复变函数与积分变换全册配套完整精品课件1.ppt

1、复变函数与积分变换全册配套复变函数与积分变换全册配套 完整精品课件完整精品课件1 第二节第二节 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 一、乘积与商 二、幂与根 三、小结与思考 3 一、一、乘积与商（乘积与商（Products and Quotients ） 定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘两个复数乘积的模等于它们的模的乘 积积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 的三角形式分别为的三角形式分别为和和设复数设复数 21 zz ,sin(cos 1111 ） irz ,sin(cos 2222 ） irz )sin(cos)sin(cos 222

2、11121 irirzz 则则 )sincoscos(sin )sinsincos(cos 2121 212121 i rr 证证 4 )sin()cos( 21212121 irrzz 两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘, , 辐角相加辐角相加. . , 2 倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r 从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , , 21 zz , 2 1 旋转一个角旋转一个角 按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21 zzz 就表示积就表示积所得向量所得向量 2 o x y r 2 r 1 r 2 z 1 1 z z .Arg

3、Arg)(Arg 2121 zzzz 证毕证毕 5 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数 21 zz , 1 11 i erz . )( 2121 21 i errzz则则, 2 22 i erz 由此可将结论推广到由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况个复数相乘的情况: n zzz 21 ), 2 , 1(,)sin(cos nkerirz k i kkkkk 设设 )sin( )cos( 21 2121 n nn i rrr . )( 21 21n i ne rrr 6 定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两两 个复数的商的辐角等

4、于被除数与除数的辐角之差个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 证证按照商的定义按照商的定义, , 0 1 时时当当 z, 1 1 2 2 z z z z , 1 1 2 2 z z z z ,ArgArgArg 1 1 2 2 z z z z , 1 2 1 2 z z z z 于是于是.ArgArgArg 12 1 2 zz z z 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数 21 zz , 1 11 i erz . )( 1 2 1 2 12 i e r r z z 则则, 2 22 i erz 证毕证毕 7 例例1 1 解解 , 3 cos 3 sin ),31( 2 1

5、21 iziz已知已知 , 3 sin 3 cos 1 iz因为因为 , 6 sin 6 cos 2 iz 63 sin 63 cos 21 izz所以所以 , i 63 sin 63 cos 2 1 i z z . 2 1 2 3 i . 2 1 21 z z zz和和求求 8 二、幂与根（二、幂与根（Powers and Roots of Complex Numbers） 1. n次幂次幂: , , n z nzzn 记作记作 次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数 . 个个n n zzzz . )sin(cos , ninrzn nn 有有对于任何正整数对于任何正整数 .

6、, , 1 上式仍成立上式仍成立 为负整数时为负整数时那么当那么当如果我们定义如果我们定义n z z n n 9 ,sincos , 1 izrz 即即的模的模当当 .sincos)sin(cos nini n 棣莫佛公式棣莫佛公式 棣莫佛介绍棣莫佛介绍 . , . 3为已知复数为已知复数其中其中的根的根方程方程zwzw n n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 )1, 2 , 1 , 0( nk 推导过程如下推导过程如下: 2.2.棣莫佛公式（棣莫佛公式（de Moivres formula ） 10 ),sin(cos irz 设设),sin(cos iw 根据棣莫

7、佛公式根据棣莫佛公式, )sin(cos ninw nn ),sin(cos ir , r n 于是于是,coscos n,sinsin n ,2 kn 显然显然), 2, 1, 0( k , 2 , 1 n k r n 故故 n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 11 , 1, 2 , 1 , 0 时时当当 nk :个相异的根个相异的根得到得到 n ,sincos 1 0 n i n rw n , 2 sin 2 cos 1 1 n i n rw n , . )1(2 sin )1(2 cos 1 1 n n i n n rw n n 当当k以其他整数值代入时以其他整

8、数值代入时, 这些根又重复出现这些根又重复出现. 12 , 时时例如例如nk n n i n n rw n n 2 sin 2 cos 1 n i n r n sincos 1 . 0 w 从几何上看从几何上看, , 个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的nz n . 1 个顶点个顶点边形的边形的为半径的圆的内接正为半径的圆的内接正nnr n 13 例例3 3 解解 .)1()1( nn ii 化简化简 ii 2 1 2 1 21 4 sin 4 cos2i ii 2 1 2 1 21 4 sin 4 cos2i 14 nn ii)1()1( n n i 4 sin 4 cos)2( n

