（2022高考数学一轮复习(步步高)）第4节 直线、平面平行的判定与性质.doc

1、第第 4 节节直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质 考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关 空间图形的平行关系的简单命题. 知 识 梳 理 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线 l 与平面没有公共点，则称直线 l 与平面平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定 定理 平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行， 则该直线平 行于此平面 a，b， aba 性质 定理 一条直线和一个平面平行， 则 过这条直线的任一平面与此 平面的交线与该直

2、线平行 a，a， bab 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行 a， b， abP， a，b 性质定理 两个平面平行，则其中 一个平面内的直线平行 于另一个平面 ，aa 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那 么它们的交线平行 ，a， bab 常用结论与微点提醒 1.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若，则. (3)垂直于同一个平面的

3、两条直线平行，即若 a，b，则 ab. 2.三种平行关系的转化 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思 想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转 化方向. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.() (2)若直线 a平面，P，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条.() (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.() (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.() 解析(1)若一条直线和

4、平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 或在平面内，故(1)错误. (2)若 a，P，则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条，故(2)错误. (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交， 故(3)错误. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 2P61A 组 T1(2)改编)下列说法中，与“直线 a平面”等价的是 () A.直线 a 上有无数个点不在平面内 B.直线 a 与平面内的所有直线平行 C.直线 a 与平面内无数条直线不相交 D.直线 a 与平面内的任意一条直线都不相交 解析因为 a平面，所以直线 a 与平面无交点，因此 a 和平面内的任

5、意一 条直线都不相交，故选 D. 答案D 3.(新教材必修第二册 P142T2 改编)平面平面的一个充分条件是() A.存在一条直线 a，a，a B.存在一条直线 a，a，a C.存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D.存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 解析若l，al，a，a，a，a，故排除 A； 若l，a，al，则 a，故排除 B； 若l，a，al，b，bl，则 a，b，故排除 C； 故选 D. 答案D 4.(2020洛阳尖子生联考)设 l，m 是两条不同的直线，是两个不同的平面， 且 l，m，下列结论正确的是() A.若，则 lB.若 lm，则 C.若，则 lD.若 lm，则

6、 解析对于 A，l，只有加上 l 垂直于与的交线，才有 l，所以 A 错误；对于 B，若 lm，l，m，则与可能平行，也可能相交但不垂直， 所以 B 错误；对于 C，若，l，由面面平行的性质可知，l，所以 C 正确；对于 D，若 lm，l，m，则与可能平行，也可能相交，所以 D 错误. 答案C 5.(2019东营月考)若平面平面，直线 a平面，点 B，则在平面内且过 B 点的所有直线中() A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一与 a 平行的直线 解析当直线 a 在平面内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A

7、. 答案A 6.(2019衡水中学开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几 何体， 四边形EFGH为截面， 则四边形EFGH的形状为_. 解析平面 ABFE平面 DCGH， 又平面 EFGH平面 ABFEEF， 平面 EFGH平面 DCGHHG， EFHG.同理 EHFG， 四边形 EFGH 是平行四边形. 答案平行四边形 考点一与线、面平行相关命题的判定 【例 1】 (1)(2019长沙模拟)设 a，b，c 表示不同直线，表示不同平面，给 出下列命题： 若 ac，bc，则 ab；若 ab，b，则 a； 若 a，b，则 ab. 其中真命题的个数是() A.0B.1C.2D.3 (2)(2020

8、江西红色七校联考)设 m，n 是空间中两条不同的直线，是两个不同 的平面，则下列说法正确的是() A.若 mn，n，则 m B.若 m，n，则 mn C.若，m，则 m D.若 m，n，m，n，则 解析(1)对于，根据线线平行的传递性可知是真命题；对于，由 ab， b，可以推出 a或 a，故是假命题；对于，根据 a，b，可以 推出 a 与 b 平行、相交或异面，故是假命题.所以真命题的个数是 1.故选 B. (2)若 mn，n，则 m或 m，所以选项 A 不正确；若 m，n， ，则 mn 或 m 与 n 异面，所以选项 B 不正确；若 m，n，m， n，则或与相交，所以选项 D 不正确.故选

9、C. 答案(1)B(2)C 规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个 定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉 最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项. 2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否 定结论或用反证法推断命题是否正确. 【训练 1】 (1)(2019全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是() A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.，平行于同一条直线 D.，垂直于同一平面 (2)(多选题)在正方体 ABCDA1

