(2022高考数学一轮复习(步步高))第6节 正弦定理和余弦定理.doc
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1、第第 6 节节正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 考试要求掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 知 识 梳 理 1.正、余弦定理 在ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为ABC 外接圆半径, 则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A b sin B c sin C2R a2b2c22bccos_A; b2c2a22cacos_B; c2a2b22abcos_C 常见 变形 (1)a2Rsin A,b2Rsin_B,c 2Rsin_C; (2)sin A a 2R,sin B b 2R,sin C c 2R; (3)abcsin_Asin_
2、Bsin_C; (4)asin Bbsin A,bsin Ccsin B,asin C csin A cos Ab 2c2a2 2bc ; cos Bc 2a2b2 2ac ; cos Ca 2b2c2 2ab 2.在ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系式absin Absin Aabab 解的个数一解两解一解一解无解 3.三角形常用面积公式 (1)S1 2ah a(ha表示 a 边上的高). (2)S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A abc 4R . (3)S1 2r(abc)(r 为内切圆半径). 常用
3、结论与微点提醒 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(AB)sin C;(2)cos(AB)cos C; (3)sinAB 2 cosC 2;(4)cos AB 2 sinC 2. 2.三角形中的射影定理 在ABC 中,abcos Cccos B;bacos Cccos A;cbcos Aacos B. 3.在ABC 中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,ABabsin A sin Bcos Asin B,则 AB.() (3)在ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.() (4)当 b2c2a20 时,ABC 为锐角三角形;当 b2c2a20 时,ABC 为直 角三角形
4、;当 b2c2a20 时,ABC 不一定为锐角三角形. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第二册 P44 例 6 改编)在ABC 中,a2,b3,c4,则 cos B () A.11 16 B.13 16 C.11 14 D.13 14 解析由余弦定理知 cos B2 24232 224 11 16. 答案A 3.(老教材必修 5P10B2 改编)在ABC 中,acos Abcos B,则这个三角形的形状 为_. 解析由正弦定理,得 sin Acos Asin Bcos B, 即 sin 2Asin 2B,所以 2A2B 或 2A2B, 即 AB 或 AB 2, 所以这个三角形为等
5、腰三角形或直角三角形. 答案等腰三角形或直角三角形 4.(2019潍坊二模)若ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 bsin 2Aasin B,且 c2b,则a b等于( ) A.3 2 B.4 3 C. 2D. 3 解析由 bsin 2Aasin B,及正弦定理得 2sin Bsin Acos Asin Asin B,得 cos A 1 2.又 c2b,所以由余弦定理得 a 2b2c22bccos Ab24b24b21 23b 2, 得a b 3.故选 D. 答案D 5.(2018全国卷)在ABC 中,cos C 2 5 5 ,BC1,AC5,则 AB() A.4 2
6、B. 30 C. 29D.2 5 解析由题意得 cos C2cos2 C 212 5 5 2 13 5. 在ABC 中,由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C5212 251 3 5 32, 所以 AB4 2. 答案A 6.(2017浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论 上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到 小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内 接正六边形的面积 S6,S6_. 解析作出单位圆的内接正六边形,如图,则 OAOBAB1, S661 21 2sin 603 3 2 . 答案 3
7、 3 2 考点一利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2019青岛二模)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 2cos2AB 2 cos 2C1,4sin B3sin A,ab1,则 c 的值为() A. 13B. 7C. 37D.6 (2)(2020衡水模拟)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且有 a 1, 3sin Acos C( 3sin Cb)cos A0,则 A_. 解析(1)由 2cos2AB 2 cos 2C1, 可得 2cos2AB 2 1cos 2C0, 则有 cos 2Ccos C0,即 2cos2Ccos C10,
8、 解得 cos C1 2或 cos C1(舍), 由 4sin B3sin A,得 4b3a, 又 ab1, 联立,得 a4,b3, 所以 c2a2b22abcos C1691213,则 c 13. (2)由3sin Acos C( 3sin Cb)cos A0, 得3sin Acos C 3sin Ccos Abcos A, 所以3sin(AC)bcos A,即3sin Bbcos A, 又 a sin A b sin B,所以 3 cos A b sin B a sin A, 从而sin A cos A 1 3tan A 3 3 , 又因为 0A,所以 A5 6 . 答案(1)A(2)5