9、 n i 4 sin 4 cos)2( 4 sin 4 cos 4 sin 4 cos)2( n i nn i n n . 4 cos2 2 2 n n 15 例例4 4 . 1 3的值的值计算计算i 解解 ii 2 1 2 1 21 4 sin 4 cos2i 3 1i 3 2 4 sin 3 2 4 cos2 6 k i k ).2 , 1 , 0( k 16 , 12 sin 12 cos2 6 0 iw , 12 7 sin 12 7 cos2 6 1 iw . 4 5 sin 4 5 cos2 6 2 iw 即即 17 例例5 5 . 1 4的值的值计算计算i 解解 4 sin 4

10、cos21ii 4 2 4 sin 4 2 4 cos21 84 k i k i ).3 , 2 , 1 , 0( k , 16 sin 16 cos2 8 0 iw即即 , 16 9 sin 16 9 cos2 8 1 iw 18 , 16 17 sin 16 17 cos2 8 2 iw . 16 25 sin 16 25 cos2 8 3 iw . 2 8 圆的正方形的四个顶点圆的正方形的四个顶点 的的心在原点半径为心在原点半径为 这四个根是内接于中这四个根是内接于中 o x y 1 w 2 w 3 w 0 w 19 三、小结与思考三、小结与思考 应熟练掌握复数乘积与商的运算应熟练掌握复

11、数乘积与商的运算. 在各种在各种 形式中以三角形式、指数形式最为方便形式中以三角形式、指数形式最为方便: 棣莫佛棣莫佛( (de Moivre)公式公式 )( 2121 21 i errzz )( 1 2 1 2 12 i e r r z z nini n sincos)sin(cos 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. . 20 Abraham de Moivre 棣莫佛资料棣莫佛资料 Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), France Died: 27 Nov 1754 in London, England 21 22 Definit

12、ion (Modulus ) or Absolute Value . The modulus, or absolute value, of the complex number z=x+iy is a nonnegative real number denoted by |z| and is given by the equation 23 The number |z| is the distance between the origin and the point z=(x,y). The only complex number with modulus zero is the number

13、 0. The numbers |Re(z)|, |Im(z)|, and |z| are the lengths of the sides of the right triangle. 24 The inequality means that the point is closer to the origin than the point and it follows that and . 25 The distance between and is given by 26 I f are arbitrary complex numbers, then . (Triangle Inequal

14、ity) 第三节第三节 平面点集平面点集 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 三、典型例题 四、小结与思考 28 一、区域（一、区域（ Domain in the Complex Plane ） 的概念的概念 1. 邻域（邻域（ neighborhood ）: . : )( , 00 0 的邻域的邻域内部的点的集合称为内部的点的集合称为的圆的圆 为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以 zzz z 说明说明 . , 0 , 点的邻域点的邻域 称为无穷远称为无穷远其中实数其中实数所有点的集合所有点的集合 的的且满足且满足包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 M Mz

15、29 2.去心邻域（去心邻域（centerless neighborhood ）: . 0 0 0 的去心邻域的去心邻域集合为集合为 所确定的点的所确定的点的称由不等式称由不等式 z zz 说明说明 . . , , zM Mz 可以表示为可以表示为 域域称为无穷远点的去心邻称为无穷远点的去心邻的所有点的集合的所有点的集合 仅满足仅满足内内不包括无穷远点自身在不包括无穷远点自身在 30 3.内点（内点（interior point ）: . , , . , 0 0 0 的内点的内点称为称为那末那末 于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在 如果如果中任意一点中任意

16、一点为为为一平面点集为一平面点集设设 Gz Gz GzG 4.开集（开集（open set）: 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称称 为开集为开集. . 31 5.区域（区域（domain ）: 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称则称 它为一个区域它为一个区域. . (1) D是一个是一个开集开集； (2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何两点都可以用中任何两点都可以用 完全属于完全属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来. 6.边界点、边界（边界点、边界（ boundary point ，boundary

17、 ）: 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点 P P 不不 属于属于D, 但在但在 P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的中的 点点,这样的这样的 P P 点我们称为点我们称为D的的边界点边界点. 32 D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. . 说明说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的的点所组成的. (2) 区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域 .D z 1 C 2 C 3 C z 1 C 2 C 3 C 33 以上基以上基 本概念本概念 的图示的图示

