数学物理方法全册配套完整精品课件1.ppt

1、 课程目的课程目的培养运用数学方法分析、解决培养运用数学方法分析、解决 物理问题的能力物理问题的能力 课程内容课程内容复变函数论复变函数论 数学物理方程及其常用解法数学物理方程及其常用解法 积分变换积分变换(傅里叶变换、拉普拉斯变换傅里叶变换、拉普拉斯变换) 课程特点课程特点涉及数学知识广泛涉及数学知识广泛 涉及物理内容和概念多涉及物理内容和概念多 计算较繁计算较繁 对对 象象 复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。 主要内容主要内容

2、复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、 复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、 傅里叶变换、拉普拉斯变换傅里叶变换、拉普拉斯变换 第一篇第一篇 复变函数论复变函数论 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处，在学习之处。但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结意复数域上特有的那些性质与结 果。果。 第一章第一章 复变函数复变函数 1

3、1 复数与复数运算复数与复数运算 一、复数的定义与表示一、复数的定义与表示 1.定义定义: 对任意两实数对任意两实数x、y ,称称 z=x+iy为复数为复数 称称为为虚虚数数单单位位其其中中ii,1 2 复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 0| 22 yxz 复数的模复数的模 ),(yxiyxz一对有序实数 ),( ),(),( yxPiyxz yxyxP 平平面面上上的的点点 一一对对有有序序实实数数任任意意点点 系系，则则在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标 此此时时， 表表示示的

4、的点点，可可用用平平面面上上坐坐标标为为复复数数.)(Pyxiyxz 平平面面复复平平面面或或平平面面 虚虚轴轴轴轴实实轴轴轴轴 z yx )(yxPiyxz，复复平平面面上上的的点点 2.复数的表示复数的表示: . ,)( iyxzOP yxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向向量量 ，点点 A 00 OPz z yxOPz Arg: ,| 22 记记作作 辐辐角角 模模： 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值； 以正实轴以正实轴 为始边为始边, 以以 为终边的角的为终边的角的 弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时) OP向

5、向量量 X（Rez） Y（Imz） o z x y P 复数平面（几何表示）复数平面（几何表示） siny cosx 复数复数z和复数平面上的点（和复数平面上的点（x，y）一一对应）一一对应 复数复数z也和复数平面上的一个矢量一一对应也和复数平面上的一个矢量一一对应 22 yx x y arctg iyxz X（Rez） Y（Imz） o z x y P 复数的几种表示方式复数的几种表示方式: 1 代数式：代数式： iyxz 实部实部 虚部虚部 xzRe ： yzIm ： 2 三角函数式：三角函数式： ）（ sinicosz 3 指数式：指数式： i ez 判断复数相等判断复数相等 0)Im(

6、)Re(0 , 222111212121 zzz iyxziyxzyyxxzz其中其中 A 一般一般, , 任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。 二、复数的模、幅角和共轭复数二、复数的模、幅角和共轭复数 1复数的模：复数的模： 22 yxz 2复数的幅角：复数的幅角： Argz i esinicosiyxz）（ 主值：主值：arg z 2arg0 z ），（ 2102kkzargArgz 复数复数0的幅角无意义的幅角无意义 00 0 yx iyxz ， x y arctg 一个复数的幅角一般可有无限多个值一个复数的幅角一般可有无限多个值 3共轭复数共轭复数 i esinicos

7、iyxz）（ i esinicosiyxz ）（ * Z和和Z*关于实轴对称关于实轴对称 性质：性质： zz * ）（ * zRexzz * 22 * 22 Imzzi yiz 2 zzz * * * zzzz 2121 ）（ * * zzzz 2121 ）（ * * * z z z z 2 1 2 1 ）（ 三、无限远点、复数球三、无限远点、复数球 模模 有限的复数有限的复数 z 复数平面上复数平面上 有限远点有限远点 对应对应 模模 的复数的复数z 对应对应 复数平面上的复数平面上的 无限远点无限远点 N ， z z x y 0 复数球复数球 复数平面上有限远点和球复数平面上有限远点和球