10、B1C1D1中，下列结论正确的是() A.AD1BC1 B.平面 AB1D1平面 BDC1 C.AD1DC1 D.AD1平面 BDC1 解析(1)若，则内有无数条直线与平行，当无数条直线互相平行时，与 可能相交；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若， 垂直于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故 A，C，D 中条件均不是 的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线 与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此 B 中条件是的充要条 件. (2)如图，因为 AB 綉 C1D1， 所以四边形 AD1C1B 为平行四边形. 故 AD1BC1，从而 A 正确；

11、易证 BDB1D1，AB1DC1， 又 AB1B1D1B1， BDDC1D， 故平面 AB1D1平面 BDC1，从而 B 正确； 由图易知 AD1与 DC1异面，故 C 错误； 因为 AD1BC1，AD1平面 BDC1，BC1平面 BDC1， 所以 AD1平面 BDC1，故 D 正确. 答案(1)B(2)ABD 考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究 角度 1直线与平面平行的判定 【例 21】(2020石家庄一模)将正方形 BCED 沿对角线 CD 折叠， 使平面 ECD平面 BCD.若 AB平面 BCD，AB2 2，BC2. (1)求证：AB平面 ECD； (2)求三棱锥 EACD 的体积

12、. (1)证明取 CD 的中点 M，连接 EM，BM. 因为 CEED，所以 EMCD. 因为平面 ECD平面 BCD，且平面 ECD平面 BCDCD，EM 平面 ECD， 所以 EM平面 BCD. 因为 AB平面 BCD，所以 ABEM. 又 EM平面 ECD，AB平面 ECD， 所以 AB平面 ECD. (2)解因为原四边形 BCED 为正方形，M 为 CD 的中点， 所以 BMCD. 又因为平面 ECD平面 BCD，且平面 ECD平面 BCDCD，BM平面 BCD， 所以 BM平面 ECD. 因为ECD 为等腰三角形，BC2，所以 SECD1 2222. 由题意，易得 BM 2， 所以

13、VBECD1 3BMS ECD1 3 22 2 2 3 . 由(1)可知，点 A 到平面 ECD 的距离等于点 B 到平面 ECD 的距离， 所以 VEACDVAECDVBECD2 2 3 . 角度 2直线与平面平行性质定理的应用 【例 22】 如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E 为线段 AD 上的任意一 点(不包括 A，D 两点)，平面 CEC1与平面 BB1D 交于 FG. 证明：FG平面 AA1B1B. 证明在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，BB1平面 BB1D，CC1平面 BB1D， 所以 CC1平面 BB1D. 又 CC1平面 CEC1，平面 CEC1

14、与平面 BB1D 交于 FG， 所以 CC1FG. 因为 BB1CC1，所以 BB1FG. 而 BB1平面 AA1B1B，FG平面 AA1B1B， 所以 FG平面 AA1B1B. 规律方法1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直 线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线. 2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即 从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其 顺序恰好相反. 【训练 2】 (2019日照一模)如图，在四棱锥 EABCD 中， 底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是

15、 BC，DE 的中点， ABE 是等边三角形，平面 ABE平面 BCE，BECE，BE CE2. (1)求证：CN平面 AEM； (2)求三棱锥 NAEM 的体积. (1)证明如图，设 AE 的中点为 F，连接 MF，NF. 又N 是 DE 的中点， FNAD，FN1 2AD. 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC. M 是 BC 的中点，FNMC，FNMC1 2BC， 四边形 MCNF 是平行四边形，CNMF. 又 MF平面 AEM，CN平面 AEM，CN平面 AEM. (2)解如图，过点 A 作 AOBE，O 为垂足，连接 AC. 平面 ABE平面 BCE，平面 ABE平面

16、 BCEBE， AO平面 BCE. ABE 是等边三角形，EB2，AO 3. BECE，BECE2，M 为 BC 的中点， SMCE1 2 1 2221. 由(1)得 CN平面 AEM， V三棱锥NAEMV三棱锥CAEMV三棱锥ACEM 1 3S MCEAO1 31 3 3 3 . 考点三面面平行的判定与性质典例迁移 【例 3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E， F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1平面 BCHG. 证明(1)G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点， GH 是A1B1

17、C1的中位线，则 GHB1C1. 又B1C1BC， GHBC，B，C，H，G 四点共面. (2)E，F 分别为 AB，AC 的中点，EFBC， EF平面 BCHG，BC平面 BCHG， EF平面 BCHG. 又 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点，A1B1綉 AB， A1G 綉 EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形，A1EGB. A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG， A1E平面 BCHG.又A1EEFE， 平面 EFA1平面 BCHG. 【迁移 1】 在本例中，若将条件“E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点”变为“D1， D 分别为 B1C1， BC 的