9、6 规律方法利用正弦定理可解决以下两类三角形问题: 一是已知两角和一角的对 边,求其他边与角;二是已知两边和一边的对角,求其他边与角(该三角形具有 不唯一性,常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断). 利用余弦定理可解决以下两类三角形问题:一是已知两边和它们的夹角,求其他 边与角;二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的,所 以其解也是唯一的. 【训练 1】 (1)在ABC 中,已知 a2,b 6,A45,则满足条件的三角形 有() A.1 个B.2 个C.0 个D.无法确定 (2)(2020沈阳质检)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 s
10、in C 2sin Ccos Bsin A,C 0, 2 ,a 6,cos B1 3,则 b_. 解析(1)bsin A 6 2 2 3,bsin Aab. 满足条件的三角形有 2 个. (2)由正弦定理及题意可得 c2c1 3a,即 a 5 3c,又 a 6,所以 c 3 6 5 ,由 余弦定理得 b2a2c22accos B654 25 12 5 144 25 ,所以 b12 5 . 答案(1)B(2)12 5 考点二判断三角形的形状 【例 2】 (1)(一题多解)在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a 2bcos C,则此三角形一定是() A.等腰直角三角形 B
11、.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (2)(多选题)下列命题中,正确的是() A.在ABC 中,若 AB,则 sin Asin B B.在锐角三角形 ABC 中,不等式 sin Acos B 恒成立 C.在ABC 中,若 acos Abcos B,则ABC 必是等腰直角三角形 D.在ABC 中,若 B60,b2ac,则ABC 必是等边三角形 解析(1)法一由余弦定理可得 a2ba 2b2c2 2ab , 因此 a2a2b2c2,得 b2c2,于是 bc, 从而ABC 为等腰三角形. 法二由正弦定理可得 sin A2sin Bcos C, 因此 sin(BC)2sin Bc
12、os C, 即 sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C,于是 sin(BC)0,因此 BC0,即 BC, 故ABC 为等腰三角形. (2)对于 A,在ABC 中,由正弦定理可得 a sin A b sin B,所以 sin Asin Ba bAB,故 A 正确;对于 B,在锐角三角形 ABC 中,A,B 0, 2 ,且 AB 2,则 2A 2B0,所以 sin Asin 2Bcos B,故 B 正确;对于 C,在 ABC 中,由 acos Abcos B,利用正弦定理可得 sin 2Asin 2B,得到 2A2B 或 2A2B,故 AB 或 A 2B,即ABC 是等腰三
13、角形或直角三角形,故 C 错误;对于 D,在ABC 中,若 B60,b2ac,由余弦定理可得,b2a2 c22accos B,所以 aca2c2ac,即(ac)20,解得 ac.又 B60,所以 ABC 必是等边三角形,故 D 正确.故选 ABD. 答案(1)C(2)ABD 规律方法1.判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的 关系;(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥 梁. 2.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏 掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制. 【训练 2】 (1)
14、在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若c bcos A, 则ABC 为() A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形 (2)设ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos Cccos B asin A,则ABC 的形状为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定 解析(1)由c bcos A,得 sin C sin B0, 所以 sin Csin Bcos A, 即 sin(AB)sin Bcos A, 所以 sin Acos B0,所以 cos B0,sin A1,即 A 2, ABC 为直角三角形. 答案(1
15、)A(2)B 考点三和三角形面积有关的问题 【例 3】 (2019全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 asin AC 2 bsin A. (1)求 B; (2)若ABC 为锐角三角形,且 c1,求ABC 面积的取值范围. 解(1)由题设及正弦定理得 sin AsinAC 2 sin Bsin A. 因为 sin A0,所以 sinAC 2 sin B. 由 ABC180,可得 sinAC 2 cosB 2, 故 cosB 22sin B 2cos B 2. 因为 cosB 20,所以 sin B 2 1 2,所以 B60. (2)由题设及(1)知ABC 的面积
16、SABC 3 4 a. 由(1)知 AC120, 由正弦定理得 acsin A sin C sin(120C) sin C 3 2tan C 1 2. 由于ABC 为锐角三角形,故 0A90,0C90. 结合 AC120,得 30C90, 所以1 2a2,从而 3 8 SABC 3 2 . 因此,ABC 面积的取值范围是 3 8 , 3 2 . 规律方法与三角形面积有关问题的解题策略:(1)利用正弦、余弦定理解三角 形,求出三角形的相关边、角之后,直接求三角形的面积;(2)把面积作为已知 条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 【训练 3】 (2019德州二模)已知ABC 内角 A
17、,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 b2c2a2c(acos Cccos A). (1)求角 A 的大小; (2)若ABC 的面积为4 3 3 ,且 a3,求ABC 的周长. 解(1)b2c2a2c(acos Cccos A)可化为 b2c2a2c a2b2c2 2b b 2c2a2 2b, 即得b 2c2a2 bc 1,所以b 2c2a2 2bc 1 2, 所以 cos A1 2. 又因为 A 为ABC 的内角,所以 A60. (2)根据题意,得 SABC1 2bcsin A 1 2bc 3 2 4 3 3 , 所以 bc16 3 . 由余弦定理得 a2b2c22bccos A (bc
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