8、面上面上N以外的点一一对应以外的点一一对应 复数平面无限远点复数平面无限远点 和球面上和球面上N点对应点对应 四、复数的运算四、复数的运算 设设 111 iyxz 222 iyxz ）（）（ 212121 yyixxzz X（Rez） Y（Imz） o 21 zzz 2 z 1 z 21 zzz 满足交换律、结合律满足交换律、结合律 2121 zzzz 2121 zzzz 1加减加减 1 1111111 i esinicosiyxz）（ 设设 2 2222222 i esinicosiyxz）（ ）（）（ 1221212121 yxyxiyyxxzz ）（）（ 212121 sinicos ）

9、（ 21 21 i e 2乘除乘除 定理定理 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2222 2211 22 11 2 1 yx yxyx i yx yyxx iyxiyx iyxiyx iyx iyx z z ）（ ）（ ）（）（ 2121 2 1 2 1 sinicos z z ）（ 21 2 1 i e 定理定理 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除两个复数的商的

10、辐角等于被除数与除 数的辐角之差。数的辐角之差。 满足交换律、结合律、分配律满足交换律、结合律、分配律 3 n（整数）次幂（整数）次幂 innnn ensinincosz）（ 特别：当特别：当|z|=1时，即：时，即：zn=cosn+isin n，则有，则有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛一棣模佛(De Moivre)公式。公式。 . 1 n n z z 定义定义 innn ez 由由定定义义得得 定义定义 n个相同的复数个相同的复数z 的乘积，称为的乘积，称为z 的的n次幂，次幂， 记作记作z n，即，即z n=z z z（共共n个）。个）。 由复数的乘法定理和数学归

11、纳法可证由复数的乘法定理和数学归纳法可证: 4 n（整数）次方根（整数）次方根 ）（ n k sini n k cosz n n 22 n k i n e 2 ），（1210 nk 共有共有n个不同值个不同值 问题问题 给定复数给定复数z=e i ，求所有的满足，求所有的满足n=z 的的 复数复数。 当当z0时，有时，有n个不同的个不同的值与值与 相对应，每一相对应，每一 个这样的个这样的值都称为值都称为z 的的n次方根，次方根， n z n z 记记 A 当当k=0=0，1 1，n-1-1时，可得时，可得n个不同的根，个不同的根， 而而k取其它整数时，这些根又会重复出现。取其它整数时，这些根

12、又会重复出现。 几何上几何上， 的的n个值是个值是 以原点为中心，以原点为中心， 为半为半 径的圆周上径的圆周上n个等分点，个等分点， 即它们是内接于该圆周即它们是内接于该圆周 的正的正n边形的边形的n个顶点。个顶点。 n z n )3 , 2 , 1 , 0() 4 2 4 sin 4 2 4 (cos2 1 8 4 k k i k i k 如如 o 2 x y 0 1 2 3 8 2 i 1 3) 162 3 sin() 162 3 (cos(2 2) 16 sin() 16 (cos(2 1) 162 sin() 162 (cos(2 0) 16 sin 16 (cos2 8 8 8 8

13、 ki ki ki ki 例例 计算计算 3 8 解解 ）（ sinicos 3 28 ）（ 3 2 3 2 28 3 k sini k cos ），（210k 3 8 i 31 i 31 2 ）（0k ）（1 k ）（2 k 例例 计算计算3 1 解解）0sin0(cos11i ）（ 3 20 sin 3 20 cos11 3 k i k ），（210k 3 1 1 i 2 3 2 1 i 2 3 2 1 ）（0k ）（1 k ）（2 k 例例 i ii ii i i z 1 11 12 1 2 ）（ ）（代数式：代数式： i i z 1 2 三角式：三角式： 211 22 ）（z 41 1

14、 1 ）（tgzarg ）（）（ 44 2 sinicosz 指数式：指数式：4 2 i ez 4 2 4 sin 4 cos21 i eii i ei )sin(cos11 2 ) 2 sin 2 (cos1 i eii 2 3 ) 2 3 sin 2 3 (cos1 i eii 2 2 1(1)(1)1 22 1(1)(1)12 iiiiii i iiii 12 复变函数复变函数 一、复变函数的定义：一、复变函数的定义： 若在复数平面（或球面）上存在一个点集若在复数平面（或球面）上存在一个点集E （复数的集合），对（复数的集合），对E的每一个点（每一个的每一个点（每一个z 值），按照一定的

