（2022高考数学一轮复习(步步高)）第八章 §8.5 第2课时　直线与椭圆.docx

1、第第 2 课时课时直线与椭圆直线与椭圆 题型一 直线与椭圆的位置关系 1若直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y 2 m1 总有公共点，则 m 的取值范围是( ) Am1Bm0 C0m5 且 m1Dm1 且 m5 答案D 解析方法一由于直线 ykx1 恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则 00 且 m5，5k2m10， m1 且 m5. 2已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x 2 4 y 2 2 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点 解将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 得方程

2、组 y2xm， x2 4 y 2 2 1， 将代入，整理得 9x28mx2m240. 方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144. (1)当0，即3 2m32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实 数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点 (2)当0，即 m32时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数 解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 (3)当0，即 m32时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时 直线 l 与椭圆 C 没有公共点 思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1

3、)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 题型二 弦长及中点弦问题 命题点 1弦长问题 例 1(1)已知斜率为 2 的直线经过椭圆x 2 5 y 2 4 1 的右焦点 F，与椭圆相交于 A，B 两点，则 弦 AB 的长为_ 答案 5 5 3 解析方法一由题意知，椭圆的右焦点 F 的坐标为(1,0)，直线 AB 的方程为 y2(x1)， 由 y2x1， x2 5 y 2 4 1， 消去 y，得 3x25x0，解得 x0 或5 3， 设 A(0，2)，B 5 3， 4 3 ，则

4、|AB| 05 3 2 24 3 25 5 3 . 方法二由题意知，椭圆的右焦点 F 的坐标为(1,0)，直线 AB 的方程为 y2(x1)， 由 y2x1， x2 5 y 2 4 1， 消去 y 得 3x25x0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x25 3，x 1x20， 则|AB| x1x22y1y22 1k2x1x224x1x2122 5 3 240 5 5 3 . (2)斜率为 1 的直线 l 与椭圆x 2 4 y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为() A2B.4 5 5 C.4 10 5 D.8 10 5 答案C 解析设 A，B 两点的坐标分别为(x

5、1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 yxt， 由 x24y24， yxt， 消去 y，得 5x28tx4(t21)0， 又(8t)216(t21)50，得 t20 恒成立 设 C(x1，y1)，D(x2，y2) x1x2 2k k22，x 1x2 1 k22. |CD| 1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x22 2k 21 k22 . 即2 2k 21 k22 3 2 2 ， 解得 k22，k 2. 直线 l 的方程为2xy10 或2xy10. (2)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是 M( 4,1)，则椭圆的离

6、心率是_ 答案 3 2 解析设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知 yM b2 a2kx M，代入 k1，M(4，1)，解得b 2 a2 1 4，e 1 b a 2 3 2 . 题型三 直线与椭圆的综合问题 例3 (2020天津)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为A(0， 3)， 右焦点为F， 且|OA|OF|， 其中 O 为原点 (1)求椭圆的方程； (2)已知点 C 满足 3OC OF ，点 B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线 AB 与以 C 为圆心的圆 相切于点 P，且 P 为线段 AB 的中点求直线 AB 的方

7、程 解(1)由已知可得 b3，记半焦距为 c， 由|OF|OA|可得 cb3， 又由 a2b2c2，可得 a218， 所以椭圆的方程为x 2 18 y2 9 1. (2)因为直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P， 所以 ABCP. 依题意，直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在 设直线 AB 的方程为 ykx3. 联立方程组 ykx3， x2 18 y2 9 1， 消去 y 可得(2k21)x212kx0， 解得 x0 或 x 12k 2k21. 依题意，可得点 B 的坐标为 12k 2k21， 6k23 2k21 . 因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0，3)， 所以

8、点 P 的坐标为 6k 2k21， 3 2k21 . 由 3OC OF ，得点 C 的坐标为(1,0)， 故直线 CP 的斜率为 3 2k210 6k 2k211 3 2k26k1. 又因为 ABCP，所以 k 3 2k26k11， 整理得 2k23k10，解得 k1 2或 k1. 所以直线 AB 的方程为 y1 2x3 或 yx3， 即 x2y60 或 xy30. 思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭 圆的方程，消去 y(或 x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立 有关参变量的等量关系求解 (2)涉及直线方程的设法时，

