（2022高考数学一轮复习(步步高)）第9节 第二课时　定点、定值、探索性问题.doc

1、第二课时第二课时定点、定值、探索性问题定点、定值、探索性问题 考点一定点问题 【例 1】 【例 1】 (2020广州一模)设 M 点为圆 C：x2y24 上的动点，点 M 在 x 轴上的 投影为 N.动点 P 满足 2PN 3MN ，动点 P 的轨迹为 E. (1)求 E 的方程； (2)设 E 的左顶点为 D，若直线 l：ykxm 与曲线 E 交于 A，B 两点(A，B 不是 左、右顶点)，且满足|DA DB |DA DB |，求证：直线 l 恒过定点，并求出该 定点的坐标. 解(1)设点 M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知 N(x0，0)， 2PN 3MN ，2(x0 x，y) 3

2、(0，y0)， 即 x0 x，y0 2 3y， 又点 M 在圆 C：x2y24 上，x20y204， 将 x0 x，y0 2 3y 代入得 x2 4 y 2 3 1， 即轨迹 E 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)由(1)可知 D(2，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得 ykxm， x2 4 y 2 3 1，得(34k 2)x28mkx4(m23)0， (8mk)24(34k2)(4m212)16(12k23m29)0， 即 34k2m20，x1x28mk 34k2，x 1x24（m 23） 34k2 . y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2

3、)m23m 212k2 34k2 . |DA DB |DA DB |，DA DB ， 即DA DB 0， 即(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y20， 4m 212 34k2 28mk 34k24 3m212k2 34k2 0， 7m216mk4k20， 解得 m12k，m22 7k，且均满足 34k 2m0. 当 m2k 时，l 的方程为 ykx2kk(x2)， 直线恒过点(2，0)，与已知矛盾； 当 m2 7k 时，l 的方程为 ykx 2 7kk x2 7 ，直线恒过点 2 7，0. 直线 l 过定点，定点坐标为 2 7，0. 规律方法圆锥曲线中定点问题的两种解

4、法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化 的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变 量无关. 【训练 1】 (2020湖南三湘名校联考)已知椭圆 C：y 2 a2 x2 b21(ab1)的离心率 为 2 2 ，其上焦点到直线 bx2ay 20 的距离为 2 3 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 P 1 3，0的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点.试探究以线段 AB 为直径的圆是 否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解(1)由题意得，ec a 2 2 ，又 a2b

5、2c2， 所以 a 2b，cb. 又|2ac 2| 4a2b2 2 3 ，ab1，所以 b1，a22， 故椭圆 C 的方程为y 2 2 x21. (2)当 ABx 轴时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x1 3 2 y216 9 . 当 ABy 轴时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2y21. 可得两圆交点为 Q(1，0). 由此可知， 若以线段 AB 为直径的圆恒过定点，则该定点为 Q(1，0). 下证 Q(1，0)符合题意. 设直线 l 的斜率存在，且不为 0， 其方程为 yk x1 3 ，代入y 2 2 x21， 并整理得(k22)x22 3k 2x1 9k 220， 设 A(x1

6、，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 2k2 3（k22），x 1x2 k218 9（k22）， 所以QA QB (x11)(x21)y1y2x1x2x1x21k2 x11 3 x21 3 (1k2)x1x2 11 3k 2 (x1x2)11 9k 2 (1k2) k218 9（k22） 11 3k 2 2k2 3（k22）1 1 9k 20， 故QA QB ，即 Q(1，0)在以线段 AB 为直径的圆上. 综上，以线段 AB 为直径的圆恒过定点(1，0). 考点二定值问题 【例 2】 (2019洛阳高三统考)已知抛物线 C：y22px(p0)，其焦点为 F，O 为 坐标原点，直线 l

7、与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B，M 为 AB 的中点. (1)若 p2，M 的坐标为(1，1)，求直线 l 的方程. (2)若直线 l 过焦点 F，AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求证：2|MN| 2 |FN| 为定值. (1)解由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0， 故设直线 l 的方程为 x1t(y1) 即 xty1t，设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 由 xty1t， y24x， 得 y24ty44t0， 16t21616t16(t2t1)0，y1y24t， 4t2，即 t1 2. 直线 l 的方程为 2xy10. (2)证明抛物线 C：y22px(p0)，焦点

