(2022高考数学一轮复习(步步高))第7节 函数的图象.doc
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1、第第 7 节节函函数的图象数的图象 考试要求1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表 法、解析法)表示函数;2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程 解的个数与不等式解的问题. 知 识 梳 理 1.利用描点法作函数的图象 步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、 单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小 值点、与坐标轴的交点等),描点,连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)的图象 关于 x 轴对称yf(x)的图象; yf(x)的图象 关于
2、 y 轴对称yf(x)的图象; yf(x)的图象 关于原点对称yf(x)的图象; yax(a0,且 a1)的图象 关于直线 yx 对称ylog ax(a0,且 a1)的图象. (3)伸缩变换 yf(x) 纵坐标不变 各点横坐标变为原来的1 a(a0)倍 yf(ax). yf(x) 横坐标不变 各点纵坐标变为原来的 A(A0)倍 yAf(x). (4)翻折变换 yf(x)的图象 x 轴下方部分翻折到上方 x 轴及上方部分不变 y|f(x)|的图象; yf(x)的图象 y 轴右侧部分翻折到左侧 原 y 轴左侧部分去掉,右侧不变 yf(|x|)的图象. 常用结论与微点提醒 1.记住几个重要结论 (1
3、)函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa 对称. (2)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a,b)中心对称. (3)若函数 yf(x)对定义域内任意自变量 x 满足:f(ax)f(ax),则函数 yf(x) 的图象关于直线 xa 对称. 2.图象的左右平移仅仅是相对于 x 而言, 如果 x 的系数不是 1, 常需把系数提出来, 再进行变换. 3.图象的上下平移仅仅是相对于 y 而言的,利用“上减下加”进行. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)当 x(0,)时,函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象相同.() (2)函数
4、yaf(x)与 yf(ax)(a0 且 a1)的图象相同.() (3)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称.() (4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x),则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对 称.() 解析(1)令 f(x)x,当 x(0,)时,y|f(x)|x,yf(|x|)x,两者图象 不同,(1)错. (2)中两函数当 a1 时,yaf(x)与 yf(ax)是由 yf(x)分别进行振幅与周期变换 得到,两图象不同,(2)错. (3)yf(x)与 yf(x)图象关于 x 轴对称,(3)错. (4)中,f(2x)f1(1x)f1(1x)f(x),所以 yf(x)的
5、图象关于直线 x 1 对称,(4)正确. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 1P24A7 改编)下列图象是函数 y x2,x0, x1,x0的图象的是( ) 解析其图象是由 yx2图象中 x0,排除 B,C,只有 D 满足. 答案D 6.(2020海南调研)已知函数 f(x)的图象如图所示,则函数 g(x) log2f(x)的定义域是_. 解析当 f(x)0 时,函数 g(x)log2f(x)有意义,由函数 f(x)的 图象知满足 f(x)0 时,x(2,8. 答案(2,8 考点一作函数的图象 【例 1】 作出下列函数的图象: (1)y 1 2 |x| ;(2)y|log2(x1
6、)|; (3)yx22|x|1. 解(1)先作出 y 1 2 x 的图象,保留 y 1 2 x 图象中 x0 的部分,再作出 y 1 2 x 的 图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分,即得 y 1 2 |x| 的图象,如图实线部分. (2)将函数 ylog2x 的图象向左平移一个单位,再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上 去,即可得到函数 y|log2(x1)|的图象,如图. (3)y x22x1,x0, x22x1,x0, 且函数为偶函数, 先用描点法作出0, )上的图象, 再根据对称性作出(,0)上的图象,得图象如图. 规律方法作函数图象的一般方法 (1)直接法.当函数解析式(或变形
7、后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些 函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到, 可利用图象变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式 的影响. 【训练 1】 分别作出下列函数的图象: (1)y|lg x|;(2)ysin |x|. 解(1)先作出函数 ylg x 的图象, 再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去, 即可得 函数 y|lg x|的图象,如图实线部分. (2)当 x0 时,ysin|x|与 ysin x 的图象完全相同,又 ysin|x|为偶函数,图象 关于 y 轴对称,其图象如图