9、务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形 跟踪训练 2 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(1，0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为 B1，B2. (1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆 C 的方程； (2)若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且F1P F1Q ，求直 线 l 的方程 解(1)由题意知，F1B1B2为等边三角形， 则 c 3b， c1， 即 a2b23b2， a2b21， 解得 a24 3， b21 3， 故椭圆 C 的方程为3x 2 4 3y21. (2)易知椭圆 C 的方程为x 2 2 y21， 当直

10、线 l 的斜率不存在时，其方程为 x1，不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)， 由 ykx1， x2 2 y21， 得(2k21)x24k2x2(k21)0， 8(k21)0， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1x2 4k2 2k21，x 1x22k 21 2k21 ， F1P (x11，y1)，F1Q (x21，y2)， 因为F1P F1Q ，所以F1P F1Q 0， 即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k2 17k 21 2k210， 解得 k21 7，即

11、k 7 7 ， 故直线 l 的方程为 x 7y10 或 x 7y10. 课时精练课时精练 1直线 yx2 与椭圆x 2 m y2 3 1 有两个公共点，则 m 的取值范围是() A(1，)B(1,3)(3，) C(3，)D(0,3)(3，) 答案B 解析由 yx2， x2 m y2 3 1， 得(m3)x24mxm0. 由0 且 m3 及 m0，得 m1 且 m3.故选 B. 2直线 ykxk1 与椭圆x 2 9 y 2 4 1 的位置关系为() A相交B相切 C相离D不确定 答案A 解析由题意得直线 y1k(x1)恒过定点(1，1)，而点(1，1)在椭圆x 2 9 y 2 4 1 的内部，所

12、 以直线与椭圆相交故选 A. 3直线 ykx1，当 k 变化时，此直线被椭圆x 2 4 y21 截得的最大弦长是() A2B.4 3 3 C4D不能确定 答案B 解析直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)， 则弦长为 x2y12 44y2y22y1 3y22y5， 当 y1 3时，弦长最大为 4 3 3 . 4已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，若 AB 的中点为 M(1，1)，则椭圆 E 的方程为() A.x 2 45 y2 361 B.x 2 36 y2 271 C.x

13、2 27 y2 181 D.x 2 18 y2 9 1 答案D 解析kAB01 31 1 2，k OM1， 由 kABkOMb 2 a2，得 b2 a2 1 2，a 22b2. c3，a218，b29， 椭圆 E 的方程为x 2 18 y2 9 1. 5(多选)设椭圆 C：x 2 2 y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的动点，则下列结论 正确的是() A|PF1|PF2|2 2 B离心率 e 6 2 CPF1F2面积的最大值为 2 D以线段 F1F2为直径的圆与直线 xy 20 相切 答案AD 解析对于 A 选项，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a2 2，所以 A 选项

14、正确； 对于 B 选项，依题意 a 2，b1，c1，所以 ec a 1 2 2 2 ，所以 B 选项不正确； 对于 C 选项，|F1F2|2c2，当 P 为椭圆短轴顶点时，PF1F2的面积取得最大值为1 22cb cb1，所以 C 选项错误； 对于 D 选项，以线段 F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)， 半径为 c1， 圆心到直线 xy 2 0 的距离为 2 21，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段 F 1F2为直径的圆与直线 xy 20 相切，所以 D 选项正确 综上所述，正确的为 AD. 6(多选)已知椭圆 C：x 2 4 y 2 2 1 的左、右两个焦点分别为 F1，F2，直线 y

15、kx(k0)与 C 交 于 A，B 两点，AEx 轴，垂足为 E，直线 BE 与 C 的另一个交点为 P，则下列结论正确的是 () A四边形 AF1BF2为平行四边形 BF1PF290 答案ABC 解析对于 A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|OF2|，|OA|OB|.故四边形 AF1BF2为平行四 边形故 A 正确； 对于 B，根据椭圆的性质，当 P 在上、下顶点时，|OP|b 2c.此时F1PF290.由题意 可知 P 不可能在上下顶点，故F1PF2b0)的右顶点为 A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1，则椭圆 方程为_ 答案 y2 4 x21 解析因为椭圆y 2 a2 x2 b