18、 1 z 2 z 区域区域 0 z 邻域邻域 P 边界点边界点 边界边界 7.有界区域和无界区域有界区域和无界区域: . , , 0, , 界的界的 否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足 使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面 点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域 DMz M D 34 35 (1) 圆环域圆环域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r 课堂练习课堂练习 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界? (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域:;arg0 z (4)

19、 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界. x y o 36 二、单连通域与多连通域二、单连通域与多连通域 1. 连续曲线连续曲线: . , )( ),( , )( , )( )( 称为连续曲线称为连续曲线表一条平面曲线表一条平面曲线 代代那末方程组那末方程组 是两个连续的实变函数是两个连续的实变函数和和如果如果 btatyytxx tytx 平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示: )().()()(btatiytxtzz 37 2. 光滑曲线光滑曲线: . 0, )( )( , , )( )( , 22 称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的 那末那末

20、有有的每一个值的每一个值且对于且对于 都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxt tytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. . x y o x y o 38 3. 简单曲线简单曲线: . )( )( , )()( : 的起点和终点的起点和终点分别称为分别称为与与 为一条连续曲线为一条连续曲线设设 Cbzaz btatzzC . )( , )()( , , 12121 2121 的重点的重点 称为曲线称为曲线点点时时而有而有 当当与与的的对于满足对于满足 Ctztztztt ttbtabta 没有重点的

21、曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔或若尔 当曲线当曲线).). 39 . , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称 即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线 Cbzaz C 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质: 任意一条简单任意一条简单 闭曲线闭曲线 C 将复平面将复平面 唯一地分成三个互唯一地分成三个互 不相交的点集不相交的点集. x y o 内部内部 外部外部 边界边界 40 课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线? 答答 案案 简简 单单

22、 闭闭 简简 单单 不不 闭闭 不不 简简 单单 闭闭 不不 简简 单单 不不 闭闭 )(az)(bz )(az )(bz )(az)(bz )(az )(bz 41 4. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一 条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为 单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为 多连通域多连通域. 单连通域单连通域多连通域多连通域 42 三、典型例题三、典型例题 例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明

23、下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还 是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. ; 411)4( ; 3 1 )3(; 3 arg)2(; 1)Re() 1 ( 2 zz z zz 解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re( 222 yxz , 11)Re( 222 yxz 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图). 43 3 arg)2( z , 3 arg 33 arg zz 是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图). 3 1 )3( z , 3 1 3 1 z z , 3 1 , 的圆的外部的圆的外部 半径为半径为是以原点为中心是以原点

24、为中心 无界的多连通域无界的多连通域. 44 411)4( zz 表示到表示到1, 1的距离之的距离之 和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆, 411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz 有界的单连通域有界的单连通域. 45 111)5( zz ,sincos irrz 令令 111 zz边界边界 1sin)1cos(sin)1cos( 222222 rrrr 1)1cos2)(1cos2( 22 rrrr 1)cos(4)1( 222 rr ,2cos2 0 2 rr或或 , )( 2cos2 2 也称双纽线也称双纽线是双叶玫瑰线是双叶玫瑰线 r ,111是其

25、内部是其内部 zz 有界的单连通域有界的单连通域. 46 例例2 2 解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域? , 3Im)1( z 是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, -3-2-1123 x 1 2 3 4 5 6 y 不是区域不是区域. , 2Re)2( z ), 2Re ( 2Re z z 不包括直线不包括直线 为左界的半平面为左界的半平面以以 单连通域单连通域. 47 , 210)3( iz , 2 , )1( 的去心圆盘的去心圆盘 为半径为半径为圆心为圆心以以i 是多连通域是多

26、连通域. , 4 )arg()4( iz ), ( 1 , i i 不包括端点不包括端点 的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以以 不是区域不是区域. 48 四、小结与思考四、小结与思考 应理解区域的有关概念应理解区域的有关概念: 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、 区域、有界区域、无界区域区域、有界区域、无界区域 理解单连通域与多连通域理解单连通域与多连通域. 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. . 49 作业：作业： P-28 1.1.19， 1.1.22， 1.2.1（a，b，c），）， 1.2.5 1.3.1，1.3.2

