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1、返回 矩阵理论全册配套矩阵理论全册配套 完整精品课件完整精品课件 返回 矩 阵 理 论 返回 导导 引引 1、矩阵方法在电路网络中的应用、矩阵方法在电路网络中的应用 E(t) a b c d 1 R 2 R 5 R 4 R3 R R6 返回 )(0)()()( 621 atititi结点结点 KCL(基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律: :在集总电路中，任何时刻，在集总电路中，任何时刻， 对任意结点对任意结点,所有流出结点的支路电流的代数和恒等所有流出结点的支路电流的代数和恒等 于零于零 ) )的矩阵表示的矩阵表示 )(0)()()( 541 btititi结点结点 )(0)()()( 532

2、ctititi结点结点 )(0)()()( 643 dtititi结点结点 返回 0 )( )( )( )( )( )( 101100 010110 011001 100011 6 5 4 3 2 1 ti ti ti ti ti ti 返回 1 222 1 1 111 1 1 111 (,) , jn jn n nnn jn n xxx xxxV xx xxx xxC ， 其其中中（） 2. 在数值计算中的应用（在数值计算中的应用（Vandermonder矩阵）矩阵） 出现在多项式插值中出现在多项式插值中, 谐波恢复中谐波恢复中 返回 2 21 21 242(1) 12(1)(1) 2 (1

3、,) 1111 1 1 1 . 其其中中 n n n nnn i n FV e F称为称为Fourier矩阵，出现在离散矩阵，出现在离散Fourier分析分析 及快速及快速Fourier变换中变换中. 返回 3. 盲信号分离中的应用盲信号分离中的应用 在离散时间t时刻，n个未知源信号S(t)=s1(t), sn(t)T 被m个传感器观测到的信号X(t)=x1(t), xm(t)T，加性噪 声V(t)=v1(t), vm(t)T，则观测信号和源信号之际的关系 如下： X(t)=AS(t)+V(t)， 其中A=(aij)为mn的未知列满秩混合矩阵， AT表示矩 阵A的转置。为了讨论方便，这里假设无

4、噪音，因此模 型如下： X(t)=AS(t) (简记X=AS)。 返回 假设传感器的个数m大于等于信号源的个数n， 各信号源si(t) (i=1, , n)之间相互独立，在此情 况下，BSS的目标就是根据累积量矩阵找到一 个mn的分离矩阵W，使得 Y=WX=WAS 是S的一个近似。 从上述表达式可以看出，分离矩阵W可以看 作是混合矩阵A的某种“广义逆矩阵”。 返回 根据假设源信号的统计规律，观测信号的二阶 和高阶累积量矩阵组具有可联合对角化结构，可 归结为数学问题如下：首先，根据观测信号得到 一组实对称的矩阵组G1, , Gk，其中Gi具有如下 结构 Gi=AiAT，i=1, , k， 其中i

5、是nn的未知的对角矩阵；其次，对给 定矩阵组G1, , Gk利用联合对角化算法，估计混 合矩阵A或者分离矩阵W；最后，计算得到源信 号的估计 Y=WX。 此类算法属于非正交算法。 返回 利用正交矩阵具有的性质，可把观测信 号作白化预处理，然后再利用白化后的信号 计算累积量矩阵，此时获得的累积量矩阵组 具有可正交联合对角化结构。 归结为数学问题如下：首先，对观测信号 X作白化处理得到白化后的信号Z=BX，其 中B为白化矩阵；其次，根据白化后观测信 号Z计算得到一组实对称的累积量矩阵组 G1, , Gk，其中Gi具有如下结构 Gi=UiUT，i=1, , k, 其中i是nn的未知的对角矩阵， UU

6、T=UTU=I，I表示单位矩阵。 返回 最后，对给定累积量矩阵组G1， Gk利用正交联合对角化算法，估计混合矩 阵U，并计算得到源信号的估计 Y=UTZ= UTBX。 返回 nnnn n n ggg ggg ggg G 21 22221 11211 4、信号滤波的矩阵分析：、信号滤波的矩阵分析： NsX s 返回 5. Google矩阵 。迁移概率矩阵，仍记为链接数。这个矩阵称为 矢量除以各自（全概率），把各个列总和为转置。为了将各列失量 矩阵是把矩阵，的方阵，称为为数，那么 来表示页面。如果；否则有链接，则向页面若从页面 。用来表达网页链接关系为网页关联矩阵，矩阵定义： A APageRan