15、规律，有一个或多个复数值值），按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之对应，则称与之对应，则称w为为z的复变函数。的复变函数。z称为称为w的宗的宗 量，定义域为量，定义域为E。 记作：记作： ）（zfw Ez 二、区域和曲线二、区域和曲线 1区域区域：复变函数的宗量复变函数的宗量z在复数平面上的取在复数平面上的取 值范围。它是满足以下两个条件的点集：值范围。它是满足以下两个条件的点集： （1）全由内点组成。（）全由内点组成。（2）具有连通性。）具有连通性。 为了给区域严格定义为了给区域严格定义,我们引入我们引入: 邻域邻域 复平面上以复平面上以 z 0为圆心，任意小正实数为圆心，任意小正实数

16、 0为半为半 径的圆径的圆 | z -z 0|(或或 0 | z z 0|) 内部的点的集内部的点的集 合称为点合称为点 z 0 的的（去心）（去心）邻域邻域 。 设设D是复平面上一点集是复平面上一点集,若点若点 z0及其邻及其邻 域都属于域都属于D，则称，则称z 0是区域是区域D的内点。的内点。 0 z 内点内点 境界点境界点 若点若点z 0及其邻域均不属于区域及其邻域均不属于区域D，则称，则称 z 0是区域是区域D的外点。的外点。 外点外点 若点若点z 0本身不属于区域本身不属于区域D,但在其邻域内含有但在其邻域内含有 属于区域属于区域D的点，则称的点，则称z 0是区域是区域D的境界点。的

17、境界点。 0 z B1 B2 B3 B1的内点的内点 B2的外点的外点B3的境界点的境界点 D-区域区域 0 z 内点内点 外点外点 区域区域D的所有境界点组成的所有境界点组成D的边界。的边界。 1 z 2 z P 边界边界(境界线境界线) 闭区域闭区域.D记记为为 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域 (1)每一点都是内点每一点都是内点(开集性开集性); (2)任意两点都可用一条由点集任意两点都可用一条由点集D内的点构成内的点构成 的曲线连接起来的曲线连接起来(连通性连通性); 则称则称D为复数平面上的一个区域。为复数平面上的一个区域。 定义定义 复数平面上某一点集复数

18、平面上某一点集D,如果具备下面两性质如果具备下面两性质: 2曲线曲线：设设 和和 是定义在是定义在 上上 的连续函数，则由方程的连续函数，则由方程 ）（tx）（ty ， 或或 ）（）（）（tiytxtzz 所决定的点集所决定的点集L，称为复数平面上的一条，称为复数平面上的一条 连续曲线。连续曲线。 ）（ ）（ tyy txx ）（ t 重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb， 对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)， 称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。 定义定义 没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C称为简单曲线或称为

19、简单曲线或 Jordan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称 此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 。 z(a)=z(b) 简单闭曲线简单闭曲线 z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线不是简单闭曲线 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复平面，把复平面 唯一地分成两个没有公共点的区域：一个是有界区域，唯一地分成两个没有公共点的区域：一个是有界区域， 称为称为C的的内部区域内部区域；一个是无界区域，称为；一个是无界区域，称为C的的外部外部 区域区域。它们以这条简单

20、闭曲线为它们以这条简单闭曲线为公共边界公共边界。 z(a)=z(b) C z(a)=z(b) 内部内部 外部外部 边界边界 3区域的表示：区域的表示： 复数平面上的区域通常是由复数的实复数平面上的区域通常是由复数的实 部、虚部及幅角的不等式所确定的点集。部、虚部及幅角的不等式所确定的点集。 例例 （1）0Im z（2）0Re z x y 0 0Im z x y 0 0Re z Im0 Re0 z z 表示上半复平面, 表示右半复平面. .xyIm,Re轴轴的的直直线线轴轴和和表表示示分分别别平平行行于于 zz （3） 21 Imyzy x y 0 2 y 1 y 21 Imyzy 轴的带状区域

