（2022高考数学一轮复习(步步高)）第7节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.doc

1、第第 7 节节二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 考试要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； 2.了解二元一次不等式的 几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些 简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 知 识 梳 理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式表示区域 AxByC0直线 AxByC0 某一侧的所有 点组成的平面区域 不包括边界直线 AxByC0包括边界直线 不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.点 P1(x1，y1)和 P2(x2， y2)位于直线 AxByC0 的两侧的充要条件是(

2、Ax1By1 C)(Ax2By2C)0. 3.线性规划的有关概念 名称意义 线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对 x，y 的约 束条件 目标函数关于 x，y 的解析式 线性目标函数关于 x，y 的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解(x，y) 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 常用结论与微点提醒 1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，

3、特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常 选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域 (1)若 B(AxByC)0 时，区域为直线 AxByC0 的上方. (2)若 B(AxByC)0 表示的平面区域在直线 xy10 的下方. (4)直线 axbyz0 在 y 轴上的截距是z b. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 5P86T3 改编)不等式组 x3y60， xy20 表示的平面区域是() 解析x3y60 表示直线 x3y60 及其右下方部分，xy20 表示直 线 xy20 左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项 B. 答案B 3.(老教材必修 5P9

4、1 练习 T1(1)改编)已知 x， y 满足约束条件 yx， xy1， y1， 则 z2x y1 的最大值、最小值分别是() A.3，3B.2，4 C.4，2D.4，4 解析不等式组所表示的平面区域如图所示. 其中 A(1，1)，B(2，1)，C 1 2， 1 2 ， 画直线 l0：y2x，平移 l0过 B 时，zmax4，平移 l0过点 A 时， zmin2. 答案C 4.(2020合肥一中月考)在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组 1xy3， 1xy1表示图 形的面积等于() A.1B.2C.3D.4 解析不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形 ABCD，其中 A(0， 1)

5、，D(1，0)，边长 AD 2，则正方形的面积 S 2 22. 答案B 5.(2018北京卷)若 x，y 满足 x1y2x，则 2yx 的最小值是_. 解析作出不等式组 y2x， x1y所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令 z2y x，作出直线 2yx0，平移该直线，当直线过点 A(1，2)时，2yx 取得最小 值，最小值为 2213. 答案3 6.已知 x，y 满足 xy50， xy0， x3， 若使得 zaxy 取最大值的点(x，y)有无数个，则 a 的值为_. 解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线 zax y 和直线 AB 重合时，z 取得最大值的点(x，

6、y)有无数个，akAB1，a 1. 答案1 考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域 【 例 1】(1)(2019 北 京 西城 区 二 模 ) 在 平 面直 角 坐 标系 中 ， 不等 式 组 3xy0， x 3y20， y0 表示的平面区域的面积是() A. 3 2 B. 3C. 2D.2 3 (2)若不等式组 xy0， 2xy2， y0， xya 表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围是 () A. 4 3，B.(0，1 C. 1，4 3D.(0，1 4 3， 解析(1)作出不等式组表示的平面区域是以点 O(0，0)，B(2，0)和 A(1， 3) 为顶点的三角形区域，如图所示

7、的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积 为1 22 3 3. (2)作出不等式组 xy0， 2xy2， y0 表示的平面区域(如图中阴影部分表示).由图知， 要使 原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线 l：xya 在 l1，l2之 间(包含 l2，不包含 l1)或 l3上方(包含 l3)，故 0a1 或 a4 3. 答案(1)B(2)D 规律方法平面区域的形状问题主要有两种题型： (1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； (2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但 要注意对参数进行必要的讨论. 【训练 1】 (

8、2019深圳二模)已知直线 ykx3 经过不等式组 xy20， 2xy4， y4 所表 示的平面区域，则实数 k 的取值范围是() A. 7 2， 3 2B. ，7 2 3 2， C. 7 2， 7 4D. ，7 2 7 4， 解析画出不等组 xy20， 2xy4， y4 所表示的平面区域，如图所示，直线 ykx3 过定点 M(0，3)， 由 y4， xy20，解得 A(2，4)， 当直线 ykx3 过点 A 时，k 34 0（2） 7 2； 由 2xy4， xy20，解得 B(2，0)， 当直线 ykx3 过点 B 时，k30 02 3 2. 由图形知，实数 k 的取值范围是 ，7 2 3