18、中点”， 求证： 平面 A1BD1平面 AC1D. 证明如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M， 四边形 A1ACC1是平行四边形， M 是 A1C 的中点，连接 MD， D 为 BC 的中点， A1BDM. A1B平面 A1BD1，DM平面 A1BD1， DM平面 A1BD1， 又由三棱柱的性质及 D，D1分别为 BC，B1C1的中点知，D1C1綉 BD， 四边形 BDC1D1为平行四边形，DC1BD1. 又 DC1平面 A1BD1，BD1平面 A1BD1， DC1平面 A1BD1， 又 DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D， 因此平面 A1BD1平面 AC1D. 【迁移 2】 在本

19、例中，若将条件“E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点”变为“点 D， D1分别是 AC， A1C1上的点， 且平面 BC1D平面 AB1D1”， 试求AD DC的值. 解连接 A1B 交 AB1于 O，连接 OD1. 由平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1DBC1，平面 A1BC1平 面 AB1D1D1O，所以 BC1D1O，则A1D1 D1C1 A1O OB 1. 又由题设A1D1 D1C1 DC AD， DC AD1，即 AD DC1. 规律方法1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)线面垂直的性质(垂直于同一直

20、线的两平面平行). 2.面面平行条件的应用 (1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行， 需要说明是在一个平面内的两 条直线是相交直线. 【训练 3】 已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，AD2BC，E，F 分别 为 CC1，DD1的中点. 求证：平面 BEF平面 AD1C1. 证明取 AD 的中点 G，连接 BG，FG. 因为 E， F 分别为 CC1， DD1的中点， 所以 C1D1綉 CD 綉 EF， 因为 C1D1平面 AD1C1，EF平面 AD1C

21、1， 所以 EF平面 AD1C1. 因为 ADBC，AD2BC， 所以 GD 綉 BC， 即四边形 BCDG 是平行四边形， 所以 BG 綉 CD，所以 BG 綉 EF， 即四边形 EFGB 是平行四边形， 所以 BEFG. 因为 F，G 分别是 DD1，AD 的中点， 所以 FGAD1，所以 BEAD1. 因为 AD1平面 AD1C1，BE平面 AD1C1， 所以 BE平面 AD1C1. 又 BE平面 BEF， FE平面 BEF，BEEFE， 所以平面 BEF平面 AD1C1. A 级基础巩固 一、选择题 1.已知， 表示两个不同的平面， 直线 m 是内一条直线， 则“”是“m” 的() A

22、.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析由，m，可得 m；反过来，由 m，m，不能推出. 综上，“”是“m”的充分不必要条件. 答案A 2.(2020湘中名校联考)已知 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面， 下列命题中正确的是() A.若 m，n，则 mn B.若 m，m，则 C.若，则 D.若 m，n，则 mn 解析A 中，两直线可能平行、相交或异面；B 中，两平面可能平行或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D 中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选 D. 答案D 3.(2019蚌埠二模)已知平面，两两垂直，直线 a，b，c 满足 a，b，

23、 c，则直线 a，b，c 的位置关系不可能是() A.两两平行B.两两垂直 C.两两相交D.两两异面 解析假设 a，b，c 三条直线两两平行，如图所示， 设l，ab，a，b， a. 又知 a，l，al， 又知，l，l， 又知 ab，al，a， 又知 c，ac，所以假设不成立. 故三条直线 a，b，c 不可能两两平行，因此选 A. 答案A 4.(2020衡水模拟)已知 m，n 为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列 条件中，的充分条件是() A.mn，m，nB.mn，m，n C.mn，m，nD.mn，m，n 解析对于 A，两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，这两个平面 可能平行， 也

24、可能相交， 因此 A 中条件不是的充分条件； 对于 B， 因为 mn， m，所以 n，结合 n，知，因此 B 中条件是的充分条件；对于 C，由 mn，m知 n，或 n，或 n 与相交，结合 n，知，可能平 行，也可能相交，所以 C 中条件不是的充分条件；对于 D，由 mn，m 知 n，或 n，结合 n，知，所以 D 中条件不是的充分条件. 综上可知，选 B. 答案B 5.(2019长春模拟)若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平 面平行的棱有() A.0 条B.1 条 C.2 条D.1 条或 2 条 解析如图所示，四边形 EFGH 为平行四边形，则 EFGH. EF平面 BCD，