16、21 的右顶点为 A(1,0)， 所以 b1，焦点坐标为(0，c)， 因为过焦点且垂直于长轴的弦长为 1， 所以2b 2 a 1，a2， 所以椭圆方程为y 2 4 x21. 8 已知椭圆x 2 2 y21 与直线 yxm 交于 A， B 两点， 且|AB|4 2 3 ， 则实数 m 的值为_ 答案1 解析由 x2 2 y21， yxm， 消去 y 并整理，得 3x24mx2m220. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24m 3 ，x1x22m 22 3 . 由题意，得 2x1x228x1x24 2 3 ， 解得 m1. 9已知 F 为椭圆 C：x 2 6 y 2 2 1 的右

17、焦点，过 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，M 为 AB 的 中点，则 M 到 x 轴的最大距离为_ 答案 3 3 解析因为 a26，b22，所以椭圆的右焦点坐标为(2，0).设 A (x 1，y1)，B (x 2，y2)，直线 l： xty2(显然当直线斜率为 0 时，不可能最大)，与椭圆方程联立得， (t 2 3) y24ty20，16t28(t23)0 恒成立，所以 y1y2 4t t23， 即弦 AB 的中点 M 的纵坐标为y1y2 2 2t t23，所以 M 到 x 轴的距离为 2|t| t23. 当 t0 时， 2|t| t23 2 |t|3 |t| 2 2 3 3 3

18、 ，当且仅当 t23 时等号成立，故 M 到 x 轴的最大距离为 3 3 . 10(2021衡水调研)与椭圆x 2 2 y21 有相同的焦点且与直线 l：xy30 相切的椭圆的离 心率为_ 答案 5 5 解析因为所求椭圆与椭圆x 2 2 y21 有相同的焦点， 所以可设所求椭圆的方程为x 2 a2 y2 a21 1(a1)，联立方程组 x2 a2 y2 a211， yx3 (2a21)x26a2x10a2a40， 因为直线 l 与椭圆相切，所以36a44(2a21)(10a2a4)0， 化简得 a46a250，即 a25 或 a21(舍) 则 a 5.又 c1，所以 ec a 1 5 5 5

19、. 11(2021武汉调研)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 2 2 ，直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值 解(1)由题意得 a2， c a 2 2 ， a2b2c2， 得 b 2， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)由 ykx1， x2 4 y 2 2 1， 得(12k2)x24k2x2k240. 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 x1x2 4k2 12k2，x 1x22k 24 12

20、k2， 所以|MN| x2x12y2y12 1k2x1x224x1x22 1k 246k2 12k2 . 又点 A(2,0)到直线 yk(x1)的距离 d |k| 1k2， 所以AMN 的面积 S1 2|MN|d |k| 46k2 12k2 ， 由|k| 46k 2 12k2 10 3 ，得 k1，满足0. 所以当AMN 的面积为 10 3 时，k1. 12设 F1，F2分别是椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，E 的离心率为 2 2 ，点(0,1)是 E 上一点 (1)求椭圆 E 的方程； (2)过点 F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，且BF1 2F1A ，求直

21、线 BF2的方程 解(1)由题意知，b1，且 e2c 2 a2 a2b2 a2 1 2， 解得 a22，所以椭圆 E 的方程为x 2 2 y21. (2)由题意知，直线 AB 的斜率存在且不为 0，故可设直线 AB 的方程为 xmy1，设 A(x1， y1)，B(x2，y2) 由 x2 2 y21， xmy1， 得(m22)y22my10， 则 y1y2 2m m22， y1y2 1 m22， 因为 F1(1,0)， 所以BF1 (1x2，y2)，F1A (x11，y1)， 由BF1 2 F1A 可得，y22y1， 由可得 B 1 2， 14 4， 则 2 BF k 14 6 或 14 6 ，