7、kGoogleNNA Naaji aA ijij ij 1 01 : )(Google 返回 返回 在互联 网上，如果一个网页被很多其它网页所链 接，说明它受到普遍的承认和信赖，那么它的排名就高。 这就是 PageRank 的核心思想。 当然 Google 的 PageRank 算法实际上要复杂得多。 比如说，对来自不同网页的链接对待不同，本身网页排 名高的链接更可靠，于是给这些链接予较大的权重。 PageRank 考虑了这个因素，可是现在问题又来了，计 算搜索结果的网页排名过程中需要用到网页本身的排名， 这不成了先有鸡还是先有蛋的问题了吗？ 返回 Google 的两个创始人拉里佩奇 （Lar

8、ry Page ）和 谢尔盖.布林 (Sergey Brin) 把这个问题变成了一个二 维矩阵相乘的问题，并且用迭代的方法解决了这个 问题。他们先假定所有网页的排名是相同的，并且 根据这个初始值，算出各个网页的第一次迭代排名， 然后再根据第一次迭代排名算出第二次的排名。 他们两人从理论上证明了不论初始值如何选取， 这种算法都保证了网页排名的估计值能收敛到他们 的真实值。值得一提的是，这种算法是完全没有任 何人工干预的。 返回 理论问题解决了，又遇到实际问题。因为互联网上 网页的数量是巨大的，上面提到的二维矩阵从理论上 讲有网页数目平方之多个元素。如果我们假定有十亿 个网页，那么这个矩阵 就有一

9、百亿亿个元素。这样大 的矩阵相乘，计算量是非常大的。拉里和谢尔盖两人 利用稀疏矩阵计算的技巧，大大的简化了计算量，并 实现了这个网页排名算法。今天 Google 的工程师把这 个算法移植到并行的计算机中，进一步缩短了计算时 间，使网页更新的周期比以前短了许多。 返回 6 机械力学 全长370米，宽4米，主跨144米，2000年6月10日开通。 返回 中新浙江网11月7日电 伦敦千禧桥在2000年刚开放两 天之后就关闭了，原因是在2000年6月这座桥的开放的那 一天，当拥挤的人群走过的时候，这个钢筋结构的，320 米长的大桥开始从一边向另一边摇晃。据路透社伦敦报道 科学家最新发现，千禧桥的摇晃不

10、稳，是一种自然现象， 而不是设计上的失误，引起这个摇晃的原因是一种叫做集 体同步的现象。 “这种现象是指随意地，按照他们自己最喜欢的速度 行走的人们，在没有任何组织的情况下，不自觉地使用同 一种频率行走。”纽约康奈尔大学(Cornell University)的斯 蒂文斯道格兹说。“就是这种现象。人们为什么会开始 同步移动？他们完全是下意识的。这种情况是谁也没有想 到，而设计桥的工程师也不曾预料到的。” 应用数学家和有关专家说，现在，集体同步现象应该 是桥梁工程师在设计的时候就应该考虑到的问题。 返回 斯道格兹和他在康奈尔大学以及美国、英国和德国其他大 学的同事基于发生在千禧大桥身上的事，设计

11、出了一种理 论，用来计算一座步行桥需要多少阻尼和稳定减摇作用。 他们的这一发现将在科学期刊自然上发表。在一次采 访中，他说：“我们认为我们的这个理论会为帮助桥梁设 计师避免这样的问题提供一些指导。” 一定会有其他的 可能发生集体同步现象的巧合情况。在伦敦千禧桥摇晃的 事件中，是大批的人群穿过一步行桥，而这座桥的震动频 率在每秒一周，恰好和人的步行频率相等。“人和桥产生 了共振”，斯道格兹说。 当桥开始摇晃的时候，人们为了稳住自己而在摇晃中 加紧步伐。他们为了更容易行走而加大了自己的步幅，而 这样做使他们在无意中加剧了大桥的摇晃。 返回 “很多人在责备这座漂亮的，样式新颖的千禧大桥， 认为是它的