25、GH平面 BCD， EF平面 BCD. 又EF平面 ACD，平面 BCD平面 ACDCD，EFCD. 又 EF平面 EFGH，CD平面 EFGH. CD平面 EFGH，同理，AB平面 EFGH， 所以与平面(面 EFGH)平行的棱有 2 条. 答案C 二、填空题 6.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，E 为 AD 的中 点，点 F 在 CD 上，若 EF平面 AB1C，则 EF_. 解析根据题意，因为 EF平面 AB1C，EF平面 ACD，平面 ACD平面 AB1CAC，所以 EFAC.又 E 是 AD 的中点，所 以 F 是 CD 的中点.因为在 RtDEF 中，DEDF1

26、，故 EF 2. 答案2 7.设，是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，在命题“m， n，且_，则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命 题为真命题. ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_(填序号). 解析由面面平行的性质定理可知，正确；当 m，n时，n 和 m 可能平 行或异面，错误；当 n，m时，n 和 m 在同一平面内，且没有公共点， 所以 mn，正确. 答案或 8.(2019天津和平区调研)设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面， 给出下列四个命题： 若 m，n，则 mn； 若，m，则 m； 若n，mn，m，则 m； 若 m，n，mn，则. 其中是真命题

27、的是_(填上正确命题的序号). 解析mn 或 m，n 异面，故错误；易知正确；m或 m，故 错误；或与相交，故错误. 答案 三、解答题 9.(2020武汉模拟)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是 平行四边形，侧面 PAB平面 ABCD，E 是棱 PA 的中点. (1)求证：PC平面 BDE； (2)平面 BDE 分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比. (1)证明在平行四边形 ABCD 中，连接 AC，设 AC，BD 的交点为 O，则 O 是 AC 的中点. 又 E 是 PA 的中点，连接 EO，则 EO 是PAC 的中位线，所以 PCEO， 又 EO平面 EBD，PC平面 EBD，所

28、以 PC平面 EBD. (2)解设三棱锥 EABD 的体积为 V1，高为 h，四棱锥 PABCD 的体积为 V， 则三棱锥 EABD 的体积 V11 3S ABDh， 因为 E 是 PA 的中点，所以四棱锥 PABCD 的高为 2h， 所以四棱锥 PABCD 的体积 V1 3S 四边形ABCD2h41 3S ABDh4V1， 所以(V V1)V131， 所以平面 BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比为 31 或 13. 10.如图，ABCD 与 ADEF 均为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中 点.求证： (1)BE平面 DMF； (2)平面 BDE平面 MNG. 证明(1

29、)连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O， 连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线，所以 BEMO. 又 BE平面 DMF，MO平面 DMF， 所以 BE平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DEGN， 又 DE平面 MNG，GN平面 MNG， 所以 DE平面 MNG. 又 M 为 AB 的中点， 所以 MN 为ABD 的中位线，所以 BDMN， 又 MN平面 MNG，BD平面 MNG， 所以 BD平面 MNG， 又 DE，BD平面 BDE，DEBDD， 所以平面 BDE平面 MNG. B 级能力提升 11.(2019

30、福州质检)已知 a，b 是两条异面直线，直线 c 与 a，b 都垂直，则下列 说法正确的是() A.若 c平面，则 a B.若 c平面，则 a，b C.存在平面，使得 c，a，b D.存在平面，使得 c，a，b 解析对于 A，满足 c平面，且 c 与异面直线 a，b 均垂直，则 a 可能在内， 也可能与斜交，故 A 错误；对于 B，满足 c平面时，直线 a 与直线 b 可能其 中一条在平面内，故 B 错误；对于 C，若 b，则内一定存在一条直线 b， 使得 bb，又知 a，且 a 与 b 为两条异面直线，所以 a 与 b一定相交，又知 cb，bb，所以 cb，又知 ca，a 与 b相交，所以

31、c，故 C 正确；对于 D，如果 a，b，则 ab，这与条件中 a，b 是两条异面直线相矛盾，故 D 错误，因此选 C. 答案C 12.(2019吉安一模)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别 是 A1D1，A1B1的中点，过直线 BD 的平面平面 AMN，则平面截该正方体所 得截面的面积为() A. 2B.9 8 C. 3D. 6 2 解析如图 1，分别取 B1C1，C1D1的中点 E，F，连接 EF，BE，DF，B1D1，ME， 易知 EFB1D1BD，ABME，ABEM，所以四边形 ABEM 为平行四边形， 则 AMBE，又 BD 和 BE 为平面 BD

