（2022高考数学一轮复习(步步高)）第1节 随机抽样.doc

1、第第 1 节节随机抽样随机抽样 考试要求1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体 中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些 简单的实际问题. 知 识 梳 理 1.简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本 (nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样 方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法. 2.系统抽样 (1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按 照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需

2、要的样本，这种抽样方法 叫做系统抽样. (2)系统抽样的操作步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. 先将总体的 N 个个体编号； 确定分段间隔 k，对编号进行分段，当N n(n 是样本容量)是整数时，取 k N n(否 则，先剔除一些个体)； 在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(lk)； 按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(lk)， 再加 k 得到第 3 个个体编号(l2k)，依次进行下去，直到获取整个样本. 3.分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层 独立地抽取一定数量的个体

3、，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方 法叫做分层抽样. (2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 常用结论与微点提醒 1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的. 2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔 k 的整数倍. 3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.() (2)简单随机抽样是一种不放回抽样.() (3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.() (4)分层

4、抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.() 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 3P100 A1 改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000 名居 民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问 题中，5 000 名居民的阅读时间的全体是() A.总体B.个体 C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本 解析由题目条件知，5 000 名居民的阅读时间的全体是总体；其中每 1 名居民 的阅读时间是个体；从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取的 200 名居民的阅读 时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是 200. 答案A 3.(老

5、教材必修 3P100A2(2)改编)一个公司共有 N 名员工，下设一些部门，要采用 等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为 n 的样本， 已知某部门有 m 名员工，那么从该部门抽取的员工人数是_. 解析每个个体被抽到的概率是n N， 设这个部门抽取了 x 个员工， 则 x m n N，x nm N . 答案 nm N 4.(2020吉安一模)总体由编号为 00，01，02，48，49 的 50 个个体组成，利 用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右依次选取两个数字， 则选出的第 3 个个体的编号为() 附：第 6 行至

6、第 9 行的随机数表如下： 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 A.3B.16C.38D.20 解析按随机数表法，从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右 依次选取两个数字，超出 0049 及重复的不选，则编号依次为 33，16，20，38， 49，32，则选出的第 3 个个体的编号为 20，

7、故选 D. 答案D 5.(2019兰州二模)某学校为响应“平安出行”号召，拟从 2 019 名学生中选取 50 名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法剔除 19 名学生，剩下的 2 000 名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率 () A.不全相等B.均不相等 C.都相等，且为 1 40 D.都相等，且为 50 2 019 解析先用简单随机抽样方法剔除 19 名学生，剩下的 2 000 名再按照系统抽样 的方法抽取，则每名学生入选的概率相等，且为 p 50 2 019，故选 D. 答案D 6.(2018全国卷)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评

8、价有较大 差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简 单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_. 解析因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异， 所以需按年龄进行 分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价. 答案分层抽样 考点一简单随机抽样及其应用 【例 1】 (1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是() A.在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方 式确定号码的后四位为 2709 的为三等奖 B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称 其重量是否合格 C.某学校分

9、别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解对学校 机构改革的意见 D.用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 (2)假设要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从 800 袋 牛奶中抽取 60 袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将 800 袋牛奶按 000， 001，799 进行编号，若从随机数表第 7 行第 8 列的数开始向右读，则得到 的第 4 个样本个体的编号是_(下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行). 解析(1)A，B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C 不是 简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；

10、D 是简单随机抽样.故选 D. (2)由随机数表知，前 4 个样本的个体编号分别是 331，572，455，068. 答案(1)D(2)068 规律方法1.简单随机抽样需满足： (1)被抽取的样本总体的个体数有限； (2)逐个 抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取. 2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于 个体数较多的情况). 【训练 1】 (1)总体由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成，利用下面 的随机数表选取 5 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字 开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第

11、5 个个体的编号为() A.08B.07C.02D.01 (2)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性() A.与第 n 次有关，第一次可能性最大 B.与第 n 次有关，第一次可能性最小 C.与第 n 次无关，与抽取的第 n 个样本有关 D.与第 n 次无关，每次可能性相等 解析(1)从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08， 02，14，07，01，所以第 5 个个体编号为 01. (2)在简单随机抽样中，每个个体被抽到可能性都相等，与第 n 次无关，D 正确. 答案(1)D(2)D 考点二系统抽样及其应用 【例 2】 (1)为了解 1 000 名学生的学习情况，

12、采用系统抽样的方法，从中抽取 容量为 40 的样本，则分段的间隔为() A.50B.40C.25D.20 (2)将高一九班参加社会实践编号为 1，2，3，48 的 48 名学生，采用系统抽 样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 5 号，29 号，41 号学生在样本中，则 样本中还有一名学生的编号是_. 解析(1)由系统抽样的定义知，分段间隔为1 000 40 25. (2)根据系统抽样的概念，所抽取的 4 个样本的编号应成等差数列，因为这组数 中的间距应为 412912，所以所求的编号为 51217. 答案(1)C(2)17 规律方法1.如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除，则抽样间隔

