(2022高考数学一轮复习(步步高))第3节 等比数列及其前n项和.doc
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1、第第 3 节节等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 考试要求1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式; 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问 题;3.了解等比数列与指数函数的关系. 知 识 梳 理 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数, 那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式: an an1q(n2,q 为非零常数). (2)如果三个数 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,其中 G ab. 2.等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)若等
2、比数列an的首项为 a1,公比是 q,则其通项公式为 ana1qn 1; 通项公式的推广:anamqn m. (2)等比数列的前 n 项和公式:当 q1 时,Snna1;当 q1 时,Sna1(1q n) 1q a 1anq 1q . 3.等比数列的性质 已知an是等比数列,Sn是数列an的前 n 项和. (1)若 klmn(k,l,m,nN*),则有 akalaman. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即 ak, akm,ak2m,仍是等比数列,公比为 qm. (3)当 q1,或 q1 且 n 为奇数时,Sn,S2nSn,S3nS2n,仍成等比数列, 其公比为 qn. 常用结论与
3、微点提醒 1.若数列an, bn(项数相同)是等比数列, 则数列can(c0), |an|, a2n, 1 an, anbn, an bn也是等比数列. 2.由 an1qan,q0,并不能立即断言an为等比数列,还要验证 a10. 3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q1 与 q1 分类讨论,防止 因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)等比数列公比 q 是一个常数,它可以是任意实数.() (2)三个数 a,b,c 成等比数列的充要条件是 b2ac.() (3)数列an的通项公式是 anan,则其前 n 项
4、和为 Sna(1a n) 1a .() (4)数列an为等比数列,则 S4,S8S4,S12S8成等比数列.() 解析(1)在等比数列中,q0. (2)若 a0,b0,c0 满足 b2ac,但 a,b,c 不成等比数列. (3)当 a1 时,Snna. (4)若 a11,q1,则 S40,S8S40,S12S80,不成等比数列. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 5P53T1 改编)已知an是等比数列,a416,公比 q2,则 a1等 于() A.2B.2C.1 2 D.1 2 解析由题意,得 a4a1q38a116,解得 a12. 答案A 3.(老教材必修 5P61T1 改编)
5、等比数列an的首项 a11,前 n 项和为 Sn,若S10 S5 31 32,则a n的通项公式 an_. 解析因为S10 S5 31 32,所以 S10S5 S5 1 32,因为 S 5,S10S5,S15S10成等比数列, 且公比为 q5,所以 q5 1 32,q 1 2,则 a n 1 2 n1 . 答案 1 2 n1 4.(2020青岛模拟)公比不为 1 的等比数列an满足 a5a6a4a718,若 a1am9, 则 m 的值为() A.8B.9C.10D.11 解析由题意得,2a5a618,a5a69,a1ama5a69, m10. 答案C 5.(2018北京卷)“十二平均律”是通用
6、的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法 计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度 音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与 它的前一个单音的频率的比都等于 12 2.若第一个单音的频率为 f,则第八个单音 的频率为() A. 3 2fB. 3 22f C. 12 25fD. 12 27f 解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f,公比为 12 2的等比数列,设 此数列为an,则 a8 12 27f,即第八个单音的频率为 12 27f. 答案D 6.(2019全国卷)设 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a11 3,a 2 4a
7、6,则 S5 _. 解析由 a24a6得(a1q3)2a1q5,整理得 q 1 a13. 所以 S5a1(1q 5) 1q 1 3(13 5) 13 121 3 . 答案 121 3 考点一等比数列基本量的运算 【例 1】(1)(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15, 且 a53a34a1,则 a3() A.16B.8C.4D.2 (2)(2020郴州一模)在数列an中,满足 a12,a2nan1an1(n2,nN*),Sn 为an的前 n 项和,若 a664,则 S7的值为() A.126B.256C.255D.254 解析(1)设等比数列an的公比为 q,由
8、 a53a34a1得 q43q24,得 q24, 因为数列an的各项均为正数,所以 q2,又 a1a2a3a4a1(1qq2q3) a1(1248)15,所以 a11,所以 a3a1q24. (2)数列an中,满足 a2nan1an1(n2), 则数列an为等比数列,设其公比为 q, 又由 a12,a664,得 q5a6 a132,则 q2, 则 S7a1(12 7) 12 282254. 答案(1)C(2)D 规律方法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中 有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃 而解. 2.等比数列的前 n
9、 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论,当 q1 时,an的前 n 项和 Snna1;当 q1 时,an的前 n 项和 Sna1(1q n) 1q a1anq 1q . 【训练 1】 (1)等比数列an中各项均为正数,Sn是其前 n 项和,且满足 2S38a1 3a2,a416,则 S4() A.9B.15C.18D.30 (2)设等比数列an满足 a1a21,a1a33,则 a4_. 解析(1)设数列an的公比为 q(q0), 则 2S32(a1a1qa1q2)8a13a1q, a1q316, 解得 q2,a12,所以 S42(12 4) 12 30. (2)由an为等比数列,设公比为 q.
10、由 a1a21, a1a33,得 a1a1q1, a1a1q23, 显然 q1,a10, 得 1q3,即 q2,代入式可得 a 11, 所以 a4a1q31(2)38. 答案(1)D(2)8 考点二等比数列的判定与证明 【例 2】 设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a12a23a3nan(n1)Sn 2n(nN*). (1)求 a2,a3的值; (2)求证:数列Sn2是等比数列. (1)解因为 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*), 所以当 n1 时,a1212; 当 n2 时,a12a2(a1a2)4, 所以 a24; 当 n3 时,a12a23a32(a1a2a3)6,
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