数理方程全册配套完整精品课件1.ppt

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数 数学科学学院数学科学学院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4 数学物理方程数学物理方程 作者作者: 李明奇、田太心李明奇、田太心 购买地点：教材科购买地点：教材科 原课件作者：原课件作者：杨春、杨春、李明奇李明奇 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t

2、 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5 参考文献参考文献 1 梁昆淼，数学物理方法，人民教育出版社，梁昆淼，数学物理方法，人民教育出版社，1998 2 沈施，数学物理方法，同济大学出版社，沈施，数学物理方法，同济大学出版社，2002 3 姚瑞正，梁家宝，数学物理方法，武汉大学出版社，姚瑞正，梁家宝，数学物理方法，武汉大学出版社，1992 4 谢鸿证，杨枫林，数学物理方程，科学出版社，谢鸿证，杨枫林，数学物理方程，科学出版社，2001 5 南京工学院数学教研组，数学物理方程与特殊函数，人民教育出南京工学院数学教研组，数学物理方程与特殊函数，人民教育出 版社，版社，198

3、3 6 孙振绮，数学物理方程，机械工业出版社，孙振绮，数学物理方程，机械工业出版社，2004 7 胡嗣柱，倪光炯，数学物理方法，复旦大学出版社，胡嗣柱，倪光炯，数学物理方法，复旦大学出版社，1989 8 姜尚礼，陈亚浙，数学物理方程讲义，高等教育出版社，姜尚礼，陈亚浙，数学物理方程讲义，高等教育出版社，1996 9 F.W.拜伦，拜伦，R.w.富勒，物理中的数学方法，科学出版社，富勒，物理中的数学方法，科学出版社，1982 10 陈恕行，洪家兴，偏微分方程近代方法，复旦大学出版社，陈恕行，洪家兴，偏微分方程近代方法，复旦大学出版社， 1989 11 王元明，管平，线性偏微分方程引论，东南大学出

4、版社，王元明，管平，线性偏微分方程引论，东南大学出版社，2002 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6 三种方程、三种方程、 四种求解方法、四种求解方法、 二个特殊函数二个特殊函数 分离变量法、分离变量法、 行波法、行波法、 积分变换法、积分变换法、 格林函数法格林函数法 波动方程、波动方程、 热传导方程、热传导方程、 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 贝赛尔函数、贝赛尔函数、 勒让德函数勒让德函数 本课程主要内容本课程主要内容 百万美元奖金问题百万美元奖金问题 NavierNavier-Stokes -Stokes exist

5、ence and smoothness from existence and smoothness from the the Clay Mathematics InstituteClay Mathematics Institute 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7 第一章第一章 绪论绪论 一、课程意义一、课程意义 二、二、课程学习的基本要求课程学习的基本要求 三、三、常用算子常用算子 四、物理定律与偏微分方程概念四、物理定律与偏微分方程概念 五、复习一些常微分方程五、复习一些常微分方程 0.8 1 0.6 0.4 0

6、.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 8 在物理学、无线电技术、自动化工程、电子工程、在物理学、无线电技术、自动化工程、电子工程、 生物工程等众多领域中生物工程等众多领域中, ,不可避免的问题是需要研究不可避免的问题是需要研究 多个物理量之间的函数关系。多个物理量之间的函数关系。 物物理理量之间的函量之间的函数关数关系（系（在时间和空间上有变化在时间和空间上有变化） 多为微多为微分方分方程，因而问题归结为方程的程，因而问题归结为方程的推导和求推导和求解解。 一、课程意义一、课程意义 本课程主要介绍一些典型的、具有物理学背景的本课程主要介绍一些典型的、具有

7、物理学背景的 微分方程的推导与求解。微分方程的推导与求解。 所以，本课程就成为多数理工科专业学生的一门所以，本课程就成为多数理工科专业学生的一门 重要基础性课程。重要基础性课程。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9 二、课程学习的基本要求二、课程学习的基本要求 (1)、理解数学物理方程中出现的基本概念；、理解数学物理方程中出现的基本概念； (2)、能正确写出典型物理问题的方程与定解、能正确写出典型物理问题的方程与定解 条件；条件； (3)、了解定解问题解的物理意义；、了解定解问题解的物理意义； (4)、熟练掌握三类典型

8、偏微分方程定解问题、熟练掌握三类典型偏微分方程定解问题 的典型解法的典型解法 考试重点：定解问题求解考试重点：定解问题求解(统考统考,考教分离考教分离)。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 10 ( )( )Df xfx , xyz The nabla differential operator gradient: Scalar = vector Vector = tensor / x/ y/ z u v w Covariant derivative () uvu vu v 三、常用算子三、常用算子 0.8 1 0.6