13、为 kN n，否则， 可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体 被抽到的机会均是n N. 2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第 1 组所 抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内 所要抽取的样本号码. 【训练 2】 (1)(2019全国卷)某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些 学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学 生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是() A.8 号学生B.200 号学生 C.616 号学生D.81

14、5 号学生 (2)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示： 若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则 其中成绩在区间139，151上的运动员人数是_. 解析(1)根据题意，系统抽样是等距抽样， 所以抽样间隔为1 000 100 10. 因为 46 除以 10 余 6，所以抽到的号码都是除以 10 余 6 的数，结合选项知应为 616.故选 C. (2)依题意，可将编号为 135 号的 35 个数据分成 7 组，每组有 5 个数据，从每 组中抽取一人. 成绩在区间139，151上共有 20 个数据，分在 4 个小组内，每组抽取

15、 1 人，共 抽取 4 人. 答案(1)C(2)4 考点三分层抽样及其应用多维探究 角度 1求某层入样的个体数 【例 31】 (2019济南二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的 满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分 层抽样的方法抽取 30%的户主进行调查， 则样本容量和抽取的户主对四居室满意 的人数分别为() A.240，18B.200，20C.240，20D.200，18 解析样本容量 n(250150400)30%240，抽取的户主对四居室满意的 人数为 15030%40%18. 答案A 规律方法1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具

16、体情况而定，总的原则是： 层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠. 2.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算. 角度 2求总体或样本容量 【例 32】 (1)(2020淄博调研)某中学有高中生 960 人，初中生 480 人，为了了 解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为 n 的样本， 其中高中生有 24 人，那么 n 等于() A.12B.18C.24D.36 (2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件，采用分层抽样的方法从中抽取 一个容量为 80 的样本进行质量检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙 设备生产的产品总数为_

17、件. 解析(1)根据分层抽样方法知 n 960480 24 960，解得 n36. (2)由题设，抽样比为 80 4 800 1 60. 设甲设备生产的产品为 x 件，则 x 6050，x3 000. 故乙设备生产的产品总数为 4 8003 0001 800. 答案(1)D(2)1 800 规律方法1.已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例 抽样，列比例式进行计算. 2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系 (1) 样本容量 n 总体的个数 N 该层抽取的个体数 该层的个体数 ； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比. 【训练 3】 (1)(

18、角度 1)(2020广东名校联考)九章算术第三章“衰分”中有如 下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱 出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了 560 钱，乙带了 350 钱，丙带了 180 钱，三人一起出关，共需要交关税 100 钱， 依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出_钱(所得结果四舍五入，保留整 数). (2)(角度 1)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小 组)(单位：人). 篮球组书画组乐器组 高一4530a 高二151020 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加

19、这三个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则 a 的值为 _. (3)(角度 2)(2020北京东城区模拟)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调 查，人数如表所示： 不喜欢喜欢 男性青年观众3010 女性青年观众3050 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 人做进一步的调研，若在 “不喜欢”的男性青年观众中抽取了 6 人，则 n() A.12B.16C.24D.32 解析(1)按照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱为 180 560350180100 18 000 1 090 17. (2)由分层抽样得 12 4515 30 120a，解得 a30.

20、(3)由分层抽样的性质得 6 30 n 30301050，解得 n24.故选 C. 答案(1)17(2)30(3)C A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020永州模拟)现从已编号(150)的 50 位同学中随机抽取 5 位以了解他们的 数学学习状况， 用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 位同学的 编号可能是() A.5，10，15，20，25B.3，13，23，33，43 C.1，2，3，4，5D.2，10，18，26，34 解析抽样间隔为50 5 10，只有选项 B 合题意. 答案B 2.(2019长春一模)完成下列两项调查：从某社区 125 户高收入家庭、280 户中 等

21、收入家庭、95 户低收入家庭中选出 100 户，调查社会购买能力的某项指标； 从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 名调查学习负担情况.宜采用的抽样方法 依次是() A.简单随机抽样，系统抽样 B.分层抽样，简单随机抽样 C.系统抽样，分层抽样 D.都用分层抽样 答案B 3.在一个容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽 样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1，p2，p3，则() A.p1p2p3B.p2p3p1 C.p1p3p2D.p1p2p3 解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选 D. 答

22、案D 4.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来 米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批 米内夹谷约为() A.134 石B.169 石C.338 石D.1 365 石 解析由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为 28 2541 534169(石). 答案B 5.从 30 个个体(编号为 0029)中抽取 10 个样本，现给出某随机数表的第 11 行 到第 15 行(见下表)，如果某人选取第 12 行的第 6 列和第 7 列中的数作为第一个 数并且由此数向右读，则选取的前 4 个的号码分别为() 9264 4607 202

23、1 3920 7766 3817 3256 1640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A.76，63，17，00B.16，00，02，30 C.17，00，02，25D.17，00，02，07 解析在随机数表中， 将处于 0029 的号码选出， 满足要求的前 4 个号码为 17， 00，02，07.故选 D.

