(2022高考数学一轮复习(步步高))第6节 对数与对数函数.doc
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1、第第 6 节节对数与对数函数对数与对数函数 考试要求1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成 自然对数或常用对数;2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助 计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3.知道对数函数 ylogax 与指数函数 yax互为反函数(a0,且 a1). 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果 axN(a0,且 a1),那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 xlogaN,其 中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质:alogaNN;logaabb(a
2、0,且 a1). (2)对数的运算性质 如果 a0 且 a1,M0,N0,那么 loga(MN)logaMlogaN; logaM Nlog aMlogaN; logaMnnlogaM(nR). (3)换底公式:logbNlogaN logab(a,b 均大于零且不等于 1,N0). 3.对数函数及其性质 (1)概念:函数 ylogax(a0,且 a1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的 定义域是(0,). (2)对数函数的图象与性质 a10a1 时,y0; 当 0 x1 时,y1 时,y0; 当 0 x0 在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数 4.反函数 指数函数 yax(a0,且
3、 a1)与对数函数 ylogax(a0,且 a1)互为反函数, 它们的图象关于直线 yx 对称. 常用结论与微点提醒 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab 1 logba(a0,且 a1;b0,且 b1). (2)logambnn mlog ab(a0,且 a1;b0;m,nR,且 m0). 2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数 ylogax(a0,且 a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1), 1 a,1, 函数图象只在第一、四象限. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)log2x22log2x.() (2
4、)函数 ylog2(x1)是对数函数.() (3)函数 yln 1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同.( ) (4)当 x1 时,若 logaxlogbx,则 ab.() 解析(1)log2x22log2|x|,故(1)错. (2)形如 ylogax(a0,且 a1)为对数函数,故(2)错. (4)若 0b1bcB.acb C.cbaD.cab 解析0a1,b1.cab. 答案D 4.(2018全国卷)设 alog0.20.3,blog20.3,则() A.abab0B.abab0 C.ab0abD.ab00,1 blog 0.320. 01 a 1 blog 0.30.41,
5、即 0ab ab 0,b0,故 abab0,且 a1)的图象如图,则下列结论成立的是() A.a1,c1 B.a1,0c1 C.0a1 D.0a1,0c1 解析由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以 0a0, 即 logac0,所以 0c1. 答案D 6.(2020河北“五个一”名校联盟诊断)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0,且 a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运 算中应注意互化. 【训练 1】 (1)(2019北京卷)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来 描述.两颗星的星等与亮度满足 m2m15 2lg E1 E2, 其中星等为 m k的星的亮度为
6、Ek(k 1,2).已知太阳的星等是26.7,天狼星的星等是1.45,则太阳与天狼星的亮 度的比值为() A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10 10.1 (2)(多填题)已知ab1, 若logablogba5 2, a bba, 则a_, b_. 解析(1)依题意, m126.7, m21.45, 代入所给公式得 5 2lg E1 E21.45( 26.7)25.25. 所以 lg E1 E225.25 2 510.1,即 E1 E210 10.1. (2)设 logbat,则 t1,因为 t1 t 5 2, 所以 t2,则 ab2.又 abba, 所以 b2bbb2,即 2
7、bb2, 又 ab1,解得 b2,a4. 答案(1)A(2)42 考点二对数函数的图象及应用 【例 2】 (1)(2020济南调研)已知 lg alg b0,则函数 f(x)a x 与函数 g(x) logbx 的图象可能是() (2)已知函数 f(x) log2x,x0, 3x,x0, 且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实 根,则实数 a 的取值范围是_. 解析(1)由 lg alg b0,得 ab1. f(x)a x 1 b x bx, 因此 f(x)bx与 g(x)logbx 单调性相同. A,B,D 中的函数单调性相反,只有 C 的函数单调性相同. (2)如图,在同一坐标
8、系中分别作出 yf(x)与 yxa 的 图象,其中 a 表示直线 yxa 在 y 轴上的截距. 由图可知, 当 a1 时,直线 yxa 与 yf(x)只有一个交 点. 答案(1)C(2)(1,) 规律方法1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特 殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法 求解. 【训练 2】 (1)若函数 f(x)log2(x1),且 abc0,则f(a) a , f(b) b , f(c) c 的 大小关系是() A.f(a) a f(b) b f(c) c
9、B.f(c) c f(b) b f(a) a C.f(b) b f(a) a f(c) c D.f(a) a f(c) c f(b) b (2)当 x(1,2)时,不等式(x1)2bc 时,f(c) c f(b) b f(a) a . (2)由题意,易知 a1. 如图,在同一坐标系内作出 y(x1)2,x(1,2)及 ylogax, x(1,2)的图象. 若 ylogax 过点(2,1),得 loga21,所以 a2. 根据题意,函数 ylogax,x(1,2)的图象恒在 y(x1)2,x(1,2)的上方. 结合图象,a 的取值范围是(1,2. 答案(1)B(2)C 考点三解决与对数函数性质有
10、关的问题多维探究 角度 1比较大小 【例 31】 (1)已知 alog23log23,blog29log23,clog32,则 a,b, c 的大小关系是() A.abcC.abbc (2)(2019天津卷)已知 alog52,blog0.50.2,c0.50.2,则 a,b,c 的大小关系 为() A.acbB.abc C.bcaD.ca1,blog29log23 log23 3a,clog32c. (2)因为 ylog5x 是增函数, 所以 alog52log0.50.51. 因为 y0.5x是减函数,所以 0.50.51c0.50.20.501, 即 0.5c1.所以 ac2 的解集为(
11、) A.(2,)B. 0,1 2 (2,) C. 0, 2 2 ( 2,)D.( 2,) (2)已知函数 f(x)loga(8ax)(a0,且 a1),若 f(x)1 在区间1,2上恒成立, 则实数 a 的取值范围是_. 解析(1)因为偶函数 f(x)在(,0上是减函数,所以 f(x)在(0,)上是增函 数,又 f(1)2,所以不等式 f(log2x)2,即|log2x|1,解得 0 x2. (2)当 a1 时,f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数,由 f(x)1 在区间1,2上恒 成立, 则 f(x)minf(2)loga(82a)1,且 82aa, 解得 1a8 3. 当 0a1
12、在区间1,2上恒成立, 知 f(x)minf(1)loga(8a)1,且 82a0. 8a0,此时解集为. 综上可知,实数 a 的取值范围是 1,8 3 . 答案(1)B(2) 1,8 3 规律方法形如 logaxlogab 的不等式,借助 ylogax 的单调性求解,如果 a 的 取值不确定,需分 a1 与 0a0 恒成立. 即 a 1 2x恒成立,由于 1 2x(,0), 故只要 a0,则 a 的取值范围是0,). (3)由已知得函数 f(x)是减函数,故 f(x)在区间0,1上的最大值是 f(0)log2(1 a),最小值是 f(1)log2 1 2a. 由题设得 log2(1a)log
13、2 1 2a2, 则 log2(1a)log2(4a2). 1a4a2, 4a20, 解得1 2a 1 3. 故实数 a 的取值范围是 1 2, 1 3 . 规律方法1.研究函数性质,要树立定义域优先的原则,讨论函数的一切问题都 在定义域上进行. 2.解题注意几点:(1)由 f(0)0,得 a0,需验证 f(x)f(x).(2)f(x)的定义域 为 R,转化为不等式恒成立问题.(3)第(3)问运用转化思想,把对数不等式转化为 等价的代数不等式. 【训练 3】 (1)(多选题)(角度 1)设不为 1 的实数 a,b,c 满足 abc0,下列 选项错误的是() A.logcblogabB.loga
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