9、0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n P DVVVVV auvw Dttxyz ),(tzyxVV 11 Total acceleration of a particle Local acceleration in time Convective acceleration in space 方向导数方向导数 The steady-flow around a cylinder: velocity field 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12 The velocity

10、field V A source Total flux change = (field change in X direction) + (field change in Y direction) + (field change in Z direction) div AA DivergenceDivergence算子算子 A0 A0 A=0 z w y v x u 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13 rot AA The curl operator rotation Curl : Pushing force per

11、 area CurlCurl算子算子 Velocity field VCurl field of V 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n Scalar variable T 14 222 222 xyz Div(grad U) In one dimension, T 0 if T concave, 0 if T is at local minima, T T2T1T 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 34 (d , )( , )u xx tu x t

12、 Tgdsma xx 2 2 (d , )( , )( , ) dd u xx tu x tu x t Tg xx xxt 2 2 (d , )( , )( , )( , ) dd u xx tu x tu x tu x t xx xxxxx 22 22 ( , )( , ) dd ux tu x t Tgxx xt 其中：其中： 其中：其中： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 35 22 22 ( , )( , ) dd ux tu x t Tgxx xt 22 22 ( , )( , )Tux tu x t g xt

13、 一维波动方程一维波动方程 -非齐次方程非齐次方程自由项自由项 忽略重力作用：忽略重力作用： -齐次方程齐次方程 令：令： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 由由Hooke定律（假设定律（假设A是常量），是常量）， 36 二、细杆的纵向振动问题二、细杆的纵向振动问题 设均匀细杆长为设均匀细杆长为L，线密度为线密度为 ，横截面积，横截面积A,A,杨氏杨氏 模量为模量为Y，杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿 杆长方向的扰动（沿杆长方向的扰动（沿x轴方向的振动）。试建立杆轴方向的振动）。试建立

14、杆 上质点位移函数上质点位移函数u(x，t)的纵向振动方程。的纵向振动方程。 F/A u(x,t) u(x+dx,t) x x+dx L O 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 37 令令a2 = Y/ , a纵向振动在杆上传播速度纵向振动在杆上传播速度。 化简得化简得 utt = a2 uxx 进而进而 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 38 例：长为例：长为l 密度为密度为的均匀柔软细绳在的均匀柔软细绳在x x=0=0端固端固 定，在重力作用下，

15、垂直悬挂。横向拉它一下作定，在重力作用下，垂直悬挂。横向拉它一下作 微小横振动。写出函数微小横振动。写出函数u(x，t)的横向的横向振动方程。振动方程。 u(x,t) o x T(x) x x+dx 1 2 T(x+dx) 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 39 取微元：取微元：x,x+dx 竖直方向：竖直方向： 21 ()cos( )cos0(1)T xdxT xgdx 水平方向水平方向(Newtons second law)： 21 ()sin( )sin(2) tt T xdxT xdxu 对于对于(1)，1与与2

16、很小，于是得：很小，于是得： ()( )0T xdxT xgdx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 40 在在x=0处张力等于处张力等于glgl,于是得：于是得： ( )()T xgl lx 对于对于(2)，1与与2很小很小(ux=tansin )，于是，于是 得：得： ()(, )( )( , ) xxtt T xdx u xdx tT x u x tdxu 即：即： 0 () x d T gTxg d xg xC d x 由有限增量公式得：由有限增量公式得： ( ) xxtt T x uu 0.8 1 0.6 0.4

17、 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 41 三、三、the Navier-Stokes equation Describe the motion of fluid, arising from applying Newtons second law, with assumption that the stress in the fluid is the sum of a diffusing viscous term and a pressure term - Claude-Louis Navier, George Gabriel Stokes Solu

18、tion: A velocity (not position) field in space and in time the trajectories of position of a fluid particle 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 42 三、三、the Navier-Stokes equation Incompressible and Newtonian (constant viscosity) fluid, conservation of momentum kinematic viscosity (c

19、onstant) density (constant) pressure external force (such as gravity, electromagnetic etc.) Diffusion term How fluid motion is damped High-viscosity honey, Low-viscosity - air Advection term Force exerted on a particle by other particles surrounding it Pressure term Fluid flows in the direction of l

20、argest change in pressure Boundary condition (continuity): 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 43 Momentum equation from Newtons second law The gravity force The pressure force The viscous force 1. Inertial force per unit volume in x direction Velocity V = (u, v, w) of a fluid elem