12、设计过于先锋导致的不稳固。而实际上并 不是这样的。” 在自然界，有很多集体同步现象发生。比如蟋蟀 会同时鸣叫。在某些地方，很多萤火虫会完全同步地 一明一暗，像圣诞树上的彩灯一样。而住在一起的女 人也会有月经趋于同步的现象。“这总是令人震惊甚 至是诡异的，因为就像是从混乱中理出了头绪，”斯 道格兹说。在花费了5百万英镑和关闭20个月对它进 行整修和加固以后，伦敦千禧桥在2002年2月成功地 重新开放通行了。 返回 一个质点-弹簧系统 返回 二次特征值问题在很多领域有其应用， 例如：机械力学的动力分析中，流体力学的 线性稳定性等领域。 返回 一、线一、线 性性 空空 间间 中定义加法：中定义加法：

13、在在是一个数域是一个数域是一非空集合，是一非空集合，设设VPV. 1、什么是线性空间？、什么是线性空间？ 如果如果之间定义数量乘法：之间定义数量乘法：与与在在.; kPVv 加法与数量乘法满足：加法与数量乘法满足： )()1加法交换律加法交换律 )()()()2加法结合律加法结合律 )(0,0)3加法零元加法零元有有 VV 4),0()VV使得加法负元素 返回 1)5 )()()6kllk lklk )()7 8)()kkk .VP则 称为数域 上的线性空间 .2向量空间向量空间判断下列集合是否构成判断下列集合是否构成 1)空间中不平行于一已知 向量 的全体向量所构 成成的的集集合合. . 2

14、)(1)Pn n数域 上次数等于定数 的多项式全体所 构构成成的的集集合合. . 其中的元素也称为向量. 返回 阵的全体所成的集合，阵的全体所成的集合，阶对称矩阵与反对称矩阶对称矩阵与反对称矩n)3 4)?R全体实数的集 是否构成实数域上的线 性空间 ?是否构成复数域上的线 性空间 件中，“加法满足件中，“加法满足线性空间定义的八个条线性空间定义的八个条证明证明:3 .交换律”不是独立的交换律”不是独立的 证：证：V , )(2 22 )11()11( 1111 )( )(2 )(11( )(1)(1 返回 1111 )( )( )( 返回 12 12 2 1 dim. n n Vn VnV

15、VVn 定义 在线性空间 中，如果有 个向量 , ,线性 无关, 而 中任意个向量线性相关, 则称 , ,为 的一组基底, 线性空间的一组基底中向量个数称为线性空间 的维数，记为 . 4与一组基与一组基求下列线性空间的维数求下列线性空间的维数 1) n n PnP 数域 上全体 阶方阵构成的空间 ， 2). n n PP 中全体对称矩阵构成数 域 上的空间 解：解：njiEP ij nn , 2 , 1,)1 基为基为 2 )dim(nP nn 返回 nji E EE F ii jiij ij 1)2令令 . 2 )1( nn 维数为维数为 返回 可交换的矩阵组可交换的矩阵组，证明：全体与，证

16、明：全体与设设APA nn 5 ( ).C A成的一个子空间，记为 证证EAAE ).(ACE )(, 21 ACAA 2211 ,AAAAAAAA AAA)()1 21 AAAA 21 21 AAAA )( 21 AAA : , . PVW VWV 定定义义3 3 如如果果数数域域 上上的的线线性性空空间间 的的一一非非空空子子集集 对对于于 的的两两种种运运算算也也构构成成线线性性空空间间 则则称称是是 的的 线线性性子子空空间间 返回 AkA )()2 1 )( 1A Ak )( 1 AAk )( 1 kAA .)(的子空间的子空间是是 nn PAC 则则的两个非平凡子空间，的两个非平凡

17、子空间，是线性空间是线性空间、设设VVV 21 . 6 . 21 同时成立同时成立、，使，使中存在向量中存在向量VVV 是非平凡子空间是非平凡子空间 1 V证：证： 1 V 存在向量存在向量 ，则结论成立，则结论成立如果如果 2 V 返回 2 V 存在向量存在向量 ，则结论成立，则结论成立如果如果 1 V 21, VV 又又 是非平凡子空间是非平凡子空间 2 V ，就有，就有如果如果 1 V 11 ,VV 222 ,VVV如如果果，就就有有 返回 ,. 7 2 1 s A A A AAnmA 任意分块成任意分块成矩阵，将矩阵，将是任一是任一设设 是是的解子空间的解子空间元齐次线性方程组元齐次线