21、轴的带状区域，表示平行，表示平行xyzy 21 Im （4）Rzz 0 （5）bzza 0 x y 0 z 0 z R x y 0 0 z z b a , , 00 0 组组成成它它的的边边界界由由两两个个圆圆周周 表表示示一一个个环环域域 bzzazz bzza 的圆域的圆域表示一个半径为表示一个半径为RRzz 0 （6）1Re zz 1 22 xyx 2 1 2 2 y x 2 1 2 2 y x表示抛物线表示抛物线的左侧区域的左侧区域 2 1 x y i i 三、初等复变函数三、初等复变函数 1指数函数指数函数 ）（ysiniycoseeeee xiyxiyxz ）（11 1 sinic

22、osee i 1 0 ）（ sinicosee i 12sin2cos 2 kike ik ），（ 3210k 以以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。i 2 iz 1 iz 22zikzikz eeee iyz yiye iy sincos 2三角函数三角函数 ）（ iziz eezcos 2 1 ）（ iziz ee i zsin 2 1 以以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。 2 实三角函数恒等式对复变数三角函数仍然成立。实三角函数恒等式对复变数三角函数仍然成立。 zcos zsin tgz zsin zcos ctgz zsinzsin ）（ zcoszcos ）（ 22 sin

23、cos1zz 212121 zsinzcoszcoszsinzzsin）（ zzsin)2sin( zzcos)2cos( 3双曲函数双曲函数 ）（ zz eeshz 2 1 ）（ zz eechz 2 1 以以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。i 2 实双曲函数恒等式对复变数双曲函实双曲函数恒等式对复变数双曲函 数仍然成立。数仍然成立。 chz shz thz shz chz cthz shzzsh ）（ 1 22 zshzch chzzch ）（ 212121 shzchzchzshzzzsh）（ 例例 求求 、 的实部、虚部和模的实部、虚部和模 zcos zsin iysinxsin

24、iycosxcosiyxcoszcos）（ 解解 ）（）（ yyyy ee i xsineexcos 2 1 2 1 shyxsinichyxcos chyxcoszcosRe）（ shyxsinzcosIm）（ yshxsinychxcoszcos 2222 xsinych 22 iysinxcosiycosxsiniyxsinzsin）（ ）（）（ yyyy ee i xcoseexsin 2 1 2 1 shyxcosichyxsin chyxsinzsinRe）（ shyxcoszsinIm）（ yshxcosychxsinzsin 2222 xcosych 22 yshxcosych

25、xcos 2222 1）（ 4对数函数对数函数 iArgzzezz iArgz lnlnln）（ kzargArgz2 20zarg ），（ 210k ）（ kzargizln2 是负实数时是负实数时z）（ ）（ ki ezlnzln 2 ）（12ln kiz 主值：主值： izln ），（ 210k zizargln 是多值函数，任两个函数值相差是多值函数，任两个函数值相差 的整数倍。的整数倍。 称为称为 的主值。的主值。 i 2 zln zln ）（）（ ）（ ki elnln 2 22 ）（122kiln 主值：主值： iln 2 ）（）（ ）（ ki eilniln 2 4 11 ）（

26、 kiln2 4 2 主值：主值： 4 2 iln .(负数也有对数).(负数也有对数) , , 复数都有意义复数都有意义 对一切非零对一切非零不仅对正数有意义不仅对正数有意义zwln 实对数函数运算法则对复变量对数函数实对数函数运算法则对复变量对数函数 同样适用。同样适用。 2121 zlnzlnzzln）（ 21 2 1 zlnzln z z ln）（ ）（ 2121 ArgzArgzizlnzln ）（ 2121 ArgzArgzizlnzln 5幂函数幂函数 ）（）（0zzzw lnarg2 ln zizk z ee （） (arg2)izk ze ln(arg2)zizk ee ），