27、，1.2.3 50 复习复习 51 典型例题典型例题 例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还 是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. . 111)5(; 411)4( ; 3 1 )3(; 3 arg)2(; 1)Re()1( 2 zzzz z zz 解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re( 222 yxz , 11)Re( 222 yxz 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图). 52 3 arg)2( z , 3 arg 33 arg zz 是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图). 3 1

28、)3( z , 3 1 3 1 z z , 3 1 , 的圆的外部的圆的外部 半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心 无界的多连通域无界的多连通域. 53 411)4( zz 表示到表示到1, 1的距离之的距离之 和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆, 411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz 有界的单连通域有界的单连通域. 54 例例2 2 解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域? , 3Im)1( z 是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, -3-2-

29、1123 x 1 2 3 4 5 6 y 不是区域不是区域. , 2Re)2( z ), 2Re ( 2Re z z 不包括直线不包括直线 为左界的半平面为左界的半平面以以 单连通域单连通域. 55 , 210)3( iz , 2 , )1( 的去心圆盘的去心圆盘 为半径为半径为圆心为圆心以以i 是多连通域是多连通域. , 4 )arg()4( iz ), ( 1 , i i 不包括端点不包括端点 的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以以 不是区域不是区域. 56 四、小结与思考四、小结与思考 应理解区域的有关概念应理解区域的有关概念: 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、邻域、去心

30、邻域、内点、开集、边界点、边界、 区域、有界区域、无界区域区域、有界区域、无界区域 理解单连通域与多连通域理解单连通域与多连通域. 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. . 第四节第四节 复变函数复变函数 一、复变函数的定义 二、映射的概念 三、典型例题 四、小结与思考 58 一、复变函数（一、复变函数（Functions of a Complex Variable ）的定义）的定义 ).( ), ( , , , , . zfw zw ivuwz G iyxzG 记记作作复复变变函函数数 简简称称的的函函数数是是复复变变数数那那末末称称复复变变数数之之对对应应 与与就就有有一一个个或

31、或几几个个复复数数每每一一个个复复数数 中中的的对对于于集集合合按按这这个个法法则则个个确确定定的的法法则则存存在在 如如果果有有一一的的集集合合是是一一个个复复数数设设 1.复变函数的定义复变函数的定义: 59 2.单单(多多)值函数的定义值函数的定义: . )( , 是单值的是单值的我们称函数我们称函数 那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果 zf wz . )( , 是多值的是多值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值 两个以上两个以上的一个值对应着两个或的一个值对应着两个或如果如果 zfw z 3.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合: ; )( )( 定义域

32、定义域的定义集合的定义集合称为称为集合集合zfG . , * 称为函数值集合称为函数值集合 值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有对应于对应于GwzG 60 4. Just as z can be expressed by its real and imaginary parts, z=x+iy , we write W = f(z)=u+iv, where u and v are the real and imaginary parts of w , respectively. This gives us the representation W = f(z)= f(x+iy) =

33、 u+iv . Since u and v depend on x and y , they can be considered to be real valued functions of the real variables x and y ; that is u(x,y) and v(x,y) . Combining these ideas it is customary to write a complex function f in the form f(z)= f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) . Definition. A function f(z) of t

34、he complex variable z can be written: f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y ) . 61 复变函数与自变量之间的关系复变函数与自变量之间的关系: : )( 相当于两个关系式相当于两个关系式 之间的关系之间的关系自变量自变量与与复变函数复变函数zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的两个二元实变函数的两个二元实变函数和和它们确定了自变量为它们确定了自变量为yx 例如例如, , , 2 zw 函数函数, ivuwiyxz 令令 2 )( iyxivu 则则,2 22 xyiyx : 2 数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函于是函数于

35、是函数zw , 22 yxu .2xyv 62 We can define such functions as zn, exp(z), sin z, and all the basic elementary functions of z as well as of x. 63 二、映射（二、映射（Mappings ）的概念）的概念 1. 引入引入: . , , , , 的点集之间的对应关系的点集之间的对应关系 上上必须看成是两个复平面必须看成是两个复平面的几何图形表示出来的几何图形表示出来 因而无法用同一平面内因而无法用同一平面内之间的对应关系之间的对应关系和和 由于它反映了两对变量由于它反映