18、性方程组证明：证明：VAxn0 )., 2 , 1(0siVxA ii 的交的交的解子空间的解子空间方程组方程组 返回 2 空间分解与维数定理空间分解与维数定理 返回 1定义定义 21 VV ,| 221121 VV 1 l 2 l 2 1 1 V 2 V 1212 ,且且VVVV 定义定义2 V1和和V2是是线性空间线性空间V的子空间的子空间, , V1和和V2是是线性空间线性空间V的子空间的子空间, , 返回 设设 V1 和和V2 的维数分别是的维数分别是 s 和和t , V1V2 的维数是的维数是 m .取取 V1V2 的一组基的一组基 1 , 2 , , m . 如果如果 m = 0

19、，这个基是空集，下面的讨论中，这个基是空集，下面的讨论中 1 , 2 , , m 不出现，但讨论同样能进行不出现，但讨论同样能进行. 它可以扩充成它可以扩充成 V1 的一组基的一组基 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 也可以扩充成也可以扩充成 V2 的一组基的一组基 1 , 2 , , m , 1 , , t - m . )dim()dim()dim()dim( 212121 VVVVVV 定理定理1. 维数定理维数定理 返回 我们来证明，向量组我们来证明，向量组 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 是是 V1 + V2 的一组

20、基的一组基.这样，这样， V1 + V2 的维数就等于的维数就等于 s + t - m , 因而维数公式成立因而维数公式成立. 因为因为 V1 = L( 1 , 2 , , m , 1 , , s - m ) , V2 = L( 1 , 2 , , m , 1 , , t - m ) . 所以所以 V1+V2 = L( 1 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m ). 返回 现在来证明向量组现在来证明向量组 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 是线性无关的是线性无关的.假设有等式假设有等式 k1 1 + k2 2 + +

21、km m + p1 1 + p2 2 + + ps - m s - m + q1 1 + q2 2 + + qt - m t - m = 0 . 令令 = k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m = - q1 1 - q2 2 - - qt - m t - m . 返回 = k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m 由由 = - q1 1 - q2 2 - - qt - m t - m 由由 可知，可知， V1 ； 可知，可知， V2 .于是于是 V1V2 ，即，即 可以被可以被 1 , 2 , , m 线性表示线性表示.令

22、令 = l1 1 + + lm m , 则则 l1 1 + + lm m + q1 1 + + qt - m t - m = 0 . 由于由于 1 , , m , 1 , , t - m 线性无关，所以线性无关，所以 l1 = = lm = q1 = = qt - m =0 , 因而因而 = 0. 从而有从而有 返回 k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m = 0 . 由于由于 1 , , m , 1 , , s - m 线性无关，又得线性无关，又得 k1 = = km = p1 = = ps - m =0 . 这就证明了这就证明了 1 , 2 , , m

23、, 1 , , s - m , 1 , , t - m 线性无关，线性无关， 公式成立公式成立. 因而它是因而它是 V1 + V2 的一组基，故维数的一组基，故维数 返回 定理定理 2 2：设：设, 1 V 2 V是线性空间是线性空间V的子空间的子空间,则下列命题等价则下列命题等价 例例 1：,( )( ),LL 设线性无关 则是直和设线性无关 则是直和 .()( )LL而，不是直和而，不是直和 (,) 121122 VV有有 且是唯一的，这个和 12 VV就称为直和,记为 12 .VV 定义定义3 3 设设 1 V 2 V和和 是线性空间是线性空间V的子空间的子空间,若对若对 , 12 VV

24、 （1） 21 VV 是直和：是直和： （2） 零向量表示法唯一；零向量表示法唯一； （3） .0 21 VV . 0)dim()4( 21 VV 返回 定义定义3 3：设：设 s VVV, 21 是线性空间是线性空间V的子空间，如果和的子空间，如果和 12 . s VVV ,(1,2, ) 12 V is sii s VVV 21 中的每个向量中的每个向量 的分解式的分解式 是唯一的，这个和是唯一的，这个和就称为直和，记为就称为直和，记为V +V +V 12s 返回 （3）.0)( ij ji VV （4）. )dim()dim( i VW 例例 2： .)()()( 21 是直和 n LL