27、（ 210k ）（）（0zzzw ln(arg2)(arg2)zizkizk eeze 当当 （n是正整数）时：是正整数）时：n 1 2 kni e zargizlnn n ez zargin n ez 单值函数单值函数 当当 （n是正整数）时：是正整数）时： n 1 n kzarg i n nn ezzz 21 ），（1210 nk 多值（多值（n个值）函数个值）函数 当当 为复数为复数 ）（0 Im ）（ kzargizln zln eez 2 ），（ 210k z 为无穷多值的多值函数为无穷多值的多值函数 例例 ）（ kiilni i ei 2 2 ）（ ki e 2 2 2 ）（ k

28、e 2 2 例例 ）（）（ kargilni i e 2221 1 2 kkilniln e 2222 kkiiln ee 2212 ）（ kiki ee 221 2 ），（ 210k ik ik Ln eee 22 )21(ln2 122 1 )2 , 1 , 0( k )sin()cos( 3 4 3 4 )2()2(ln 23 2 23 2 3 2 3 2 kk kiikiiLni i eeei cos 22sin 22kik )2,1,0( k 解解 2 3 2 1.i求和 的值例例5 四、多值函数四、多值函数 1（定义）对于给定的复变数（定义）对于给定的复变数 ，如果复，如果复 变函

29、数变函数 有二个或二个以上的值和有二个或二个以上的值和 它对应，则这类复变函数称为多值函数。它对应，则这类复变函数称为多值函数。 z ）（zw n kzarg i n nn ezzz 21 ），（1210 nk ）（ kzargizlnzln2 ），（ 210k 2多值函数的单值分支多值函数的单值分支 2 2 kzarg i ezzzw ）（ ），（10k 多值函数多值函数 中对于给定的复变数中对于给定的复变数 ， 对应的一个函数对应的一个函数 称为该多值函数的称为该多值函数的 一个单值分支。一个单值分支。 z）（zw ）（zwi 2 1 zarg i ezzw）（ ）（ ）（ 2 2 zar

30、g i ezzw 2 1 zarg i ezzw）（ ）（ ）（ 2 2 zarg i ezzw z 性质：性质：复变量多值函数的各单值分支并不复变量多值函数的各单值分支并不 相互独立，当复变量相互独立，当复变量 沿绕某一定点的任沿绕某一定点的任 一曲线连续变化时，多值函数将交错取它一曲线连续变化时，多值函数将交错取它 各单值分支的各个数值。各单值分支的各个数值。 z设复变量设复变量 从从 出发，绕原点出发，绕原点 沿任一曲线连续变化一周后回到起点：沿任一曲线连续变化一周后回到起点： 0 00 i ezzz ：zarg 2 00 2 2 kzarg i ezzzw ）（ ）（ 2 0 2 0

31、00 ii ezez ）（）（zwzw 21 再连续变化一周后回到起点再连续变化一周后回到起点 ：zarg 42 000 ）（）（ 2 2 0 2 0 2 0 000 iii ezezez ）（）（）（zwzwzw 121 支点：多值函数支点：多值函数）（）（zfzw 当宗量当宗量z 沿绕某一定点的任一曲线连续变化沿绕某一定点的任一曲线连续变化 一周回到原处时函数值不复原一周回到原处时函数值不复原,而在而在 该点各单值分支函数值相同。该点该点各单值分支函数值相同。该点 就称为多值函数的支点就称为多值函数的支点 13 复变函数的导数复变函数的导数 一、极限一、极限(定义定义) 记作记作: 00

32、0 wzfzflim zz ）（）（ 0 z 则称则称）（zfw 在在 点以点以 为极限。为极限。 0 w ）（， 00存在复数存在复数 ,满足对满足对 0 w 当当 0 0zz,时就有时就有 0 wzf）（ 设设）（zfw 在在 0 0zz内有定义内有定义, 如果如果 这个定义在几何上意味着：当变点进入Z0一个 充分小的 邻域时，它们的像点就落入w0的一 个给定的邻域。 二、连续二、连续(定义定义) 00 0 wzfzflim zz ）（）（，则称，则称）（zfw 0 z 在在 点极限存在点极限存在若若）（zfw 0 z 在在 点连续。如果点连续。如果）（zf在区域在区域B中每一点中每一点