21、ent of volume dxdydz dx dy dz The acceleration: 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 44 2. Body forces (gravitational, electric, magnetic forces etc.) Body force per unit volume in x direction 3. Pressure forces per unit volume Net pressure force per unit volume in x direction dx dy

22、 dz Net pressure force in all direction 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 45 4. Viscous forces When fluid is in motion internal friction will set up viscous stresses which is oppose the motion of the fluid. On each surface, a viscous stress has three components: one perpendicular

23、 to the surface, and two others within the surface parallel to other two axes. Imagine the tiny parcel of fluid shrinking down a volume of zero, we then have zzzyzx yzyyyx xzxyxx ij The viscous stress tensor: 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 46 4. Viscous forces dz/2 yx z z yxF

24、TT 2 0 yx z z yxF BB 2 0 The force balance V z zyx z yx z x yx z z FF BT 22 00 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 47 4. Viscous forces The balanced force acts in the x direction, and is one of the x- components of the viscous stresses. The other two components are from stresses xx

25、 and yx. zyx V V z V y V x F zx yx xx zx yx xx stressesviscousx , zyxV F zx yx xx stressesviscousx , The viscous force per unit volume in the x direction: 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 48 z y x g x p Dt Du zx yx xx x x w z u z y u x v y .V x u 2 x g x p z u w y u v x u u t u

26、x Navier-Stokes equation in X direction 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 49 (二二)、具体物理过程描述、具体物理过程描述定解条件定解条件 首先指出：具体物理系统所处物理状首先指出：具体物理系统所处物理状 况除受一般物理规律支配外，还受系统所况除受一般物理规律支配外，还受系统所 处的处的“环境环境”和系统的和系统的“历史状况历史状况”的影的影 响。响。 系统所处的系统所处的“环境环境”状况：边界条件状况：边界条件 系统的系统的“历史历史”状况：初始条件状况：初始条件 求解一个具体

27、物理问题，都要考虑求解一个具体物理问题，都要考虑 定解条件！定解条件！ 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 50 1、初始条件、初始条件 初始条件是系统在初始条件是系统在t=0时的状态。时的状态。 初始条件的个数等于微分方程的阶数。初始条件的个数等于微分方程的阶数。 例、一根长为例、一根长为L，两端固定的弦，用手把它的，两端固定的弦，用手把它的 中点横向拉开距离中点横向拉开距离h，然后松手让其自由振动。，然后松手让其自由振动。 其初始条件为：其初始条件为： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1

28、.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 51 初始速度：初始速度： 0 0 tt u 初始位置：初始位置： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 52 II. 第二类（第二类（ derivation ）: ),(tzyx n u S I. 第一类（第一类（variable）: ),(tzyxu S 2、三类边界条件、三类边界条件 III. 第三类（第三类（variable + derivation): ),(tzyxu n u S - a constant , , - known functions 0.8 1 0.6 0

29、.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 53 例例1、弦的两端、弦的两端x=0和和x=l固定振动，则边界条件是固定振动，则边界条件是 例例2、细杆导热问题：若杆的一个端点、细杆导热问题：若杆的一个端点x=a的温度的温度u 按已知的规律按已知的规律f(t)变化，则该端点的边界条件是变化，则该端点的边界条件是 II. 第一类边界条件第一类边界条件: 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 54 例、杆例、杆(横截面积横截面积S)作纵震动问题：端点作纵震动问题：端点x=a受有沿受有沿 端

30、点外法方向的外力端点外法方向的外力f(t)，该点的张应力，该点的张应力Yux|x=a与与 外力的关系为外力的关系为 I. 第二类边界条件第二类边界条件: 如该端点是自由的，如该端点是自由的，f(t)=0,则则 当，当，f(t) 0,对对x=l端点，端点， 对对x=0端点，端点， 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 55 III. 第三类边界条件第三类边界条件: 例、细杆导热问题：若杆的一个端点例、细杆导热问题：若杆的一个端点x=a自由冷却，自由冷却， 即杆端和周围介质（温度即杆端和周围介质（温度 ）按）按Newton冷却律

31、交换冷却律交换 热量。从杆端流出的热流温度（热量。从杆端流出的热流温度（-kux）与温度差）与温度差 (u|x=a - )之间的关系之间的关系 即即 在在x=0的一端，外法向的一端，外法向n是是-x方向，冷却条件为：方向，冷却条件为： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 56 由牛顿第二定律由牛顿第二定律 SYux(x+dx，t)ux(x，t)= Sdxutt 令令a2 = Y/ 。化简，得化简，得 utt = a2 uxx Questions ? 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2