25、L 则维线性空间的一组基是, 21 n n 相互等价：相互等价： （2） 零向量表示法唯一；零向量表示法唯一； 定理定理 3 3：设：设是线性空间是线性空间V的子空间，则下列命题的子空间，则下列命题 s VVV, 21 （1） 是直和：是直和： s VVVW 21 返回 3 特征值与特征向量 n n n AC,C xC , 令令如如果果存存在在和和非非零零向向 量量使使 定义 1 Axx, AxA 则则叫叫做做 的的特特征征值值， 叫叫做做 的的属属于于 特特征征值值的的特特征征向向量量. . 一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念 返回 的所有特征值的全体，叫做 的的所有特征值

26、的全体，叫做 的AA谱谱, 记为记为 ( A) . 1 1 r nn r |EA| ()() 1 项式，其中叫做项式，其中叫做 r ii i nn , n 代数重数代数重数. 如果）如果） ii rank(EAnm , 叫做特征多叫做特征多 的的 i 叫做的叫做的 ii m 几何重数几何重数. 返回 定义定义1 ：Jordan块如下块如下 1 1 ( ). 1 k J 定义2 ：Jordan块矩阵如下 1 2 1 2 12 () () ,. () k n n k nk JO J Jnnnn OJ 返回 定理 1 12 n n r A Cr, 若若有有 个个特特征征值值 12r n , n ,n

27、 ,其其代代数数重重数数分分别别为为则则必必存存在在可可逆逆 1 1 1 r nnr P APJdiag(J (),J () JAJordan矩矩阵阵 叫叫作作的的标标准准形形。 n n PC, 矩矩阵阵使使得得 定义 2 如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵 n n AC, 若若 使得使得 n n PC, 1 12n PAPdiag(,) A把把 矩矩 阵阵叫叫 作作 可可 对对 角角 化化 矩矩 阵阵 。 返回 Jordan矩阵的结构与几个结论: (1) Jordan块的个数 r是线性无关特征向量的个数; (2)矩阵可对角化,当且仅当r=n; (3)相应于一个已

28、知特征值的Jordan块的个数是该 特征值的几何重数,它是相应的特征子空间的维数, 相应于一个已知特征值的所有Jordan块的阶数之 和是该特征值的代数重数. (4)特征值的几何重数 代数重数. (5)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关. 返回 定理 2令令 n n AC, 则下列命题等价： (1)是可对角化矩阵是可对角化矩阵A; (2) n CA在在存存在在由由 的的特特征征值值向向量量构构成成的的一一组组基基底底。 (3) A 的Jordan标准形中的 Jordan块都是一阶的。 (4)1 2 ii mn(i,n) 二、特征值和特征向量的几何性质二、特征值和特征向量的几何性质 1. 线性

29、变换 (V-n维线性空间 ) T T VV V ,V (V中任一元素 有V中唯一确定 的 元素 与之对应), 则称 T为V的变换. 返回 设 是线性空间的一个线性变换，如果存在设 是线性空间的一个线性变换，如果存在 n TV (C ) 则叫做 的特则叫做 的特T 特征向量。特征向量。 1定义定义 和非零向量使得和非零向量使得 n CV (C ),T, 征值，叫做 的属于特征值的征值，叫做 的属于特征值的T 3. 线性变换的特征值 2. 线性变换 T为V的变换且满足 n P 1 2 ,V,T()T() T() kPT(k)kT() ， 则称 T为V的线性变换. 例:在线性空间 中 ,求微分是一线

30、性变换 , 即 n Df (t )f (t ), f (t )P . 返回 2. 线性变换与矩阵 V-n维线性空间, 12n , 为基, T-V上的线性变换 1122 111 nnn iiiinini iii Ta,Ta,Ta 则有 1212nn T,T,T,T 矩阵A称为线性变换T在基 下的矩阵. 11n , 11121 21222 1212 12 n n nn nnnn aaa aaa ,A aaa 返回 12 11 n , TA 故 1 1 n iin i T,x,x, 即得Axx 3. 线性变换与矩阵特征值关系 12 12 n n TT,T,Tx ,Ax 12 T n n xx ,x

31、,xC , 返回 三、广义特征值问题三、广义特征值问题 设设 、如如果果存存在在和和非非零零向向量量使使得得 n nn ABC,CxC , (1-3)AxBx 广义特征向量广义特征向量。 则称 为矩阵 与 确定的则称 为矩阵 与 确定的AB 称为与 对应的称为与 对应的x 广义特征值，广义特征值， (1) 如果B 可逆时，式(1-3)可化为 1 (1-4)B Axx 返回 (2) 当A、B 都是Hermite矩阵，即、 HH AABB 且 B 正定时，有 且正定且正定 H BB 存在可逆矩阵P H BP P 则(1-3)式化为 H AxP Px xyPPxy 1 , 则记 11) ( APPQ