22、 所以直线 BF2的方程为14x6y 140 或14x6y 140. 13(多选)设点 F1，F2分别为椭圆x 2 9 y 2 5 1 的左、右焦点，点 P 是椭圆 C 上任意一点，若 使得PF1 PF2 m 成立的点恰好是 4 个，则实数 m 的值可以是() A.1 2 B2C3D4 答案BCD 解析因为点 F1，F2分别为椭圆 C：x 2 9 y 2 5 1 的左、右焦点，a29，b25，c24，c2， 即 F1(2,0)，F2(2,0)设 P(x0，y0)，PF1 (2x0，y0)，PF2 (2x0，y0)，由PF1 PF2 m，可得 x20y20m4，又因为 P 在椭圆上，即x 2 0

23、 9 y 2 0 5 1，所以 x209m9 4 ，要使得PF1 PF2 m 成立的点恰好是 4 个， 则 09m9 4 9， 解得 1mb0)长轴的端点分别为 A，B.点 C 为椭圆上异于 A，B 的一点，若将 ABC 的三内角记为 A，B，C，且满足 3tan A3tan Btan C0，则 tan Atan B 的值为 _，椭圆的离心率为_ 答案 2 3 3 3 解析方法一3tan A3tan Btan C0， 3tan(AB)(1tan Atan B)tan C0， 3tan C(1tan Atan B)tan C0. tan C0，tan Atan B2 3. 设 C(x，y)，A(

24、a,0)，B(a,0)，则x 2 a2 y2 b21. tan Atan B2 3， y xa y xa 2 3， y2 x2a2 2 3， y2 a2 b2y 2 2 3， b 2 a2 2 3， a2c2 a2 2 3，e 3 3 . 方法二设点 C(0，b)，则有 tan Atan Bb a，由 ABC得，tan Ctan(AB) tan Atan B 1tan Atan B 2b a 1 b a 2 2ab b2a2， 又知 3tan A3tan Btan C0， tan C3(tan Atan B)6b a ，因此可得 2ab b2a2 6b a ，即 6(b2a2)2a2，3b22

25、a2，b 2 a2 2 3， 即 tan Atan B2 3，该椭圆的离心率 e 1b 2 a2 12 3 3 3 . 15已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1(c,0)，F2(c,0)，斜率为1 2的直 线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若ABF1的重心为 G c 6， c 3 ，则椭圆 C 的离心率为_ 答案 6 3 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x 2 1 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 两式相减得x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 0.(*) 因为ABF1的重心为 G c 6， c 3 ，

26、 所以 x1x2c 3 c 6， y1y2 3 c 3， 故 x1x23c 2 ， y1y2c， 代入(*)式得3x1x2c 2a2 y1y2c b2 0， 所以y1y2 x1x2 3b2 2a2 1 2，即 a 23b2， 所以椭圆 C 的离心率 e 6 3 . 16已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1( 3，0)，F2( 3，0)，且椭圆 C 过点 P 1， 3 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若与直线 OP(O 为坐标原点)平行的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，当 OAOB 时，求AOB 的面积 解(1)设椭圆 C 的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由题

27、意可得 a2b23， 1 a2 3 4b21， 解得 a24， b21. 故椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y21. (2)直线 OP 的方程为 y 3 2 x，设直线 AB 的方程为 y 3 2 xm，A(x1，y1)，B(x2，y2) 将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程并整理得 x2 3mxm210， 由3m24(m21)0，得 m24， 所以 x1x2 3m，x1x2m21. 由 OAOB，得OA OB 0，OA OB x1x2y1y2x1x2 3 2 x1m 3 2 x2m 7 4x 1x2 3 2 m(x1x2)m2 7 4(m 21) 3 2 m( 3m)m25 4m 27 40，得 m 27 5. 又|AB|13 4 x1x224x1x2 7 2 4m2， O 到直线 AB 的距离 d |m| 13 4 |m| 7 2 ， 所以 SAOB1 2|AB|d 1 2 7 2 4m2 |m| 7 2 91 10 .