8、F 的坐标为 p 2，0. 由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0， 直线 l 过焦点 F，故设直线 l 的方程为 xtyp 2(t0)，设 A(x 1，y1)，B(x2，y2). 由 xtyp 2 y22px ，得 y22ptyp20， y1y22pt，4p2t24p20. x1x2t(y1y2)p2pt2p，M pt2p 2，pt. MN 的方程为 yptt xpt2p 2 . 令 y0，解得 xpt23p 2 ，N pt23p 2 ，0 ， |MN|2p2p2t2，|FN|pt23p 2 p 2pt 2p， 2|MN| 2 |FN| 2（p 2p2t2） pt2p 2p，为定值. 规律方

9、法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 引起变量法：其解题流程为 变量 选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 函数 把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 定值 把得到的函数化简，消去变量得到定值 【训练 2】 (2020福州模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 3，左、 右焦点分别为 F1，F2，A 为椭圆 C 上一点，AF2F1F2，且|AF2|8 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过

10、A1，A2分别作 x 轴的垂线 l1，l2， 椭圆 C 的一条切线 l：ykxm 与 l1，l2分别交于 M，N 两点，求证：MF1N 为定值. (1)解由 AF2F1F2，|AF2|8 3，得 b2 a 8 3. 又 ec a 1 3，a 2b2c2，所以 a29，b28， 故椭圆 C 的标准方程为x 2 9 y 2 8 1. (2)证明由题意可知，l1的方程为 x3，l2的方程为 x3. 直线 l 分别与直线 l1，l2的方程联立得 M(3，3km)，N(3，3km)， 所以F1M (2，3km)，F1N (4，3km)， 所以F1M F1N 8m29k2. 联立得 x2 9 y 2 8

11、1， ykxm， 得(9k28)x218kmx9m2720. 因为直线 l 与椭圆 C 相切， 所以(18km)24(9k28)(9m272)0， 化简得 m29k28. 所以F1M F1N 8m29k20， 所以F1M F1N ，故MF1N 为定值 2. 考点三探索性问题 【例 3】 (2019广州调研)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点分别为 F 1， F2，短轴的一个端点为 P，PF1F2内切圆的半径为b 3，设过点 F 2的直线 l 与被椭 圆 C 截得的线段为 RS，当 lx 轴时，|RS|3. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)在 x 轴上是否存在一点

12、 T，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴 对称？若存在，请求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解(1)由内切圆的性质，得1 22cb 1 2(2a2c) b 3，得 c a 1 2. 将 xc 代入x 2 a2 y2 b21，得 y b2 a ，所以2b 2 a 3. 又 a2b2c2，所以 a2，b 3， 故椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)当直线 l 垂直于 x 轴时，显然 x 轴上任意一点 T 都满足 TS 与 TR 所在直线关 于 x 轴对称. 当直线 l 不垂直于 x 轴时，假设存在 T(t，0)满足条件，设 l 的方程为

13、yk(x1)， R(x1，y1)，S(x2，y2). 联立方程 yk（x1）， x2 4 y 2 3 1， 得 (34k2)x28k2x4k2120， 由根与系数的关系得 x1x2 8k2 34k2， x1x24k 212 34k2 ， 其中0 恒成立， 由 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称，得 kTSkTR0(显然 TS，TR 的斜率存在)， 即 y1 x1t y2 x2t0. 因为 R，S 两点在直线 yk(x1)上， 所以 y1k(x11)，y2k(x21)，代入得 k（x11）（x2t）k（x21）（x1t） （x1t）（x2t） k2x1x2（t1）（x1x2）2t （x1t

14、）（x2t） 0， 即 2x1x2(t1)(x1x2)2t0， 将代入得 8k224（t1）8k22t（34k2） 34k2 6t24 34k20， 则 t4， 综上所述，存在 T(4，0)，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对 称. 规律方法此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假 设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则 应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 【训练 3】 (2020济南调研)如图，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，其左、右 焦点分别为 F1(2，

15、0)及 F2(2，0)，过点 F1的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点，且|AF1|，|F1F2|， |AF2|构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程. (2)记GF1D 的面积为 S1，OED(O 为坐标原点)的面积为 S2.试问：是否存在直 线 AB，使得 S1S2？请说明理由. 解(1)|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列， 2a|AF1|AF2|2|F1F2|8，a4. 又 c2，b212， 椭圆 C 的方程为x 2 16 y2 121. (2)假设存在直线 AB，使得 S1S2，显然直线