32、 H 11 ()HPAPyy Qyy QQH 1 广义特征值都是实数广义特征值都是实数 n , n yy, 1 存在标准正交基 H ijij y y ii Pxy HHHHH ijijijij y y( Px ) ( Px )xP PxxBx H ijij xBx, ., 21 共轭向量系为称Bxxx n 返回 12 12 12 12 101 2 2 3 4 设矩阵，且 正定，与 共扼设矩阵，且 正定，与 共扼 向量系具有以下性质，向量系具有以下性质， （ ）（ ） （ ）线性无关（ ）线性无关 （ ） 与 满足方程（ ） 与 满足方程 （ ）若令（ ）若令 HH n i n iiiii n

33、HH n nnAA , BBBB x , x ,x x(i,n) ; x , x ,x; xAxBx ; X( x , x ,x ) , X BXE, XAXdiag(,) 6定理定理 返回 6 欧氏空间和酉空间 定义 1 n V R,V , , 在线性空间( )上，在线性空间( )上， 若映射()满足若映射()满足 (1)() ()0()00,;, 正正定定性性 (2)() ()()k,k, 齐齐次次性性 (3)():()=(), 交换律交换律 (4)(): ()()(), 分配律分配律 ()( ) n ,V R,V n 则映射是上的内积 定义了内积的 为则映射是上的内积 定义了内积的 为

34、维欧几里得空间, 简称欧氏空间.维欧几里得空间, 简称欧氏空间. 例 0. nn nT ,R ,AR,(,)A 设则设则上的内积吗？上的内积吗？是是 n R 返回 11 1: ()() TTn nn a ,a,b ,bR ,例若规定例若规定 1 () n T i i i ,ab , n ,R.则上式定义了一个内积是内积空间则上式定义了一个内积是内积空间 2: C a,ba,bR f ( x ),g( x )C a,b 例例表表示示在在所所有有实实连连续续函函数数的的全全体体, , 其其构构成成 上上的的 线线性性空空间间,规规定定 ( ( )( ) b a f x ,g xf ( x )g(

35、x )dx :C a,b证明是欧氏空间.证明是欧氏空间. b a f ( x ),g( x ),f ( x )g( x )dx 是唯一确定实数 返回 1 bb aa f ,gf ( x )g( x )dxg( x )f ( x )dxg, f 2 bb aa kf ,gkf ( x )g( x )dxkf ( x )g( x )dxkf ,g 3 b a bb aa fg,hf ( x )g( x ) h( x )dx f ( x )h( x )dxg( x )h( x )dxf ,hg,h 2 40 bb aa f , ff ( x )f ( x )dxf ( x )dx 且 2 00 b

36、a f ( x )dxf ( x ) 返回 11 ijn nijn n nn TT ijij ij A(a ),B(b ) tr(B A)a btr( A B )( A,B )(B,A) 11 nn T ijij ij ( , ): A,BV ,( A,B )a btr( A B ) n n VR,V( R), 例3：若规定内积如下 TTT (kA,B )tr(kA) Btr(kA B )ktr( A B )k( A,B ) 2 1111 0 001 20 nnnn T ijijij ijij ij ( A,A)tr( A A)a aa, ( A,A)ai, j, ,nA TTTTT TT (

37、 AB,C )tr( AB ) C tr( AB )C tr( A CB C ) tr( A C )tr(B C )( A,C )(B,C ) 返回 1212 1 n TT nni i i (a ,a ,a ) ,(b ,b ,b ) ,( , ): ( ,)iab VR,V( R), 例4：若规定内积如下 11 1 nn iiii ii . (,)ia biba(,) 11 2 nn iiii ii .k,(k ,)ika bkia bk(,) 12 111 3 Tn n nnn iiiiiii iii .(c ,c ,c )R (,)i(ab )cia cibc(,)(,) 2 11 40

