 y2sin 3x 6 的图象,故所得图象对应的函数解析式为 y2sin 3x 6 ,选 A. (2)已知函数 f(x)sin 2x 3cos 2x,将 yf(x)的图象向左平移 6个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得到函数 yg(x)的图象,则所得函数的最小正周期为_,g 3 4 的值为 _ 答案3 解析由题意知函数 f(x)sin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 ,
9、 将 yf(x)的图象向左平移 6个单位长度, 可得 y2sin 2x 3 3 2sin 2x 的图象, 再向上平移 1 个单位长度得到函数 yg(x)2sin 2x1 的图象, 则 T2 2 ,g 3 4 2sin 3 2 13. 题型二 由图象确定 yAsin(x) 的解析式 1(2020全国改编)设函数 f(x)cos x 6 在,上的图象大致如图,则 f(x)的解析式 为() Af(x)cos 3 2x 6 Bf(x)cos 3 2x 6 Cf(x)cos 3 4x 6 Df(x)cos 3 4x 6 答案B 解析由图象知T2,即2 |2, 所以 1|2. 因为图象过点 4 9 ,0
10、,所以 cos 4 9 6 0, 所以4 9 6k 2,kZ, 所以9 4k 3 4,kZ. 因为 1|0,0,| 2 的部分图象如图所示,则() Ag(x)sin 2x 3Bg(x)sin 2x2 3 Cg(x)sin 2xDg(x)sin 2x 6 答案C 解析根据题图有 A1,3 4T 5 6 12 3 4 T2 2(T 为 f(x)的最小正周期),所以 f(x)sin(2x),由 f 12 sin 2 121sin 61 6 22k,kZ 3 2k,kZ.因为|0,0,0)为奇函数,该函数的部 分图象如图所示, EFG(点 G 是图象的最高点)是边长为 2 的等边三角形, 则 f(1)
11、_. 答案 3 解析由题意得,A 3,T42 , 2. 又因为 f(x)Acos(x)为奇函数, 所以 2k,kZ,由 00, 2 2 的图象相邻的两个对称中心 之间的距离为 2,若将函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度后得到偶函数 g(x)的图象,则函 数 f(x)的一个单调递减区间为() A. 3, 6B. 4, 7 12 C. 0, 3D. 2, 5 6 答案B 解析因为函数 f(x)sin(x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 2, 所以 T 2 2, 即 T ,即2 ,2,得 f(x)sin(2x),将 f(x)的图象向左平移 6个单位长度后,得到 g(x) sin 2x
12、3的图象, 因为 g(x)为偶函数, 所以 3k 2(kZ), 解得k 6(kZ) 又 因为 2 2,所以 6,所以 f(x)sin 2x 6 . 令 22k2x 6 3 2 2k(kZ), 解得 6kx 2 3 k(kZ) 当 k0 时,得到一个单调递减区间为 6, 2 3 . 又 4, 7 12 6, 2 3 ,故选 B. 命题点 2函数零点(方程根)问题 例 3 已知关于 x 的方程 2sin2x 3sin 2xm10 在 2,上有两个不同的实数根, 则 m 的 取值范围是_ 答案(2,1) 解析方程 2sin2x 3sin 2xm10 可转化为 m12sin2x 3sin 2xcos
13、2x 3sin 2x 2sin 2x 6 ,x 2,. 设 2x 6t,则 t 7 6 ,13 6, 题目条件可转化为m 2 sin t,t 7 6 ,13 6有两个不同的实数根 ym 2和 ysin t,t 7 6 ,13 6的图象有两个不同交点,如图: 由图象观察知,m 2 的取值范围是 1,1 2 , 故 m 的取值范围是(2,1) 本例中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则 m 的取值范围是 _ 答案2,1) 解析同例题知,m 2的取值范围是 1,1 2 , 2m0)的函数关系式,并求当 t 0, 2 时,y 的取值范围 解(1)连接 AB,OA,OB(图略),当 t 4时,
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