33、都连续都连续，则称，则称）（zfw 在区域在区域B中连续。中连续。 和和 定理定理 复变函数复变函数），（），（）（yxivyxuzf 在点在点 000 yxz连续的充要条件是：连续的充要条件是： ），（yxv），（yxu 在点在点），（ 00 yx 连续。连续。 三、导数（定义）三、导数（定义） 存在，存在， z 在在B上某点上某点 的邻域上极限的邻域上极限）（zf 设设）（zfw 是在区域是在区域B上定义的单值函数，上定义的单值函数， 如果如果 z zfzzf lim z w lim zz ）（）（ 00 且与且与0z 的的方式无关方式无关，则称函数，则称函数 ）（zfw 在在 点可导（可

34、微）。这个极限点可导（可微）。这个极限z 就叫做就叫做）（zfw 在在 点的导数（微商）。点的导数（微商）。z 记为：记为： z zfzzf lim dz df zf z ）（）（ ）（ 0 四、求导法则四、求导法则 实变函数中求导法则同样可应用于复变函数实变函数中求导法则同样可应用于复变函数 ）（）（）（）（zgzfzgzf ）（）（）（）（）（）（zgzfzgzfzgzf ）（）（）（）（ ）（）（ ）（ zgzfzfzg zgzg zf 2 1 ）（）（）（zgwfzgf ）（zgw df dz dz df1 1 nn nzz dz d zz ee dz d zcoszsin dz d

35、zsinzcos dz d z zln dz d1 chzshz dz d shzchz dz d zcos tgz dz d 2 1 zsin ctgz dz d 2 1 zch thz dz d 2 1 zsh cthz dz d 2 1 五、柯西五、柯西黎曼（黎曼（CR）方程）方程 与与 0z 的方式无关的方式无关 z zfzzf lim dz df zf z ）（）（ ）（ 0 ）（zfw 在在 点的导数存在点的导数存在z复变函数复变函数 当当 yixz沿平行实轴方向逼近零：沿平行实轴方向逼近零： 0y0 xz z zfzzf lim dz df zf z ）（）（ ）（ 0 x yx

36、ivyxuyxxivyxxu lim x ），（），（），（），（ 0 x yxuyxxu lim x ），（），（ 0 x yxvyxxv limi x ），（），（ 0 x yxv i x yxu ），（），（ 当当 yixz沿平行虚轴方向逼近零：沿平行虚轴方向逼近零： 0 x 0yiz z zfzzf lim dz df zf z ）（）（ ）（ 0 yi yxivyxuyyxivyyxu lim yi ），（），（），（），（ 0 y yxvyyxv lim y ），（），（ 0 y yxuyyxu lim i y ），（），（ 0 1 y yxu i y yxv ），（），（ y u

37、 i y v x v i x u y v x u y u x v 柯西柯西黎曼方程：黎曼方程： 是复变函数可导的必要条件是复变函数可导的必要条件 （不是充分条件）（不是充分条件） 在极坐标系中对在极坐标系中对 z zfzzf lim dz df zf z ）（）（ ）（ 0 考察考察0）（ i ez 的两种方式：的两种方式： （1）沿径向趋于零）沿径向趋于零 0 0 i ez i e uu limzf ），（），（ ）（ 0 i e vv limi ），（），（ 0 ），（），（v i u e i 1 （2）沿横向趋于零）沿横向趋于零0 0 i eiz i ei uu limzf ），（），（

38、 ）（ 0 i ei vv limi ），（），（ 0 ），（），（u i v e i 1 vu1 vu1 极坐标系中的极坐标系中的 柯西柯西黎曼方程：黎曼方程： 柯西-黎曼条件的应用 例: 讨论函数 在点z0 =0处的可导性。 2 ( )Imwf zz 解：首先考察 C-R条件是否满足。 根据 2 ( )Im2,( , )wf zzxyu x yiv x y 有 ( , )2,( , )0u x yxyv x y 0,00,0 0,00,0 |0| |0| zz zz uv xy uv yx C-R 在z0=0处成立 根据函数可导的定义： 002fzfxy zxi y 当 0z ，（且使得

39、），那么当在z沿射 0 x 线 y=kx 趋于0时，上式比值为 22 11 kkx ikxik ， 显然不同的趋向得到不同 的值，故原函数在z0=0处不可导 六、复变函数可导的充要条件六、复变函数可导的充要条件 定理定理 函数函数），（），（）（yxivyxuzf 在点在点iyxz可导的充要条件是：可导的充要条件是： （1）二元函数）二元函数），（），（yxvyxu 在点在点 可导。可导。 ），（yx （2）二元函数）二元函数），（），（yxvyxu 在点在点 满足柯西满足柯西黎曼方程：黎曼方程： ），（yx y v x u y u x v 定理定理 函数函数），（），（）（yxivyxuzf

40、 在区域在区域B内处处可导的充要条件是：内处处可导的充要条件是： （1）二元函数）二元函数），（），（yxvyxu 在区域在区域B内处处可导。内处处可导。 （2）二元函数）二元函数），（），（yxvyxu 在区域在区域B内处处满足柯西内处处满足柯西黎曼方黎曼方 程：程： y v x u y u x v 例例 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？ ! 0, 02 0, 012 lim 0 不存在不存在 时时当当 时时当当 yx xy yix yix z )( 1 1 )5()( 22 zf z zzzf，求求已已知知 例例 解解 2 2 )1( 1 )52)(5(2)( z

41、 zzzzf yix yixiyyxx z zfzzf z z )2()(2 lim )()( lim 0 0 解解 .2)(处处处处不不可可导导故故函函数数yixzf 21 y v x u 14 解析函数解析函数 一、一、 定义定义（解析函数）（解析函数） 如果函数如果函数 在点在点 及其邻域上处处可导，及其邻域上处处可导， 则称则称 在在 点解析。点解析。 ）（zf 0 z ）（zf 0 z ）（zf 如果函数如果函数 在在 点不解析，则点不解析，则 称为称为 的奇点。的奇点。 0 z ）（zf 0 z 如果函数如果函数 在区域在区域B内每一点都解析，内每一点都解析， 则称则称 是区域是区

42、域B内的解析函数。内的解析函数。 ）（zf ）（zf 注意注意（1）函数的解析性概念是和一个区域）函数的解析性概念是和一个区域 （或点的（或点的 邻域）联系在一起的。邻域）联系在一起的。 （2）函数在一个区域内可导和解析是等价的；）函数在一个区域内可导和解析是等价的； 但在一个点上可导和解析是不等价的。但在一个点上可导和解析是不等价的。 定理定理 函数函数），（），（）（yxivyxuzf 在区域在区域B内解析的充要条件是：内解析的充要条件是： （1）二元函数）二元函数），（），（yxvyxu 在区域在区域B内处处可导。内处处可导。 （2）二元函数）二元函数），（），（yxvyxu 在区域在区

43、域B内处处满足柯西内处处满足柯西黎曼方黎曼方 程：程： y v x u y u x v 二、二、 解析函数判定定理解析函数判定定理 三、三、 解析函数性质解析函数性质 定义定义 如果二元实函数如果二元实函数 在区域在区域B内内 有二阶连续偏导数，并满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数，并满足拉普拉斯方程 ），（yxu 0 2 2 2 2 y u x u ，则称，则称 是区域是区域B内内 ），（yxu 的调和函数。的调和函数。 1 定理定理 如果函数如果函数 ），（），（）（yxivyxuzf 在区域在区域B内解析，则其实部内解析，则其实部 和虚部和虚部），（yxu ），（yxv 均为均为B内的调和

44、函数。内的调和函数。 0 2 2 2 2 y u x u 0 2 2 2 2 y v x v 证明证明），（），（）（yxivyxuzf在区域在区域B内解析内解析 ），（yxu），（yxv和和任意阶导数存在，且有任意阶导数存在，且有 y v x u yx v x u 2 2 2 2 22 y u xy v 2 22 y v xy u y u x v yx u x v 2 2 2 0 2 2 2 2 y u x u 0 2 2 2 2 y v x v 均为均为B内的调和函数内的调和函数），（），（yxvyxu 2 定理定理 如果函数如果函数 ），（），（）（yxivyxuzf 在区域在区域B内解

45、析，内解析， 则则 1 Cyxu），（ 2 Cyxv），（ 是区域是区域B内的两组正交曲线族。内的两组正交曲线族。 证明证明），（），（）（yxivyxuzf在区域在区域B内解析内解析 y v x u y u x v 0 y v y u x v x u vu u是是 1 Cyxu），（ 的法向矢量的法向矢量 v是是 2 Cyxv），（的法向矢量的法向矢量 vu与与 正交正交 1 Cyxu），（ 2 Cyxv），（正交正交与与 例例1 讨论下列函数的可微性和解析性，讨论下列函数的可微性和解析性， 并在其各可微点求出导数。并在其各可微点求出导数。 2233 21yxiyxzf）（）（ ）（）（）（

46、ysiniycosezf x 2 解解 33 1yxyxu），（）（ 22 2yxyxv），（ 它们在全平面有连续一阶偏导数，它们在全平面有连续一阶偏导数， ），（），（yxvyxu在全平面处处可微。在全平面处处可微。 2 3x x u 2 4xy x v yx y v 2 4 2 3y y u = = yxx 22 43 yxy 22 43 yxx 22 43yxy 22 43 仅在仅在），），（，（），（ 4 3 4 3 00yx点点CR方程成立方程成立 0430 00 22 0 1 1 yx z xyix x v i x u zf ， ）（）（ ）（）（）（ ， ixyix x v i

47、x u zf yx z 1 16 27 43 4 3 4 3 22 2 2 2233 2yxiyxzf）（ 只在只在）（，izz1 4 3 0 21 点可微（可导），点可微（可导）， 在整个复平面处处不解析。在整个复平面处处不解析。）（zf ）（）（）（ysiniycosezf x 2 ycoseyxu x ），（ ysineyxv x ），（ 在全平面有连续一阶偏导数在全平面有连续一阶偏导数 vu，在全平面处处可微。在全平面处处可微。 ycose x u x ysine y u x ysine x v x ycose y v x = = 在整个复平面可导、解析。在整个复平面可导、解析。）（z

48、f 在整个复平面在整个复平面CR方程处处成立方程处处成立 x v i x u zf ）（ y u i x u y u i y v ）（ysiniycose x x v i y v 仅在点仅在点z = 0 (x=0, y=0) 处处 满足满足C-R条件条件: 。处处可可导导，但但处处处处不不解解析析仅仅在在0 2 zzw 则则 u= x2+y2 , v=0 0022 y v x v y y u x x u 解解 例例 判定函数判定函数 在何处可导，在何处解析在何处可导，在何处解析? 2 )(zzf 22 2 )(yxzivuzf 故故 一个点上可导和解析是不等价的一个点上可导和解析是不等价的!

49、y v x u y u x v 四、已知解析函数的实（虚）部，四、已知解析函数的实（虚）部， 求解析函数求解析函数 定理定理 设设），（yxu 可使得复变函数可使得复变函数），（），（）（yxivyxuzf 是是B内一个定点，内一个定点， 函数，则由线积分所确定的函数函数，则由线积分所确定的函数 是单连通区域是单连通区域B内的调和内的调和 ），（ ），（ ）（），（ yx yx cdy x u dx y u yxv 00 在在B内解析。其中内解析。其中 ），（ 00 yx ），（yx是是B内任一点，内任一点，c是实常数。是实常数。 证明证明 ），（yxu是调和函数是调和函数 0 2 2 2 2

50、 y u x u 即：即：）（）（ x u xy u y ），（ ），（ ）（），（ yx yx cdy x u dx y u yxv 00 cdy y v dx x v dvyxv ）（），（ 故存在函数故存在函数v（x，y）使：）使： y v x u y u x v C-R方程成立方程成立 且且B是单连通区域，线积分与路径无关是单连通区域，线积分与路径无关 ），（），（）（yxivyxuzf在在B内解析内解析 又又 同理，若已知单连通区域同理，若已知单连通区域B内的调和函数内的调和函数 ），（yxv 可使得复变函数可使得复变函数），（），（）（yxivyxuzf ，则由线积分所确定的函数，