38、00 nn iii ii . (,)ia aia,(,) 返回 定义:(), =() nijij ijn V,a, Aa,Gram. 1 1 1 1 设,是欧氏空间 一组基 令设,是欧氏空间 一组基 令 则称矩阵为基,的度量矩阵 或矩阵则称矩阵为基,的度量矩阵 或矩阵 定理:定理: (1) T AA; 1 11 (2) ()()()= n TTT nn ,V , xx ,x, yy , y,x Ay; 在在基基下下的的坐坐标标分分别别为为 则则 1 (3)0(,)0 T n V ,x ,x Ax.必必有有 =() ijn AaV , 1 1 设矩阵为欧氏空间 的一组基,的设矩阵为欧氏空间 的一

39、组基,的 度量矩阵 则度量矩阵 则 返回 酉空间 定义 3 n V C,V , , 在线性空间( )上，在线性空间( )上， 若映射()满足若映射()满足 (1)() ()0()00,;, 正正定定性性 (2)() ()() k,k, 齐次性齐次性 (3)():()=(), 交换律交换律 (4)(): ()()(), 分配律分配律 ()( ) n ,V C,V n 则映射是上的内积 定义了内积的 为则映射是上的内积 定义了内积的 为 维酉空间.维酉空间. 返回 11 1: ()() TTn nn a ,a,b ,bC ,例若规定例若规定 1 () n H i i i ,ab , n ,C.则上

40、式定义了一个内积是酉空间则上式定义了一个内积是酉空间 返回 定义:(), =() nijij ijn V,a, Aa,Gram. 1 1 1 1 设,是酉空间 一组基 令设,是酉空间 一组基 令 则称矩阵为基,的度量矩阵 或矩阵则称矩阵为基,的度量矩阵 或矩阵 定理:定理: (1) H AA; 1 11 (2) ()()()= n TTH nn ,V , xx ,x, yy , y,x Ay; 在在基基下下的的坐坐标标分分别别为为 则则 1 (3)0(,)0 H n V ,x ,x Ax.必必有有 =() ijn AaV , 1 1 设矩阵为酉空间 的一组基,的设矩阵为酉空间 的一组基,的 度

41、量矩阵 则度量矩阵 则 返回 : (), () VV ,: |, 定义 设 是酉 欧氏 空间的长度定义为定义 设 是酉 欧氏 空间的长度定义为 定理 .Vn酉(欧氏)空间,则向量长度具有以下酉(欧氏)空间,则向量长度具有以下设 是 维设 是 维的性质:的性质: (1)000|,| (2) |k| |k | | (4)| | |. (3) ()|,| | |, CauchySchwarz , 不不等等式式 等等号号成成立立的的充充要要条条件件是是线线性性相相关关. . 返回 定义 ,V , ,. | | 设设是是欧欧氏氏空空间间 的的两两个个非非零零向向量量, ,它它们们之之间间的的夹夹角角定定

42、义义为为 ()() =arccos =arccos T2 T2 (1 11)(11 111) nn :, ,R, ,R.例例 设设 求两向量夹角. 返回 定义 3 d( x, y ) | xy | xy向量 和 的距离. 定义 4 0),( yx xyxy. 向向量量 和和 正正交交, ,记记为为 勾股定理： yx 222 |yxyx 垂线最短定理： 中的一个固定向量中的一个固定向量欧氏空间欧氏空间)(RVn .的距离“垂线最短”的距离“垂线最短”和一个子空间中各向量和一个子空间中各向量 返回 ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( ),( 21 22212 12111 1

43、 kkkk k k k G ， 12k nV,Gram: 维欧氏空间 中向量的行列式维欧氏空间 中向量的行列式 定义5 返回 行列式的性质：行列式的性质：Gram 12k nV,定理: 维欧氏空间 中向量组， ，线性相关定理: 维欧氏空间 中向量组， ，线性相关 12 ()0 k G 的充要条件是， ， ，的充要条件是， ， ， i 分别与作内积得方程组分别与作内积得方程组 1111221 ()0 kk x,x,x ,)+)+,)+)+ 1122 0 kk xxx证:+证:+ 2112222 ()0 kk x,x,x ,)+)+,)+)+ 1122 ()0 kkkkk x,x,x,)+)+,)