16、AB 不能与 x，y 轴垂直. 设 AB 的方程为 yk(x2)(k0)， 将其代入x 2 16 y2 121，整理得(4k 23)x216k2x16k2480， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x216k 2 34k2， 点 G 的横坐标为x1x2 2 8k2 34k2， G 8k2 34k2， 6k 34k2. DGAB， 6k 34k2 8k2 34k2x D k1， 解得 xD 2k2 34k2，即 D 2k2 34k2，0. RtGDF1和 RtODE 相似，若 S1S2， 则|GD|OD|， 8k2 34k2 2k2 34k2 2 6k 34k2 2 | 2k2 34k

17、2|，整理得 8k290. 方程 8k290 无解，不存在直线 AB，使得 S1S2. A 级基础巩固 一、选择题 1.(2019石家庄模拟)已知 P 为双曲线 C：x 2 9 y 2 161 上的点，点 M 满足|OM |1， 且OM PM 0，则当|PM |取得最小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为() A.9 5 B.12 5 C.4D.5 解析由OM PM 0，得 OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为 求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点 P 的位置为双曲线的顶点(3，0)， 而双曲线的渐近线为 4x3y0，所求的距离 d12 5 . 答案B 2.直线

18、 l 与抛物线 C：y22x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，且满足 k1k22 3，则直线 l 过定点( ) A.(3，0)B.(0，3) C.(3，0)D.(0，3) 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 k1k22 3，所以 y1 x1 y2 x2 2 3.又 y 2 12x1，y222x2， 所以 y1y26.设直线 l：xmyb，代入抛物线 C：y22x 得 y22my2b0， 所以 y1y22b6，得 b3，即直线 l 的方程为 xmy3，所以直线 l 过定 点为(3，0). 答案A 3.已知双曲线x 2 a2 y2 b

19、21(a0， b0)的离心率 e2， 过双曲线上一点 M 作直线 MA， MB 交双曲线于 A，B 两点，且斜率分别为 k1，k2，若直线 AB 过原点，则 k1k2 的值为() A.2B.3C. 3D. 6 解析由题意知，ec a 1b 2 a22b 23a2，则双曲线方程可化为 3x2y2 3a2， 设 A(m， n)， M(x0， y0)(x0m)， 则 B(m， n)， k1k2y0n x0m y0n x0m y20n2 x20m2 3x 2 03a23m23a2 x20m2 3. 答案B 4.已知 O 为坐标原点，设 F1，F2分别是双曲线 x2y21 的左、右焦点，P 为双 曲线左

20、支上任一点，过点 F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为 H，则|OH| () A.1B.2C.4D.1 2 解析如图所示， 延长 F1H 交 PF2于点 Q， 由 PH 为F1PF2 的平分线及 PHF1Q，可知|PF1|PQ|，根据双曲线的定 义，得|PF2|PF1|2，从而|QF2|2，在F1QF2中，易知 OH 为中位线，故|OH| 1. 答案A 5.已知抛物线 M： y24x， 过抛物线 M 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点(点 A 在第一象限)，且交抛物线的准线于点 E.若AE 2BE，则直线 l 的斜率为( ) A.3B.2 2C. 3D.1 解析分别过 A，B

21、 两点作 AD，BC 垂直于准线，垂足分别为 D，C， 由AE 2BE，得 B 为 AE 的中点，|AB|BE|， 则|AD|2|BC|， 由抛物线的定义可知|AF|AD|，|BF|BC|， |AB|3|BC|，|BE|3|BC|，则|CE|2 2|BC|， tan CBE|CE| |CB|2 2， 直线 l 的斜率 ktan AFxtan CBE2 2. 答案B 二、填空题 6.若双曲线x2y 2 b21(b0)的一条渐近线与圆x 2(y2)21至多有一个公共点， 则双曲线离心率的取值范围是_. 解析双曲线的渐近线方程为 ybx，则有 |02| 1b21，解得 b 23，则 e21 b24，

22、e1，1e2. 答案(1，2 7.(2020东北三省四校模拟)已知动点 P(x， y)在椭圆x 2 25 y2 161 上， 若 A 点坐标为 (3，0)，|AM |1，且PM AM 0，则|PM |的最小值是_. 解析PM AM 0，AM PM . |PM |2|AP |2|AM |2|AP |21， 椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小， 故|AP |min2，|PM |min 3. 答案3 8.(2019湘中名校联考)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在 抛物线上，且满足FA FBFC0，则1 kAB 1 kAC 1 kBC_. 解析设 A(x1，y1)，B(x2

23、，y2)，C(x3，y3)，F p 2，0，由FA FBFC 0，得 y1 y2y30.因为 kABy2y1 x2x1 2p y1y2，所以 k AC 2p y1y3，k BC 2p y2y3，所以 1 kAB 1 kAC 1 kBC y1y2 2p y3y1 2p y2y3 2p 0. 答案0 三、解答题 9.(2019全国卷)已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点 A，B 且与直线 x20 相切. (1)若 A 在直线 xy0 上，求M 的半径. (2)是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由. 解(1)因为M 过点 A，B，所以圆心 M

24、 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直 线 xy0 上，且 A，B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 yx 上，故可设 M(a，a). 因为M 与直线 x20 相切， 所以M 的半径为 r|a2|.连接 MA， 由已知得 |AO|2. 又 MOAO，故可得 2a24(a2)2， 解得 a0 或 a4. 故M 的半径 r2 或 r6. (2)存在定点 P(1，0)，使得|MA|MP|为定值. 理由如下： 设 M(x，y)，由已知得M 的半径为 r|x2|，|AO|2.由于 MOAO，故可得 x2y24(x2)2,化简得 M 的轨迹方程为 y24x. 因为曲线 C：y24x 是以点

25、P(1，0)为焦点，以直线 x1 为准线的抛物线，所 以|MP|x1. 因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1， 所以存在满足条件的定点 P. 10.(2020青岛质检)设椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2， 过点 F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点.若椭圆 E 的离心率为 2 2 ，ABF2的周长为 4 6. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦 AB 的直线交椭圆 E 于点 C，D，设弦 AB， CD 的中点分别为 M，N，证明：O，M，N 三点共线. (1)解由题意知，4a4 6，a 6. 又 e 2 2 ，c

26、 3，b 3， 椭圆 E 的方程为x 2 6 y 2 3 1. (2)证明当直线 AB，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点 M，N 在 x 轴上，O，M，N 三点共线， 当直线 AB，CD 的斜率存在时，设其斜率为 k，且设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0， y0)， 则 x21 6 y 2 1 3 1， x22 6 y 2 2 3 1，两式相减，得 x21 6 y 2 1 3 x22 6 y 2 2 3 0， x 2 1x22 6 y 2 1y22 3 ，（x1x2）（x1x2） 6 （y1y2）（y1y2） 3 ， y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 3 6，

27、y1y2 x1x2 y0 x0 3 6， 即 kkOM1 2，k OM 1 2k. 同理可得 kON 1 2k，k OMkON，O，M，N 三点共线. B 级能力提升 11.(2019成都诊断)设点 Q 是直线 l：x1 上任意一点，过点 Q 作抛物线 C： y24x 的两条切线 QS，QT，切点分别为 S，T，设切线 QS，QT 的斜率分别为 k1，k2，F 是抛物线的焦点，直线 QF 的斜率为 k0，则下列结论正确的是() A.k1k2k0B.k1k22k0 C.k1k22k0D.k1k22k0 解析设点 Q(1，t)，由过点 Q 的直线 ytk(x1)与抛物线 C：y24x 相切， 联立

28、方程得 y24x， ytk（x1）， 整理得 k2x22(k2kt2)x(kt)20，则4(k2kt2)24k2(kt)20，化 简得 k2tk10.显然 k1，k2是关于 k 的方程 k2tk10 的两个根，所以 k1 k2t.又 k0t 2，故 k 1k22k0. 答案D 12.(2020郑州模拟)已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB 6(其中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最 小值是() A.17 2 3 B.3C.3 3 8 D.3 13 2 解析设直线 AB 的方程为 xtym，点 A(x1，y1)，B(x2，