8、. 考点二函数图象的辨识 【例 2】 (1)(2019全国卷)函数 y 2x3 2x2 x在6,6的图象大致为( ) (2)(2020深圳模拟)函数 f(x) 1x2 lg|x| 的图象大致为() 解析(1)因为 yf(x) 2x3 2x2 x,x6,6, 所以 f(x)2(x) 3 2 x2x 2x3 2 x2xf(x), 所以 f(x)是奇函数,排除选项 C. 当 x4 时,y 243 242 4 128 16 1 16 (7,8),排除 A,D 项,B 正确. (2)由 1x20, |x|0 且|x|1,得1x0 或 0 x1, 所以 f(x)的定义域为(1,0)(0,1),关于原点对称
9、. 又 f(x)f(x),所以函数 f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称,排除 A; 当 0 x1 时,lg |x|0,f(x)0 且 x0 时,f(x)0,排除 D,只有 B 项符合. 答案(1)B(2)B 规律方法1.抓住函数的性质,定性分析: (1)从函数的定义域, 判断图象的左右位置; 从函数的值域, 判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从周期性,判断图象的循环往复; (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征,定量计算: 从函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 【训练 2】 (1)(2020广州调研)函数 f(x)
10、3 x3x x4 的大致图象为() (2)(一题多解)(2017全国卷)函数 y1xsin x x2 的部分图象大致为() 解析(1)易知定义域为(,0)(0,),关于原点对称.f(x) 3 x3x (x)4 3 x3x x4 f(x),则 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除 A,f(1)31 3 8 30,排除 D,当 x时,3 x,则 f(x),排除 C,选项 B 符合. (2)法一易知 g(x)xsin x x2 为奇函数, 故 y1xsin x x2 的图象关于点(0, 1)对称, 排除 C;当 x(0,1)时,y0,排除 A;当 x时,y1,排除 B,选项 D 满足. 法二当
11、 x1 时,f(1)11sin 12sin 12,排除 A,C;又当 x时, y,排除 B,而 D 满足. 答案(1)B(2)D 考点三函数图象的应用多维探究 角度 1研究函数的性质 【例 31】 已知函数 f(x)x|x|2x,则下列结论正确的是() A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,) B.f(x)是偶函数,递减区间是(,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(,0) 解析将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值得 f(x) x22x,x0, x22x,x0, 画出函数 f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数 f(x)的图象关于原点对称,故
12、函 数 f(x)为奇函数,且在(1,1)上是递减的. 答案C 角度 2函数图象在不等式中的应用 【例 32】 (1)(2020青岛模拟)已知函数 f(x)2|x|,若关于 x 的不等式 f(x)x2 xm 的解集中有且仅有 1 个整数,则实数 m 的取值范围为() A.3,1)B.(3,1) C.2,1)D.(2,1) (2)函数 f(x)是定义在4,4上的偶函数,其在0,4上的图象 如图所示,那么不等式f(x) cos x 0 的解集为_. 解析(1)在同一平面直角坐标系中作出函数 yf(x),yx2xm 的图象如图所 示. 由图可知,不等式 f(x)x2xm 的解集中的整数解为 x0, 故
13、 f(0)00m, f(1)11m, 解得2m0. 当 x 2,4时,ycos x0. 结合 yf(x),x0,4上的图象知,当 1x 2时, f(x) cos x 0.又函数 yf(x) cos x 为偶 函数, 所以在4,0上,f(x) cos x 0 的解集为 2,1, 所以f(x) cos x 0,若只存在两个整数 x,使得 f(x)0,则 a 的取值范围是_. 解析f(x)|x22x|axa0,则|x22x|axa, 分别画出 y|x22x|与 ya(x1)的图象,如图所示. 只存在两个整数 x,使得 f(x)0, 当 x1 时,|122|1,令 2a1, 解得 a1 2,此时有 2
14、 个整数使 f(x)0, 即 x0 或 x1, 结合图象可得 a 的取值范围为 0,1 2 . 答案 0,1 2 规律方法1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数, 其性质(单调性、 奇偶性、 周期性、 最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程 f(x)g(x)的根就是 函数 f(x)与 g(x)图象交点的横坐标;不等式 f(x)g(x)的解集是函数 f(x)的图象位于 g(x)图象下方的点的横坐标的集合,体现了数形结合思想. 【训练 3】 (1)(多选题)(角度 1
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