44、+)+ 返回 补充: 初等矩阵 ()= n H u,vC ,C, E u,v,Euv. 设则称设则称 为初等矩阵为初等矩阵 定义 1 00u,v,. 1.1.初初等等矩矩阵阵的的特特征征向向量量()() 一、初等矩阵的一般形式一、初等矩阵的一般形式 1111nn uv ,u ,uv,u,u ,u E(u,v,)n (2) (2) 设是的一组基 则设是的一组基 则 是的 个线性无关的特征向量.是的 个线性无关的特征向量. 11 1 n uv ,u ,uv,E(u,v,) n (1) (1) 设是的一组基 它们也是的设是的一组基 它们也是的 个线性无关的特征向量.个线性无关的特征向量. 返回 3(

45、 ()=1 H .det E u,v,v u 1 11 1 H E u,v, , ,v u 2.2.初等矩阵的特征值初等矩阵的特征值 ( ()=( ()= n H a,bCu,v, ab E(u,v,)ab,(u) v a 5.5.非零向量,存在使得非零向量,存在使得 . . 1 (10) 1 H H E(u,v,)E(u,v,),v u v u 4. 4. 返回 1 T ijijijijij EE(ee )(ee )E(ee ,ee , ); 3.3.初等变换矩阵初等变换矩阵 T ijjiji E (k )Eke eE(e ,e , k ); 11 T iiiii E (k )E(k )e

46、eE(e ,e ,k ). 返回 221 HH H(u)E(u,u;)Euu ,(u u). Householder4.4.初等酉阵(变换)初等酉阵(变换) 1 (1) H H(u)H(u)H(u) . (2) () au ,rC,H(u)(aru)aru 有有。 镜镜象象变变换换 返回 8 酉空间分解与投影 返回 一、正交补子空间一、正交补子空间 定定义义： 21 VV 121122 |,VV。 1 l 2 l 2 1 1 V 2 V 定定义义： 12 VV直和 12 0VV 。 返回 定理定理1.)( 1都有唯一的正交补 都有唯一的正交补的任意子空间的任意子空间VCVn 证：证： 0)1

47、1 V.)( 1的正交补 的正交补是是VCVn 0)2 1 V的正交基的正交基是是 121 ,V m 的正交基的正交基为为V nmm , 121 ),( 11nm LV 定义定义 ( (正交补子空间正交补子空间) ) 12. VV 2121 ,)(VVVVCVn 唯一性唯一性：利用直和性质。利用直和性质。 返回 , m n AC 补充定义：设则 |0, n N Ax AxxCA称为矩阵 的核， |, n R Ay yAxxCA 称为矩阵 的值域。 返回 定义定义: :( )()TT投影。 1 V o 2 V )()( 2 TTT)( T ( ).T 二、投影二、投影 返回 定义定义: : 2

48、.TT ( ) n TV C是上的投影. 定理定理2上的投影，则上的投影，则是是设设)(CVT n ( )( )( ). n V CR TN T 证：证： )(CVn )( 1 T 21. )()( 12 TT)()( 1 TT )()( 2 TT 0.2 ( ).N T ( )( )( ). n V CR TN T 返回 ( )( )R TN T若)(),(TNTR 0)()( 1 TT和和)( 1 T )( 1 2 T )( T 0. ( )( ) 0.R TN T 定理定理3，使，使，则存在投影，则存在投影设设TVVCVn 21 )( 21 )(,)(VTNVTR 证：证： )(CVn

49、21 1 ( ),T 定定义义 )()( 1 2 TT 1 ( ).T 返回 三、正交投影三、正交投影 定理定理4 TT 2 )( 2 幂等矩阵幂等矩阵AA ( )( ).R TN T 定义定义 设设T 是投影是投影 T 是正交投影. 定理定理5 ，则，则设设AACA nn 2 , 是正交投影是正交投影AAAH 证：证：AA 2 )()(ANARC n 返回 ( ),( ).yR A xN A yxyx H ),(Ayx H yAx HH yAx H )( 0. ( )( ).R TN T ( )( ).R TN T 返回 一、一、Kronecker积积 (tensor积积) A与与B的的Kr

50、onecker积为积为 11121 21222 12 . n mp nq n mmmn aBaBaB aBaBaB ABP aBaBaB 9 Kronecker乘积乘积 , m np q ij AaPBP 设设 返回 12321 1., 32123 AB 例则 AB 注意：一般情况下.ABBA 1212 2., TT mn xx xxyy yy例则 xy 12 11121 y ,y , y ,y ,y,. T TTT m T nmn xxx y xxxx y 214263 23234669 . 32634221 694623 BBB BBB 返回 定理定理1：Kronecker积的性质：积的性