9、2，. 答案B 考点二求目标函数的最值多维探究 角度 1求线性目标函数的最值 【例 21】 (2019浙江卷)若实数 x， y 满足约束条件 x3y40， 3xy40， xy0， 则 z3x2y 的最大值是() A.1B.1C.10D.12 解析如图，不等式组表示的平面区域是以 A(1，1)，B(1，1)，C(2，2)为顶 点的ABC 区域(包含边界).作出直线 y3 2x 并平移，知当直线 y 3 2x z 2经过 C(2，2)时，z 取得最大值，且 zmax322210. 答案C 规律方法求目标函数 zaxby 的最大值或最小值，先准确作出可行域，令目 标函数 z0，将直线 axby0 平

10、行移动，借助目标函数的几何意义求目标函数 的最值. 角度 2求非线性目标函数的最值 【例22】(2020衡水中学六调)设x， y满足约束条件 xy60， x3， xy30， 则zxy1 x1 的取值范围是() A.(，81，)B.(，101，) C.8，1D.10，1 解析由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界). 由题意知点 A 3 2， 9 2 ，B(3，0)，C(3，9). 而目标函数 zxy1 x1 1 y x1的几何意义是可行域内的点(x，y)与点(1，0) 连线的斜率与 1 的和，由图可知， y x10 或 y x19，所以 z1 或 z8， 即 zxy1 x1 的取值

11、范围为(，81，).故选 A. 答案A 规律方法目标函数不是直线形式时，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常 见代数式的几何意义主要有： (1) x2y2表示点(x，y)与原点(0，0)间的距离， （xa）2（yb）2表示点(x， y)与点(a，b)间的距离； (2)y x表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率， yb xa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜 率. 角度 3求参数值或取值范围 【例 23】 (2020惠州调研)已知实数 x，y 满足 x3y50， xy10， xa0， 若 zx2y 的最 小值为4，则实数 a() A.1B.2C.4D.8 解析作出不等式组表示的平面区域

12、，如图中阴影部分所示，当直线 zx2y 经 过点 C a，a5 3时，z 取得最小值4，所以a2a5 3 4，解得 a2. 答案B 规律方法当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件. 【训练 2】 (1)(角度 1)(2019全国卷)若变量 x， y 满足约束条件 2x3y60， xy30， y20， 则 z3xy 的最大值是_. (2)(角度 2)若 x，y 满足约束条件 xy20， 2y10， x10， 则 zx22xy2的最小值为() A.1 2 B.1 4 C.1 2 D.3 4 (3)(角度 3)若 x，y 满足条件 3x5y60， 2x3y150， y0， 当且仅

13、当 xy3 时，zaxy 取 最大值，则实数 a 的取值范围是() A. 2 3， 3 5B. ，3 5 2 3， C. 3 5， 2 3D. ，2 3 3 5， 解析(1)作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线 y 3xz 过点 C 时，z 最小，即 z 最大. 由 xy30， 2x3y60，解得 x3， y0， 所以 C 点坐标为(3，0)， 故 zmax3309. (2)画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，zx22xy2(x1)2 y21，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(1，0)的距离的平方再减去 1. 观察图形可得，平面区域内的点到定点(

14、1，0)的距离的最小值为1 2，故 zx 2 2xy2的最小值为 zmin1 41 3 4. (3)不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数的斜率满足2 3a 3 5， 即3 5a 2 3时，zaxy 仅在 xy3 时取得最大值，故选 C. 答案(1)9(2)D(3)C 考点三实际生活中的线性规划问题 【例 3】 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料.已知生产 1 吨每种产 品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、 乙产品可获利润分 别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为() 甲乙原料限额 A(吨)3212 B(吨)128 A.12 万元

15、B.16 万元 C.17 万元D.18 万元 解析设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨，每天所获利润为 z 万元，则有 3x2y12， x2y8， x0，y0， 目标函数 z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所 示， 可得目标函数在点 A 处取到最大值. 由 x2y8， 3x2y12得 A(2，3). 则 zmax324318(万元). 答案D 规律方法1.解线性规划应用题的步骤. (1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问 题； (2)求解解这个纯数学的线性规划问题； (3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案. 2.解线性规划应用题，可先找

16、出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母 表示变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题. 【训练 3】 某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A，B 两种 车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行 社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为() A.31 200 元B.36 000 元 C.36 800 元D.38 400 元 解析设旅行社租用 A 型客车 x 辆，B 型客车 y 辆，租金为 z 元，则线性约束条 件为 xy21， yx7， 36x

17、60y900， x，yN. 目标函数为 z1 600 x2 400y. 画出可行域如图中阴影部分所示， 可知目标函数过点 N 时，取得最小值， 由 yx7， 36x60y900，解得 x5， y12，故 N(5，12)， 故 zmin1 60052 4001236 800(元). 答案C 直观想象高考命题中线性规划问题类型探析 直观想象是指借助生动的几何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律. 线性规划问题是在一组约束条件下，利用数形结合求最优解，求解方法灵活，常 考常新. 类型 1目标函数含参数 【例 1】 设不等式组 x0， x3y4， 3xy4 所表示的平面区域为 D，若直线 ya(

18、x1)与 D 有公共点，则 a 的取值范围是_. 解析由可行域(如图)易知直线 ya(x1)过定点 P(1，0). 当直线 ya(x1)经过 x3y4 与 3xy4 的交点 A(1，1)时，a 取得最小值1 2； 当直线 ya(x1)经过 x0 与 3xy4 的交点 B 时， a 取得最大值 4. 故 a 的取值范围为 1 2，4. 答案 1 2，4 思维升华1.“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规 则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆 向思维及数形结合解决问题的能力. 2.当“目标函数”含参时，可先画出可行域，然后用数形结合思想，通过比

19、较目 标函数与边界有关直线的倾斜程度，直观求解. 类型 2线性约束条件含参 【例 2】 已知 z2xy，其中实数 x，y 满足 yx， xy2， xa， 且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是() A. 2 11 B.1 4 C.4D.11 2 解析作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z2xy 得 y2xz， 由图可知当直线 y2xz 经过点 A 时，直线的纵截距最大，z 取最大值. 由 xy2， yx， 解得 x1， y1，即 A(1，1)， zmax2113. 当直线 y2xz 经过点 B 时，直线的纵截距最小，此时 z 最小. 由 xa， yx，解得 xa， ya，则点 B

20、(a，a). zmin2aa3a， z 的最大值是最小值的 4 倍， 343a，即 a1 4. 答案B 思维升华当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边 界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化 为一般形式的线性规划问题. 类型 3“隐性”的线性规划问题 【例 3】 如果函数 f(x)1 2(m2)x 2(n8)x1(m0，n0)在区间 1 2，2上单调 递减，则 mn 的最大值为() A.16B.18 C.25D.81 2 解析f(x)(m2)xn8.由已知得： 对任意的x 1 2，2， f(x)0， 所以f 1 2 0， f(2)0，所以

21、m0，n0， m2n18， 2mn12. 画出可行域，如图，令 mnt， 则当 n0 时，t0；当 n0 时，mt n. 由线性规划的相关知识，只有当直线 2mn12 与曲线 mt n相切时，t 取得最大 值. 由 t n2 1 2， 61 2n t n， 解得 n6，t18.所以(mn)max18. 答案B 思维升华1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”， 有效实现了知识模块的交汇， 例 3 要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m，n”的约束条件. 2.解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住 可行域中所求点的相应几何意义.该题立意新颖，在注意基础知识的同时，渗透

22、了 等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力. A 级基础巩固 一、选择题 1.已知点(3，1)和点(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则 a 的取值范围为 () A.(24，7) B.(7，24) C.(，7)(24，) D.(，24)(7，) 解析根据题意知(92a)(1212a)0，即(a7)(a24)0，解得 7a24. 答案B 2.在平面直角坐标系中，不等式组 x0， xy2， xy 所表示的平面区域的面积为() A.1B.2C.4D.8 解析不等式组表示的平面区域是以点(0，0)，(0，2)和(1，1)为顶点的三角形区 域(含边界)，则面积为1 2211. 答案A

23、3.设 x，y 满足约束条件 2x3y30， 2x3y30， y30， 则 z2xy 的最小值是() A.15B.9C.1D.9 解析作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点 B(6， 3)处取得最小值 zmin12315. 答案A 4.(2019天津卷)设变量 x，y 满足约束条件 xy20， xy20， x1， y1， 则目标函数 z4xy 的最大值为() A.2B.3C.5D.6 解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示. z4xy 可化为 y4xz， 作直线 l0：y4x，并进行平移，显然当 l0过点 A(1，1)时，z 取得最大值， zmax4(1)15

24、.故选 C. 答案C 5.(一题多解)(2019全国卷)记不等式组 xy6， 2xy0 表示的平面区域为 D.命题 p： (x，y)D，2xy9；命题 q：(x，y)D，2xy12.下面给出了四个命题： pq；綈 pq；p綈 q；綈 p綈 q. 这四个命题中，所有真命题的编号是() A.B.C.D. 解析法一画出可行域如图中阴影部分所示. 目标函数 z2xy 是一组平行移动的直线， 且 z 的几何意义是直线 z2xy 的纵 截距.显然，直线过点 A(2，4)时，zmin2248，即 z2xy8. 2xy8，). 由此得命题 p：(x，y)D，2xy9 正确； 命题 q：(x，y)D，2xy12

25、 不正确. 真，假. 法二取 x4，y5，满足不等式组 xy6， 2xy0，且满足 2xy9，不满足 2x y12，故 p 真，q 假. 真，假. 答案A 6.(2019武汉模拟)已知 xy0， 3xy60， xy20， 则 z22x y 的最小值是() A.1B.16C.8D.4 解析作出不等式组对应的平面区域如图， 设 m2xy，则 y2xm， 由图可知当直线 y2xm 经过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， 此时 m 最小，z 也最小， 由 xy0， xy20解得 x1， y1，即 A(1，1)， mmin2113，则 zmin238. 答案C 7.(2020长沙一模)若 x，y

26、满足 xy0， xy0， x1， 则 z2xy 的取值范围是() A.0，3B.1，3 C.3，0D.3，1 解析作出 xy0， xy0， x1 表示的可行域如图中阴影部分所示： 联立 x1， xy0，解得 x1， y1， 即 B(1，1)， 化目标函数 z2xy 为 y2xz， 由图可知，当直线 y2xz 过原点时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值， 为 2000； 当直线 y2xz 过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值，为 21( 1)3， z2xy 的取值范围是0，3.故选 A. 答案A 8.(2019北京卷)若 x，y 满足|x|1y，且 y1，则 3xy 的

27、最大值为() A.7B.1C.5D.7 解析由|x|1y，且 y1，得 xy10， xy10， y1. 作出可行域如图阴影部分所示. 设 z3xy，则 y3xz. 作直线 l0：y3x，并进行平移. 显然当 l0过点 A(2，1)时，z 取最大值，zmax3215.故选 C. 答案C 二、填空题 9.(2020河南六校联考)不等式组 x20， x2y40， xy20 表示的平面区域的面积为 _. 解析依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示. 平面区域为ABC 及其内部，其中 A(2，0)，B(0，2)，C(2，3)， 所以所求面积为 1 22|AC|3. 答案3 10.(多填题)(2019北

28、京卷)若 x，y 满足 x2， y1， 4x3y10， 则 yx 的最小值为 _，最大值为_. 解析作出可行域，如图阴影部分所示. 设 zyx，则 yxz. z 的几何意义是直线 yxz 的纵截距，通过图象可知，当直线 yxz 经过点 A(2，3)时，z 取得最大值，此时 zmax321.当经过点 B(2，1)时，z 取得最 小值，此时 zmin123. 答案31 11.若 x，y 满足约束条件 x10， xy0， xy40， 则y x的最大值为_. 解析作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示， 由斜率的意义知， y x是可 行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A(1，3)与原点连线