36、了两对变量对于复变函数对于复变函数 yx vu 64 2.映射的定义映射的定义: ).( )( * )( )( , , 或变换或变换 的映射的映射函数值集合函数值集合平面上的一个点集平面上的一个点集 变到变到定义集合定义集合平面上的一个点集平面上的一个点集是把是把 在几何上就可以看作在几何上就可以看作那末函数那末函数值值 的的平面上的点表示函数平面上的点表示函数而用另一个平面而用另一个平面 的值的值平面上的点表示自变量平面上的点表示自变量如果用如果用 Gw Gz zfw ww zz 65 . ),( , * )( 的原象的原象 称为称为而而映象映象的象的象称为称为那末那末中的点中的点 映射成映

37、射成被映射被映射中的点中的点如果如果 wzzww GzfwzG . )( 所构成的映射所构成的映射 函数函数这个映射通常简称为由这个映射通常简称为由zfw 66 . )1(构成的映射构成的映射函数函数zw x y o u v o iz32 1 iw32 1 iz21 2 iw21 2 AB C A B C , 11 wz , 22 wz .CBAABC 3. 两个特殊的映射两个特殊的映射: . ibaw wibazz 的点的点 平面上平面上映射成映射成平面上的点平面上的点将将 67 x y o u v o iz32 1 iw32 1 iz21 2 iw21 2 AB C A B C , 11

38、wz , 22 wz .CBAABC . , 映射映射是关于实轴的一个对称是关于实轴的一个对称 不难看出不难看出重叠在一起重叠在一起 平面平面平面和平面和如果把如果把 zw wz o 1 w 2 w 1 z 2 z 且是全同图形且是全同图形. 68 . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw . 1 ,43, 1 1,21, 321 321 wiwww zizizz 平面上的点平面上的点映射成映射成 平面上的点平面上的点显然将显然将 x y o u v o 1 z 2 z 2 w 3 w1 w 3 z 69 . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw 根据复数的乘法公式可知根据复数

39、的乘法公式可知, . 2 的辐角增大一倍的辐角增大一倍将将映射映射zzw x y o u v o 2 . 2 的角形域的角形域平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为 的角形域映射成的角形域映射成平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为将将 wz 70 4. 反函数的定义反函数的定义: .)( * , * , )( 点点或几个或几个中的一个中的一个必将对应着必将对应着每一个点每一个点 中的中的那末那末平面上的集合平面上的集合函数值集合为函数值集合为 平面上的集合平面上的集合的定义集合为的定义集合为设设 Gw GGw Gzzfw . )( , )( , )( )( * 的逆映射的逆映射为映射为映射 也称

40、也称的反函数的反函数它称为函数它称为函数 函数函数或多值或多值上就确定了一个单值上就确定了一个单值于是在于是在 zfw zfwwz G 71 根据反函数的定义根据反函数的定义, *,Gw ),(wfw 当反函数为单值函数时当反函数为单值函数时, .),(Gzzfz . * . )() ( ,)( )( )( )( 是一一对应的是一一对应的合合 与集与集也可称集合也可称集合是一一对应的是一一对应的射射 映映那末称函数那末称函数都是单值的都是单值的逆映射逆映射 与它的反函数与它的反函数映射映射如果函数如果函数 G Gzfw wz zfw 今后不再区别函数与映射今后不再区别函数与映射. 72 5.

41、复合函数（复合函数（Composite functions ） 定义定义: 设函数设函数 w = f (u), u D1，函数，函数 u= (z), z D2, 其值域为其值域为 (D2)=uu= (z), z D2 D1 ，则称函数，则称函数 w=f (z) 为为z的的复合函数复合函数。 73 解解 三、典型例题三、典型例题 例例1 1 : 2 上的象上的象 平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw ; 4 , 20 )1( r线段线段 , , i i ew rez 设设 ,2, 2 r则则 , 2 , 40 4 , 20 映射为映射为故线段故线段r 还是线段还是线段.