24、答案D 6.某中学 400 名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取 40 名教师作样本，若 用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取() A.40 人B.200 人C.20 人D.10 人 解析由题图知，40 岁以下年龄段的人数为 40050%200，若采用分层抽样 应抽取 200 40 40020(人). 答案C 7.某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，新产品数量之比依次为 k53， 现用分层抽样的方法抽出一个容量为 120 的样本.已知 A 种产品共抽取了 24 件， 则 C 种型号产品抽取的件数为() A.24B.30C.36D.40 解析新产品数量之比为 k53，由 k k

25、53 24 120，解得 k2，则 C 种型 号产品抽取的件数为 120 3 1036.故选 C. 答案C 8.某地区高中分三类，A 类学校共有学生 2 000 人，B 类学校共有学生 3 000 人， C 类学校共有学生 4 000 人，若采取分层抽样的方法抽取 900 人，则 A 类学校中 的学生甲被抽到的概率为() A. 1 10 B. 9 20 C. 1 2 000 D.1 2 解析利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是相同的，故所求的概率为 900 2 0003 0004 000 1 10. 答案A 二、填空题 9.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400

26、，300， 100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件. 解析因为样本容量 n60，样本总体 N2004003001001 000，所以抽 取比例为n N 60 1 000 3 50. 因此应从丙种型号的产品中抽取 300 3 5018(件). 答案18 10.某班的数学老师要对该班一模考试的数学成绩进行分析，利用随机数法抽取 样本时，先将该班 70 名同学按 00，01，02，69 进行编号，然后从随机数表 第 9 行第 9 列的数开始向右读，则选出的 10 个样本中第 8 个样本的编号是 _. (注：以下是随机数

27、表的第 8 行和第 9 行) 第 8 行：63 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 79 第 9 行：33 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79 54 解析由随机数表知选出的 10 个样本依次是 29，64，56，07，52，42，44，38， 15，51，第 8 个样本编号是 38. 答案38 11.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表： 类别粮食类植物油类动物性食品类果蔬类 种数40103020 现从中抽

28、取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样方法抽取 样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为_. 解析因为总体的个数为 40103020100，所以根据分层抽样的定义可 知，抽取的植物油类食品种数为 20 100102，抽取的果蔬类食品种数为 20 10020 4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为 246. 答案6 12.(2019湖北重点中学模拟)某校高三年级共有 30 个班，学校心理咨询室为了了 解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为 1 到 30，现用系统抽样的方法抽 取 5 个班进行调查，若抽到的编号之和为 75，则抽到的最小的编号为_. 解析系统抽样的抽

29、取间隔为30 5 6.设抽到的最小编号为 x，则 x(6x)(12 x)(18x)(24x)75，所以 x3. 答案3 B 级能力提升 13.从一群游戏的小孩中抽出 k 人，一人一个苹果，让他们返回继续游戏，一段 时间后，再从中任取 m 人，发现其中有 n 人曾分过苹果，则可估计这群小孩共 有() A.kn m人 B.km n 人 C.(kmn)人D.(kmn)人 解析设这群小孩共有 x 人，则k x n m，解得 x km n . 答案B 14.某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其 中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多 13 人，按分层抽样方法从该公司 全体

30、员工中选出部分员工座谈户外运动， 如果选出的人有 6 人对户外运动持“喜 欢”态度，有 2 人对户外运动持“不喜欢”态度，有 3 人对户外运动持“一般” 态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数有() A.26B.39C.78D.13 解析设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为 6x，2x，3x，由题意 可得 3x2x13，x13，持“喜欢”态度的有 6x78(人). 答案C 15.某工厂的三个车间在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产 品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产 品数分别为a， b， c， 且a，

31、 b， c构成等差数列， 则第二车间生产的产品数为_. 解析因为 a，b，c 成等差数列，所以 2bac. 所以abc 3 b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的1 3.根据分层抽样 的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的1 3，即为 1 33 6001 200. 答案1 200 16.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到 的 32 人中，编号落入区间1，450的人做问卷 A，编号落入区间451，750的人 做问卷 B，其余的人做问卷 C，则抽到的人中，做问卷 B 的人

32、数为_. 解析由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为960 32 30，抽取的号码依次为 9， 39，69，939，落入区间451，750的有 459，489，729，这些数构成首 项为 459，公差为 30 的等差数列，设有 n 项，显然有 729459(n1)30， 解得 n10.所以做问卷 B 的有 10 人. 答案10 C 级创新猜想 17.(多选题)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的是() A.从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本 B.盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中 任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里 C.从 20

33、 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验 D.某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛 解析A 不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有 限的；B 不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；C 不是简单随机抽样.因为这 是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；D 不是简单随机抽样.因为不是等可 能抽样. 答案ABCD 18.(多填题)用简单随机抽样的方法从含有 10 个个体的总体中抽取一个容量为 3 的样本，其中某一个体 a“第一次被抽到”的可能性为_，“第二次被抽 到”的可能性为_. 解析在抽样过程中，个体 a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为 10，故个体 a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为 1 10. 答案 1 10 1 10