32、 1 0.5 0 0.5 1 n 57 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数 主讲：蒋泽云主讲：蒋泽云 libo-libo-libo- 助教：李波助教：李波 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 58 热传导、稳态场方程及其定解条件热传导、稳态场方程及其定解条件 (一一)、热传导方程、热传导方程 第二章第二章 定解问题与偏微分方程理论定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容本次课主要内容 (二二)、稳态场方程、稳态场方程 (三三)、影响物理系统的其它条件、影响物理系统的其它条件 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t

33、 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 59 本次课涉及的物理定律本次课涉及的物理定律 1、Fourier热传导定律热传导定律 热流密度热流密度(Heat flux density)： The time rate of heat transfer through a material is proportional to the negative gradient in the temperature (u) and to the area (S), at right angles (n) to that gradient, through which the heat

34、flows. 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 60 2、牛顿冷却定律、牛顿冷却定律 0 () S qk uu 单位时间内流过单位面积放出的热量为：单位时间内流过单位面积放出的热量为： 3、比热、比热(Heat capacity ratio) 单位物质(V)，温度升高一度(T)所需吸 收的热量 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 61 (一一)、热传导方程、热传导方程 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿 杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。 细杆的

35、热传导问题细杆的热传导问题 x x+dx L u(x,t) x n 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 62 在dt时间内流入微元的热量为： 1 uu d QkA d tkA d t nx 在dt时间内放出微元的热量为： 2 (,) x u d QkA d tk uxd xtA d t n 在dt时间内微元吸收的净热量为： 12 (, )( , ) xx dQdQdQkAdt uxdx tux t 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 63 2 txx

36、ua u xxt kAu dxdtc Au dxdt 由比热公式：由比热公式： ( ,)( , )dQcm Tc Adx u x tdtu x t t c Au dxdt 由热量守恒定律得：由热量守恒定律得： 一维齐次热传导方程一维齐次热传导方程 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 64 设均匀且各向同性的导热体设均匀且各向同性的导热体, ,置于温度比它高的置于温度比它高的 热场中热场中, ,求物体中温度求物体中温度u(x，y，z, t)所分布的规律。所分布的规律。 (2)、三维空间中的热传导问题、三维空间中的热传导问题

37、导热体导热体 热场热场 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 65 分析：分析： (1)、t1,t2时间里流入导热体的热量时间里流入导热体的热量Q1计算计算 先要给出在先要给出在t1,t2时间里流入导热体的热量，时间里流入导热体的热量， 然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的 热量。热量。 dS n 流入流入dS的热量微元为：的热量微元为：1 u d Qkd S d t n 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n

38、 66 2 1 1 t t S u QkdS dt n 在在t1,t2时间里流入时间里流入S的热量为：的热量为： 2 1 ( t t S uuu kdydzdzdxdxdy dt xyz 2 1 222 222 () t t V uuu kdVdt xyz 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 67 (2)、t1,t2 里导热体升温需要的热量里导热体升温需要的热量Q2计算计算 导热体微元导热体微元dV在在dt时间升温需要的热量为：时间升温需要的热量为： 2 ( , , ,)( , , , )dQc dV u x y z td

39、tu x y z t t c dVu dt t1,t2 里导热体升温需要的热量里导热体升温需要的热量Q2为：为： 2 1 2 t t tV Qc u dV dt 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 68 由热量守恒定律：由热量守恒定律：Q1=Q2 于是得到：于是得到： 2 1 t t tV c u dV dt 2 1 222 222 () t t V uuu kdVdt xyz t kucu 2 t uau 三维齐次热传导方程三维齐次热传导方程 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1

40、 0.5 0 0.5 1 n 69 如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程 形式为：形式为： 2 (, ) t uauf M t 其中，其中，f ( M, t) 被称为自由项。被称为自由项。 物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方 程也称为扩散方程。程也称为扩散方程。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 70 (二）、稳态场方程二）、稳态场方程 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特 征是所研究

41、的物理量不随时间而变化。征是所研究的物理量不随时间而变化。 1、稳定温度分布、稳定温度分布 三维齐次热传导方程为：三维齐次热传导方程为： 2 t uau 热传导达到稳定状态时有：热传导达到稳定状态时有： 0u 称后一方程为稳态场中的称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程拉普拉斯方程 Describe potentials of a physical quantity 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 71 2、静电场中的电势分布、静电场中的电势分布 静电场特点静电场特点 E 0E uE uu 2 静电场方程静电场方程(Poi

42、sson = Laplace when (Poisson = Laplace when =0=0) ) 电场强度电场强度 电位梯度电位梯度 静电场发散性静电场发散性 ：电荷体密度，：电荷体密度， ：介电系数：介电系数 静电场无旋性静电场无旋性 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 72 1 1、波动方程：、波动方程： 三类典型物理方程总结三类典型物理方程总结 2 (, ) tt uauf M t 2 2、热传导方程：、热传导方程： 2 (, ) t uauf M t 3 3、稳态场方程、稳态场方程( (PoissonPois

43、son) )： 2 ()uufM 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 73 1 1、不含初值条件、不含初值条件 第一类边界条件第一类边界条件( (函数值函数值) )：DirichletDirichlet问题；问题； 稳态场方程的定解条件问题稳态场方程的定解条件问题 2 2、边界条件、边界条件 第二类边界条件（导数值）：第二类边界条件（导数值）：NemmannNemmann问题；问题； 第三类边界条件（函数导数线性关系值）：第三类边界条件（函数导数线性关系值）：RobinRobin问题。问题。 稳态场方程求解将在第六章讨论！

44、稳态场方程求解将在第六章讨论！ 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 74 (三）、影响物理系统的其它条件三）、影响物理系统的其它条件 1、衔接条件、衔接条件 反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。 当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包 括衔接条件。括衔接条件。 例例1、写出由两种不同材料等截面积杆连接成的杆的纵、写出由两种不同材料等截面积杆连接成的杆的纵 振动的衔接条件。连接处为振动的衔接条件。连接处为x=x0 分析：连接

45、处面上点的位移相等，面上协强相等。分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。 x=x0 Y1Y2 x u1(x,t) u2(x,t) 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 75 所以，衔接条件为：所以，衔接条件为： 00 00 12 12 12 xxxx xxxx uu uu YY xx 例例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件。、讨论静电场中电介质表面的衔接条件。 设设1，2与与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势；分别表示两种介质的介电常数与电势； f表示分界面表示分界面S上电荷面密度。上电荷面密度。 0.8 1

46、 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 76 (1)、在界面处，两种介质中的电势应相等、在界面处，两种介质中的电势应相等 12SS uu 事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有： 于是，若假定于是，若假定E为为p1p2上的平均上的平均 电场强度电场强度 (显然它有限显然它有限) ，则：，则： 两边对两边对L L取极限得取极限得： 12SS uu dlEdu lEpupu)()( 1122 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7

47、7 (2)、在界面处，可以导出如下等式：、在界面处，可以导出如下等式： 事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。 12 12Sf uu nn Q Qf f是面是面S S内的总电荷内的总电荷 有介质高斯公式为：有介质高斯公式为： f S Dd SQ 电位移向量电位移向量DEu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 78 取一个包含取一个包含S S的上下底平行的高为的上下底平行的高为h h的扁平盒：的扁平盒： 由于由于h可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！可以很小，因此，通过侧面的电

48、通量忽略！ 于是由高斯公式有：于是由高斯公式有： 12 ()() ff DnSDnSQS DEu 其中其中 n u un 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 79 所以所以： 12 12 () Sf uu nn 说明：如果说明：如果u1为导体的电势，为导体的电势，u2是绝缘体电势，那么，是绝缘体电势，那么， 因为导体是等势体，所以有：因为导体是等势体，所以有： 2 2Sf u n 2、周期性条件、周期性条件 在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中， 实际物理量常满足周期性条件，即

49、：实际物理量常满足周期性条件，即： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 80 (1)(1)、在极坐标中：、在极坐标中： ( ,2 )( , )u ru r ( ,2 , )( , , )u rzu rz (2)(2)、在柱坐标中：、在柱坐标中： ( , ,2 )( , ,)u ru r (3)(3)、在球坐标中：、在球坐标中： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 81 例如，在静电场中，由电势的唯一性有：例如，在静电场中，由电势的唯一性有： 3、有界性条件、有界性条件 lim0 r u 或 有 限 数 ( , ,2 )( , ,)u ru r 在没有源处，物理量一般有界。常考虑物理量在在没有源处，物理量一般有界。常考虑物理量在 坐标原点处有界。坐标原点处有界。 例如，在静电场中，电势在原点例如，在静电场中，电势在原点(无电荷）有无电荷）有 界；在温度场中，中心温度有界等！界；在温度场中，中心温度有界等！ 4、无穷远条件、无穷远条件 或者在无穷远处或者在无穷远处u有渐进行为有渐进行为f(r,t)(已知函数）已知函数） 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 82 例例3、半