42、 x y o u v o 2 zw 74 例例1 1 : 2 上的象上的象 平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw ; 4 )2( 22 yx双曲线双曲线 , ivuwiyxz 令令 ivu 则则,2 22 xyiyx , 22 yxu 解解 , 4 4 22 u yx . 轴的直线轴的直线平行于平行于 v x y o 2 zw u v o22 4 75 例例1 1 : 2 上的象上的象 平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw 解解 . 20 , 4 0 )3( r 扇形域扇形域 , , ii ewrez 设设,2, 2 r则则 , 40, 2

43、0 映射为映射为 故扇形域故扇形域 20 , 4 0 r 2 zw 仍是扇形域仍是扇形域. 76 四、小结与思考四、小结与思考 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点复变函数以及映射的概念是本章的一个重点. 注意：注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的只要将后者定义中的“实数实数”换为换为“复数复数”就行就行 了了. 77 思考题思考题 “函数函数”、“映射映射”、“变换变换”等名词有无等名词有无 区别？区别？ 78 思考题答案思考题答案 在复变函数中在复变函数中, 对对“函数函数”、“映射映射”、 “变换变换”等名词的使用等名词的

44、使用, 没有本质上的区别没有本质上的区别. 只只 是函数一般是就数的对应而言是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换而映射与变换 一般是就点的对应而言的一般是就点的对应而言的. 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. . 79 作业作业 ：P-28 1.4.1，1.4.2，1.4.3，1.4.5 第五节第五节 初等函数初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考 81 一、指数函数（一、指数函数（Exponential Function ） 1.指数函数的定义指数函数的定义: )sin(cosexp

45、 yiyez x 或 ）（ 定义设 yiyee iyxz xz sincos , 82 指数函数的定义等价于关系式指数函数的定义等价于关系式: )( ,2)(expArg ,|exp| 为任何整数为任何整数其中其中k kyz ez x . exp 来表示来表示可以用可以用指数函数指数函数 z ez )sin(cosyiyee xz 83 ).Re( ,)( ,0)Im( zx ezfz x 其中 时当 84 2. 加法定理加法定理 1212 zzzz eee 证证 , , 222111 iyxziyxz 设设 12 ee zz 左左端端 )sin(cos)sin(cos 2211 21 yiy

46、eyiye xx )sincoscos(sin )sinsincos(cos 2121 2121 21 yyyyi yyyye xx )sin()cos( 2121 21 yyiyye xx 12 . zz e 右右端端 85 , e , z 根根据据加加法法定定理理 可可以以推推出出的的周周期期性性 e2, z k i 的的周周期期是是 . 22zikzikz eeee 即即)(为任何整数为任何整数其中其中k . 所没有的所没有的该性质是实变指数函数该性质是实变指数函数 x e 例例1 );Re()3(;)2(;)1( , 1 2 2 z zzi eeeiyxz 求求设设 解解)sin(co

47、s yiyeee xiyxz 因为因为 .cos)Re( , yeeee xzxz 实部实部所以其模所以其模 86 zi e 2 )1( )(2iyxi e , )21(2yix e ; 22xzi ee 2 )2( z e 2 )(iyx e , 2 22 xyiyx e ; 222 yxz ee z e 1 )3( yix e 1 , 2222 yx y i yx x e .cos)Re( 22 1 22 yx y ee yx x z 87 例例2 解解 求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值: .)4(;)3(;)2(;) 1 ( 4343322iiii eeee )sin(cos

48、 的辐角的辐角因为因为yiyeee xiyxz )(2Arg为整数为整数kkye z .,(- arg 内的一个辐角内的一个辐角为区间为区间其辐角主值其辐角主值 z e )1( ,21Arg 2 ke i ; 1arg 2 i e )2( ,23Arg 32 ke i ; 3arg 32 i e 88 ,24Arg 43 ke i ;24arg 43 i e ,24Arg 43 ke i ;24arg 43 i e ;)3( 43i e ;)4( 43i e 89 二、对数函数（二、对数函数（Logarithmic Functions） 1. 定义定义 .ArglnLn , )( )0( zi

49、zzw zfwzze w 记为记为称为对数函数称为对数函数 的函数的函数满足方程满足方程 .2 , )( , Arg 的整数倍的整数倍并且每两值相差并且每两值相差也是多值函数也是多值函数 所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于 i zfwz 90 (0) LnlnArg . , , w i u ivi uivi ez z wzziz wuivzre ere eree 91 ,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果将如果将 . Ln ln Ln 的主值的主值称为称为，记为记为为一单值函数，为一单值函数，那末那末zzz .arglnlnzizz 其余各值为其

50、余各值为), 2, 1(2lnLn kikzz . Ln , , 的一个分支的一个分支称为称为 上式确定一个单值函数上式确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的 z k 特殊地特殊地, . ,lnln Ln , 0 是实变数对数函数是实变数对数函数 的主值的主值时时当当xzzxz 92 例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以 )1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以 注意注意: