(2022高考数学一轮复习(步步高))第8节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布.doc
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1、第第 8 节节离散型随机变量的均值与方差、正态分布离散型随机变量的均值与方差、正态分布 考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 方差的概念; 2.能计算简 单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些简单实际问题;3.了解正态密度 曲线的特点及曲线所表示的意义,并进行简单应用. 知 识 梳 理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 Xx1x2xixn Pp1p2pipn (1)均值 称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望, 它反映 了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称 D(X) n i1_(xiE(X) 2
2、pi为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度,其算术平方根 D(X)为随机变量 X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b. (2)D(aXb)a2D(X)(a,b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)p,D(X)p(1p). (2)若 XB(n,p),则 E(X)np,D(X)np(1p). 4.正态分布 (1)正态分布的定义 如果对于任何实数 a,b(ab),随机变量 X 满足 P(aXb)错误错误!,(x)dx,则 称随机变量 X 服从正态分布, 记为 XN(, 2).其中
3、,(x) 1 2e (x )2 22 (0). (2)正态曲线的性质 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交,与 x 轴之间的面积为 1; 曲线是单峰的,它关于直线 x对称; 曲线在 x处达到峰值 1 2; 当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越 集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(X)0.682_7; P(2X2)0.954_5; P(32c 1)P(X2c1)P(Xc3), 2c1c323,c4 3. 答案 4 3 4.(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p, 各成员的支付
4、方式相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数, D(X)2.4, P(X 4)P(X6),则 p() A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3 解析由题意知, 该群体的 10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布, 所 以 D(X)10p(1p)2.4,所以 p0.6 或 p0.4.由 P(X4)P(X6),得 C410p4(1 p)6C610p6(1p)4,即(1p)20.5,所以 p0.6. 答案B 5.(2020合肥检测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量 X,Y,其分布列分别为: X0123 P0.40.30.20.1 Y012 P0.30
5、.50.2 若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是_. 解析E(X)00.410.320.230.11. E(Y)00.310.520.20.9, 所以 E(Y)E(X),故乙技术好. 答案乙 6.(多填题)(2020烟台调研)为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试. 若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布 N(100,17.52).已知成绩在 117.5 分 以上(含 117.5 分)的学生有 80 人,则此次参加考试的学生成绩不超过 82.5 分的概 率为_;如果成绩大于 135 分的为特别优秀,那么本次数学考试成绩特别 优秀的大约有_人.(若 XN(,2),则 P
6、(X)0.68,P(2 X2)0.96) 解析因为数学成绩x服从正态分布N(100, 17.52), 则P(10017.5x10017.5) P(82.5x117.5)0.68,所以此次参加考试的学生成绩不超过 82.5 分的概率 P(x82.5)1P(82.5x117.5) 2 10.68 2 0.16.又 P(10017.52x 10017.52)P(65x135)0.96,所以数学成绩特别优秀的概率 P(x135) 1P(65x135) 2 10.96 2 0.02.又 P(x82.5)P(x117.5)0.16,则本 次考试数学成绩特别优秀的人数大约是 80 0.160.0210. 答
7、案0.1610 考点一离散型随机变量的均值与方差 【例 1】 (2020广州质检)2020 年元旦班级联欢晚会上, 某班设计了一个摸球表演 节目的游戏:在一个纸盒中装有 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球,这些 球除颜色外完全相同,同学不放回地每次摸出 1 个球,若摸到黑球,则停止摸球, 否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目, 摸到白球或 黄球表演 1 个节目,摸到黑球不用表演节目. (1)求 a 同学摸球三次后停止摸球的概率; (2)记 X 为 a 同学摸球后表演节目的个数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解(1)设“a 同学摸球三次后停止摸球”为
8、事件 E, 则 P(E)A 2 3 A34 1 4,故 a 同学摸球三次后停止摸球的概率为 1 4. (2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4. P(X0)1 4,P(X1) 2 A24 1 6,P(X2) 1 A24 A22 A34 1 6,P(X3) C12A22 A34 1 6,P(X 4)A 3 3 A44 1 4. 所以随机变量 X 的分布列为 X01234 P 1 4 1 6 1 6 1 6 1 4 期望 E(X)01 41 1 62 1 63 1 64 1 42. 规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能 值,写出随机变量的分布列,正确运
9、用均值、方差公式进行计算. (2)注意 E(aXb)aE(X)b,D(aXb)a2D(X)的应用. 【训练 1】 (2020泰安模拟)某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况,统计了某 个送外卖小哥某天从 9:00 到 21:00 这个时间段送的 50 单外卖,以 2 小时为一 时间段将时间分成六段,各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表,各时间 段内送外卖的单数的频率分布直方图如图. 时间区间9,11)11,13)13,15)15,17)17,19)19,21 每单收入 (元) 65.566.45.56.5 (1)求频率分布直方图中 a 的值,并求这个外卖小哥送这 50 单获得的收入; (2)
10、这个外卖小哥记得在13,15)这个时间段只有 4 单外卖带有饮品,现在从13, 15)这个时间段送出的外卖中随机抽取 3 单外卖, 求这 3 单外卖中带有饮品的单数 X 的分布列和数学期望. 解(1)由频率分布直方图得 2a12(0.0520.0820.14)0.2,解得 a 0.1.又样本容量 n50, 在9,11)这个时间段送外卖的频数为 0.082508, 同理可求得11,13),13,15),15,17),17,19),19,21这 5 个时间段送外 卖的频数分别为 14,10,5,8,5. 外卖小哥送 50 单的收入为 86145.510656.485.556.5 293.5(元).
11、 (2)由(1)知,在13,15)这个时间段共送 10 单外卖,10 单外卖中有 4 单带饮品,6 单不带饮品,X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X0) C36 C310 20 120 1 6, P(X1)C 1 4C26 C310 60 120 1 2, P(X2)C 2 4C16 C310 36 120 3 10, P(X3) C34 C310 4 120 1 30. X 的分布列为 X0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 E(X)01 61 1 22 3 103 1 30 6 5. 考点二二项分布的均值与方差 【例 2】 (2020昆明诊断)某地区为贯彻习近平总书记关于
12、“绿水青山就是金山银 山” 的理念, 鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗 A, B, C, 经引种试验后发现,引种树苗 A 的自然成活率为 0.8,引种树苗 B,C 的自然成活 率均为 p(0.7p0.9). (1)任取树苗 A,B,C 各一棵,估计自然成活的棵数为 X,求 X 的分布列及数学 期望 E(X). (2)将(1)中的 E(X)取得最大值时 p 的值作为 B 种树苗自然成活的概率.该农户决定 引种 n 棵 B 种树苗,引种后没有自然成活的树苗中有 75%的树苗可经过人工栽培 技术处理,处理后成活的概率为 0.8,其余的树苗不能成活. 求一棵 B 种树苗最终成活的概
13、率; 若每棵树苗最终成活后可获利 300 元, 不成活的每棵亏损 50 元, 该农户为了获 利不低于 20 万元,问至少引种 B 种树苗多少棵? 解(1)依题意,X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 则 P(X0)0.2(1p)20.2p20.4p0.2, P(X1)0.8(1p)20.2C12p(1p) 0.8(1p)20.4p(1p)0.4p21.2p0.8, P(X2)0.2p20.8C12p(1p)0.2p21.6p(1p)1.4p21.6p, P(X3)0.8p2. X 的分布列为 X0123 P0.2p20.4p0.20.4p21.2p0.81.4p21.6p0.8p2 E(X)
14、0(0.2p20.4p0.2)1(0.4p21.2p0.8)2(1.4p21.6p) 30.8p22p0.8. (2)当 p0.9 时,E(X)取得最大值. 一棵 B 种树苗最终成活的概率为 0.90.10.750.80.96. 记 Y 为 n 棵树苗的成活棵数,M(n)为 n 棵树苗的利润, 则 YB(n,0.96),E(Y)0.96n,M(n)300Y50(nY)350Y50n, E(M(n)350E(Y)50n286n, 要使 E(M(n)200 000,则有 n699. 所以该农户至少引种 700 棵 B 种树苗,就可获利不低于 20 万元. 规律方法二项分布的均值与方差 (1)如果
15、XB(n,p),则用公式 E(X)np;D(X)np(1p)求解,可大大减少计算 量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二 项分布,这时,可以综合应用 E(aXb)aE(X)b 以及 E(X)np 求出 E(aXb), 同样还可求出 D(aXb). 【训练 2】 (2020东营质检)互联网使我们的生活日益便捷,网络外卖也开始成为 不少人日常生活中不可或缺的一部分.M 市某调查机构针对该市市场占有率最高 的两家网络外卖企业(以下简称外卖 A、外卖 B)的服务质量进行了调查,从使用过 这两种外卖服务的市民中随机抽取了 1 000 人, 每人分别对这两家外卖企
16、业评分, 满分均为 100 分,并将分数分成 5 组,得到以下频数分布表: 分数 种类 0,20)20,40)40,60)60,80)80,100 外卖 A(人数)50150100400300 外卖 B(人数)100100300200300 表中得分越高,说明市民对网络外卖服务越满意.若得分不低于 60 分,则表明该 市民对网络外卖服务质量评价较高,现将分数按“服务质量指标”划分成以下四 个档次: 分数0,40)40,60)60,80)80,100 服务质量指标0123 用频率表示概率,解决下列问题: (1)从该市使用过外卖 A 的市民中任选 5 人, 记对外卖 A 服务质量评价较高的人数 为
17、 X,求 X 的数学期望; (2)从参与调查的市民中随机抽取 1 人, 试求其评分中外卖 A 的“服务质量指标” 与外卖 B 的“服务质量指标”的差的绝对值等于 2 的概率. 解(1)由频数分布表可知,对外卖 A 服务质量评价较高的频率为300400 1 000 7 10, 将频率作为概率,则从该市使用过外卖 A 的市民中抽取 1 人,对外卖 A 服务质量 评价较高的概率 p 7 10, 显然 XB 5, 7 10 , 故 E(X)5p57 10 7 2. (2)记外卖 A 的“服务质量指标”为事件 Ai,外卖 B 的“服务质量指标”为事件 Bi,i0,1,2,3, 则其评分中外卖 A 的“服
18、务质量指标”与外卖 B 的“服务质量指标” 的差的绝对 值等于 2 的概率为 P(A2B0A3B1A0B2A1B3)P(A2B0)P(A3B1)P(A0B2)P(A1B3)0.40.2 0.30.30.20.20.10.30.24. 考点三均值与方差在决策问题中的应用 【例 3】 某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上, 现 有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 30%,也可 能亏损 15%,且这两种情况发生的概率分别为7 9和 2 9; 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50%,可能
19、损 失 30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为3 5, 1 3和 1 15. 针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. 解若按“项目一”投资,设获利为 X1万元,X1的所有可能取值为 300,150. 则 X1的分布列为 X1300150 P 7 9 2 9 E(X1)3007 9(150) 2 9200(万元). 若按“项目二”投资,设获利 X2万元,X2的所有可能取值为 500,300,0.则 X2的分布列为: X25003000 P 3 5 1 3 1 15 E(X2)5003 5(300) 1 30 1 15200(万元). D(X1)(300
20、200)27 9(150200) 22 935 000, D(X2)(500200)23 5(300200) 21 3(0200) 21 15140 000. 所以 E(X1)E(X2),D(X1)D(X2), 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资. 规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变 量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于 方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 【训练 3】 东方商店欲购进某种食品(保质期两天),此商店每两天购进该食品一 次(
21、购进时,该食品为刚生产的).根据市场调查,该食品每份进价 8 元,售价 12 元,如果两天内无法售出,则食品过期作废,且两天内的销售情况互不影响,为 了解市场的需求情况,现统计该食品在本地区 100 天的销售量如下表: 销售量/份15161718 天数20304010 (视样本频率为概率) (1)根据该食品 100 天的销售量统计表,记两天中一共销售该食品份数为 X,求 X 的分布列与数学期望; (2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据,东方商店一次性购进 32 或 33 份,哪一种得到的利润更大? 解(1)根据题意可得,X 的所有可能取值为 30,31,32,33,34,35,36.
22、则 P(X30)1 5 1 5 1 25, P(X31)1 5 3 102 3 25, P(X32)1 5 2 52 3 10 3 10 1 4, P(X33)1 5 1 102 3 10 2 52 7 25, P(X34) 3 10 1 102 2 5 2 5 11 50, P(X35)2 5 1 102 2 25, P(X36) 1 10 1 10 1 100. X 的分布列如下: X30313233343536 P 1 25 3 25 1 4 7 25 11 50 2 25 1 100 E(X)30 1 2531 3 2532 1 433 7 2534 11 5035 2 2536 1
23、10032.8. (2)当购进 32 份时,利润为 324 1 4 7 25 11 50 2 25 1 100 (3148) 3 25(30416) 1 25 107.5213.924.16125.6(元). 当购进 33 份时,利润为 334 7 25 11 50 2 25 1 100 (324 8) 1 4 (314 16) 3 25 (304 24) 1 2577.883012.963.84124.68(元). 125.6124.68, 可见,当购进 32 份时,利润更大. 考点四正态分布 【例 4】 (1)(多选题)(2020重庆调研)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从 正态分
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