32、FE 内的两条相交直线. 图 1图 2 所以平面 AMN平面 BDFE， 即平面 BDFE 为平面，BD 2，EF1 2B 1D1 2 2 ， 得四边形 BDFE 为等腰梯形，DFBE 5 2 ， 在等腰梯形 BDFE 如图 2 中， 过 E，F 作 BD 的垂线，则四边形 EFGH 为矩形， 其高 FG DF2DG2 5 4 1 8 3 2 4 ， 故所得截面的面积为1 2 2 2 2 3 2 4 9 8. 答案B 13.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点， 设 Q 是 CC1上的点，则点 Q 满足条件_时，有平面 D1BQ平面 PAO

33、. 解析如图所示，设 Q 为 CC1的中点，因为 P 为 DD1的中点， 所以 QBPA.连接 DB，因为 P，O 分别是 DD1，DB 的中点， 所以 D1BPO，又 D1B平面 PAO，QB平面 PAO，PO平面 PAO，PA平面 PAO，所以 D1B平面 PAO，QB平面 PAO，又 D1BQBB， 所以平面 D1BQ平面 PAO.故 Q 为 CC1的中点时，有平面 D1BQ平面 PAO. 答案Q 为 CC1的中点 14.(2020济南调研)已知空间几何体 ABCDE 中，BCD 与CDE 均是边长为 2 的等边三角形，ABC 是腰长为 3 的等腰三角形， 平面 CDE平面 BCD，平面

34、 ABC平面 BCD. (1)试在平面 BCD 内作一条直线， 使得直线上任意一点 F 与 E 的连 线 EF 均与平面 ABC 平行，并给出证明； (2)求三棱锥 EABC 的体积. (1)证明如图所示，取 DC 的中点 N，取 BD 的中点 M，连接 MN， 则 MN 即为所求. 证明：连接 EM，EN，取 BC 的中点 H，连接 AH， ABC 是腰长为 3 的等腰三角形，H 为 BC 的中点， AHBC， 又平面ABC平面BCD， 平面ABC平面BCDBC， AH平面 ABC， AH平面 BCD，同理可证 EN平面 BCD， ENAH， EN平面 ABC，AH平面 ABC， EN平面

35、ABC. 又 M，N 分别为 BD，DC 的中点， MNBC， MN平面 ABC，BC平面 ABC， MN平面 ABC. 又 MNENN，MN平面 EMN，EN平面 EMN， 平面 EMN平面 ABC， 又 EF平面 EMN， EF平面 ABC， 即直线 MN 上任意一点 F 与 E 的连线 EF 均与平面 ABC 平行. (2)解连接 DH，取 CH 的中点 G，连接 NG，则 NGDH， 由(1)可知 EN平面 ABC， 点 E 到平面 ABC 的距离与点 N 到平面 ABC 的距离相等， 又BCD 是边长为 2 的等边三角形， DHBC， 又平面 ABC平面 BCD，平面 ABC平面 B

36、CDBC，DH平面 BCD， DH平面 ABC，NG平面 ABC， 易知 DH 3，NG 3 2 ， 又 SABC1 2BCAH 1 22 3 2122 2， VEABC1 3S ABCNG 6 3 . C 级创新猜想 15.(创新题)如图，在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 6 的正三角形， SASBSC10， 平面 DEFH 分别与 AB， BC， SC，SA 交于 D，E，F，H，且 D，E 分别是 AB，BC 的中点， 如果直线SB平面DEFH， 那么四边形DEFH的面积为() A.45 2 B.45 3 2 C.15D.45 3 解析取 AC 的中点 G，连接 SG，BG. 易

37、知 SGAC，BGAC，SGBGG，SG，BG平面 SGB， 故 AC平面 SGB，所以 ACSB.因为 SB平面 DEFH，SB 平面 SAB，平面 SAB平面 DEFHHD，则 SBHD.同理 SBFE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H，F 也为 AS，SC 的中点，从而得 HFAC 且 HF1 2AC，DEAC 且 DE 1 2AC，所以 HFDE 且 HFDE，所以 四边形 DEFH 为平行四边形.因为 ACSB，SBHD，DEAC，所以 DEHD， 所以四边形 DEFH 为矩形，其面积 SHFHD 1 2AC 1 2SB15. 答案C 16.(开放题)如图所示，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F， G，H 分别是棱 CC1，C1D1，D1D，DC 的中点，N 是 BC 的中 点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 只需满足条件 _时，就有 MN平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可， 不必考虑全部可能情况) 解析连接 HN，FH，FN，则 FHD1D，HNBD， FHHNH，D1DBDD， 平面 FNH平面 B1BDD1，只需 MFH， 则 MN平面 FNH， MN平面 B1BDD1. 答案点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合)