29、y2)，直线 AB 与 x 轴 的交点为 M(m，0)，将 xtym 代入 y2x，可得 y2tym0，则 y1y2 m.OA OB 6，x1x2y1y26，从而(y1y2)2y1y260.点 A，B 位于 x 轴的两侧，y1y23，故 m3.不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y10， 又 F 1 4，0， SABOSAFO1 23(y 1y2)1 2 1 4y 113 8 y1 9 2y12 913 16 3 13 2 ，当且仅 当 13 8 y1 9 2y1，即 y 16 13 13 时，取“”，ABO 与AFO 面积之和的最小值 是3 13 2 ，故选 D. 答案D 13.若点O和点F分

30、别为椭圆x 2 9 y 2 8 1的中心和左焦点， 点P为椭圆上的任一点， 则OP FP 的最小值为_. 解析点 P 为椭圆 x2 9 y2 8 1 上的任意一点，设 P(x，y)(3x3， 2 2y2 2)，依题意得左焦点 F(1，0)，OP (x，y)，FP (x1，y)， OP FP x(x1)y2x2x728x2 9 1 9 x9 2 2 23 4 . 3x3， 3 2x 9 2 15 2 ，9 4 x9 2 2 225 4 ， 1 4 1 9 x9 2 2 225 36 ，61 9 x9 2 2 23 4 12，即 6OP FP 12，故最小值为 6. 答案6 14.(2020长沙高

31、三质检)已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，M(2，y0)是 C 上一点，且|MF|2. (1)求 C 的方程. (2)过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 A，B 两点，分别过点 A，B 作抛物线 C 的切 线 l1，l2，两条切线相交于点 P，点 P 关于直线 AB 的对称点为 Q，判断四边形 PAQB 是否存在外接圆？如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请 说明理由. 解(1)根据题意知，42py0， 因为|MF|2，所以 y0p 22. 联立，解得 y01，p2. 所以抛物线 C 的方程为 x24y. (2)四边形 PAQB 存在外接圆. 由(1)知 F(0，1)

32、，设直线 AB 的方程为 ykx1， 代入 x24y 中，得 x24kx40，16(k21)0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24， 所以|AB| 1k2|x1x2|4(k21). 因为 C：x24y，即 yx 2 4 ，所以 yx 2， 因此切线 l1的斜率 k1x1 2 ，切线 l2的斜率 k2x2 2 . 所以 k1k2x1x2 4 1， 所以 PAPB，即PAB 是直角三角形， 所以PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB 是外接圆的直径，由于 点 Q 与点 P 关于直线 AB 对称， 所以点 Q 一定在PAB 的外接圆上，即四边形 P

33、AQB 存在外接圆. 又|AB|4(k21)， 所以当 k0 时，线段 AB 最短，最短长度为 4， 此时圆的面积最小，最小面积为 4. C 级创新猜想 15.(多选题)如图，由抛物线 y28x 与圆 E：(x2)2y29 的实线部分构成图形 ，过点 P(2，0)的直线始终与图形中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的 取值可能为() A.4B.5C.6D.7 解析由题意可知抛物线 y28x 的焦点为 F(2，0)，圆(x2)2y29 的圆心为 E(2，0)，因此点 P，F，E 重合，所以|PA|3.设 B(x0，y0)，则由抛物线的定义可 知|PB|x02，由 y28x， （x2）2y29

34、得(x2) 28x9，整理得 x24x50， 解得 x11，x25(舍去)，设圆 E 与抛物线交于 C，D 两点，所以 xCxD1， 因此 0 x01，又|AB|AP|BP|3x02x05，所以|AB|x055，6， 故选 BC. 答案BC 16.(多填题)(2020淄博模拟)已知 F1，F2分别为椭圆 C：x 2 a2y 21(a1)的左、右 焦点，点 F2关于直线 yx 的对称点 Q 在椭圆上，则长轴长为_；若 P 是椭圆上的一点，且|PF1|PF2|4 3，则 SF 1PF2_. 解析由椭圆 C：x 2 a2y 21(a1)，知 c a21，所以 F2( a21，0)，点 F2 关于直线 yx 的对称点 Q(0， a21)，由题意可得 a211，即 a 2，则长 轴长为 2 2.所以椭圆方程为x 2 2 y21，则|PF1|PF2|2a2 2，又|PF1|PF2| 4 3，所以 cosF 1PF2|PF 1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| （|PF1|PF2|） 22|PF1|PF2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 88 34 8 3 1 2， 所以 sinF1PF2 3 2 ，则 SF1PF21 2|PF 1|PF2|sinF1PF21 2 4 3 3 2 3 3 . 答案2 2 3 3