29、的斜率最大， 故y x的最大值为 3. 答案3 12.已知实数 x，y 满足 x2y0， xy0， 0yk， 且 zxy 的最大值为 6，则(x5)2y2的最小 值为_. 解析如图，作出不等式组 x2y0， xy0， 0yk 对应的平面区域， 由 zxy，得 yxz，平移直线 yx，由图可知当直线 yxz 经过点 A 时，直线 yxz 在 y 轴上的截距最大，此时 z 最大，为 6，即 xy6.由 xy6， xy0 得 A(3，3)，直线 yk 过点 A，k3. (x5)2y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与 D(5，0)的距离的平方，由可行 域可知，(x5)2y2min等于 D(5，0)

30、到直线 x2y0 的距离的平方. 则(x5)2y2的最小值为 |5| 1222 2 5. 答案5 B 级能力提升 13.(2020九江重点中学联考)已知实数 x， y 满足线性约束条件 xy2， yx， x1， 则其表示 的平面区域外接圆的面积为() A.B.2C.4D.6 解析依据不等式组画出可行域如图(ABC 及其内部)， xy2 与 yx 垂直， ABC 为直角，即ABC 为直角三角形， AC 为ABC 外接圆的直径， 又 A(1，3)，C(1，1)， AC4，ABC 外接圆的半径 r2， ABC 外接圆的面积为r24， 即所求平面区域外接圆的面积为 4.故选 C. 答案C 14.(20

31、19漳州一模)若实数 x，y 满足 3xy30， x2y20，则 xy( ) A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值 C.既有最小值也有最大值 D.既无最小值也无最大值 解析依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示. 由 3xy30， x2y20 得 A 8 5， 9 5 . 由图易知：当 x8 5，y 9 5时， xy 有最小值17 5 ，没有最大值.故选 A. 答案A 15.已知实数 x，y 满足 y1， y2x1， xym. 如果目标函数 zxy 的最小值为1，则实数 m_. 解析画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线 l：yx，平移 l 可知，当直线 l 经过 A 时

32、符合题意， 由 y2x1， xy1，解得 x2， y3. 又 A(2，3)在直线 xym 上，则 m5. 答案5 16.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲产品的利 润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中，要求 每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、 乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是_. 解析设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，则根据题意得 x、y 的约束条件 为

33、x0，xN， y0，yN， x2y12， 2xy12. 设获利 z 元，则 z300 x400y. 画出可行域如图. 画直线 l：300 x400y0， 即 3x4y0. 平移直线 l，从图中可知， 当直线过点 M 时， 目标函数取得最大值. 由 x2y12， 2xy12，解得 x4， y4， 即 M 的坐标为(4，4)， zmax300440042 800(元). 答案2 800 元 C 级创新猜想 17.(多选题)设不等式组 yx， 3yx， xy4 表示的平面区域为1，不等式(x2)2(y2)22 表示的平面区域为2，对于1中的任意一点 M 和2中的任意一点 N，则() A.1的面积为

34、2 B.|MN|的最小值为 2 C.|MN|的最大值为 3 2 D.直线 MN 斜率的最小值为2 3 解析不等式组 yx， 3yx， xy4 表示的平面区域1和不等式(x2)2(y2)22 表示的 平面区域2如图所示， 由 yx， xy4得点 A 的坐标为(2，2)，|OA|2 2， 由 xy4， 3yx 得点 B 的坐标为(3，1)，|AB| 2. 又 xy4 与 yx 垂直，所以OAB 为直角，即AOB 为直角三角形. 故1的面积为 SAOB1 2|OA|AB| 1 22 2 22，故 A 正确； 对于1中的任意一点 M 和2中的任意一点 N，|MN|的最小值就是点(0，0)与圆(x 2)2(y2)22 的圆心(2，2)连线的长度减去半径， 即为 （20）2（20）2 2 2，故 B 正确； |MN|的最大值是点 B(3，1)与圆(x2)2(y2)22 的圆心(2，2)的连线的长度 加上半径， 即为 （23）2（21）2 2 26 2，故 C 不正确； 设过原点 O 的直线为 ykx，即 kxy0，当直线 ykx 和圆(x2)2(y2)22 相切时，即|2k2| k21 2，解得 k2 3或2 3，由图可知直线 MN 的斜率 的最小值为2 3，故 D 正确. 答案ABD