2021年全国中考数学真题分类汇编-三角形：三角形中的计算与证明（压轴题）（试卷版）.pdf

1、2021 全国中考真题分类汇编（三角形） -三角形中的计算与证明（压轴题） 一、选择题 1. (2021安徽省安徽省)在中，分别过点 B，C 作平分线的垂线， 垂足分别为点 D，E，BC 的中点是 M，连接 CD，MD，ME则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二填空题 1. （2021江苏省苏州市）江苏省苏州市）如图，射线 OM，ON 互相垂直，点 B 位于射线 OM 的上方，且 在线段 OA 的垂直平分线 l 上，AB5将线段 AB 绕点 O 按逆时针方向旋转得到对应线 段 AB，若点 B恰好落在射线 ON 上，则点 A到射线 ON 的距离为 三、解答题 1. (2021安徽省

2、安徽省)如图 1，在四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，且 ，作交线段 AE 于点 F，连接 BF （1）求证：； （2）如图 2，若，求 BE 的长； （3）如图 3，若 BF 的延长线经过 AD 的中点 M，求的值 ABCV90ACBBAC 2CDME/MEABBDCDMEMD ABCBCD /AECD/ /DEABCF/ /AD ABFEAD 9AB 5CD ECFAED BE EC 2. （2021湖北省武汉市）湖北省武汉市）问题提出 如图（1） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，ECDC，点 E 在ABC 内 部，BF，CF 之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （

3、1）先将问题特殊化如图（2） ，当点 D，F 重合时，表示 AF，BF； （2）再探究一般情形如图（1） ，当点 D，F 不重合时（1）中的结论仍然成立 问题拓展 如图（3） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，ECkDC（k 是常数） ，点 E 在ABC 内部，表示线段 AF，BF 3. （2021湖南省邵阳市）湖南省邵阳市）如图，在 RtABC 中，点 P 为斜边 BC 上一动点，将ABP 沿 直线 AP 折叠，使得点 B 的对应点为 B，连接 AB，CB，BB，PB （1）如图，若 PBAC，证明：PBAB （2）如图，若 ABAC，BP3PC，求 cosBAC 的值 （3）如图

4、，若ACB30，是否存在点 P，使得 ABCB若存在，求此时 的值；若不存在，请说明理由 4. （2021江苏省连云港）江苏省连云港） 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动 （1）是边长为 3 的等边三角形，E 是边上的一点，且，小亮以为 边作等边三角形，如图 1，求的长； （2）是边长为 3等边三角形，E 是边上的一个动点，小亮以为边作等边 三角形，如图 2，在点 E 从点 C 到点 A 的运动过程中，求点 F 所经过的路径长； （3）是边长为 3 的等边三角形，M 是高上的一个动点，小亮以为边作等 边三角形，如图 3，在点 M 从点 C 到点 D 的运动过程中，求点 N 所经过的路径

5、长； ABCVAC1AE BE BEFCF ABCV的ACBE BEF ABCVCDBM BMN （4） 正方形的边长为 3，E 是边上的一个动点，在点 E 从点 C 到点 B 的运动过 程中，小亮以 B 为顶点作正方形，其中点 F、G 都在直线上，如图 4，当点 E 到达点 B 时，点 F、G、H 与点 B 重合则点 H 所经过的路径长为_，点 G 所经过的 路径长为_ 5. （2021河北省）河北省）在一平面内，线段 AB20，线段 BCCDDA10，将这四条线段顺 次首尾相接把 AB 固定，让 AD 绕点 A 从 AB 开始逆时针旋转角 （0）到某一位 置时，BC，CD 将会跟随出现到相

6、应的位置 论证：如图 1，当 ADBC 时，设 AB 与 CD 交于点 O，求证：AO10； 发现：当旋转角 60时，ADC 的度数可能是多少？ 尝试：取线段 CD 的中点 M，当点 M 与点 B 距离最大时，求点 M 到 AB 的距离； 拓展：如图 2，设点 D 与 B 的距离为 d，若BCD 的平分线所在直线交 AB 于点 P， 直接写出 BP 的长（用含 d 的式子表示） ； 当点 C 在 AB 下方，且 AD 与 CD 垂直时，直接写出 a 的余弦值 ABCDCB BFGHAE 6. （2021四川省成都市四川省成都市） 在 RtABC 中，ACB90，AB5，BC3，将 ABC 绕点

7、 B 顺时针旋转得到ABC，其中点 A，C 的对应点分别为点 A，C （1）如图 1，当点 A落在 AC 的延长线上时，求 AA的长； （2）如图 2，当点 C落在 AB 的延长线上时，连接 CC，交 AB 于点 M，求 BM 的 长； （3）如图 3，连接 AA，CC，直线 CC交 AA于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出 DE 的最小值 ； 若不存在，请说 明理由 7. （2021 四川省乐山市）四川省乐山市）在等腰中，点是边上一点（不与点 、重合） ，连结 （1） 如图 1， 若， 点关于直线的对称点为点， 结， 则 _； （2）

8、若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结 在图 2 中补全图形； 探究与的数量关系，并证明； （3）如图 3，若，且，试探究、之间满足的 数量关系，并证明 8. （2021四川省凉山州）四川省凉山州）如图，在四边形中，过点 D 作 于 E，若 ABCVABACDBC BCAD 60CDABEAEDEBDE 60CADA60AEBE CDBE ABAD k BCDE ADEC BEBDAC ABCD90ADCB DEABDEBE （1）求证：； （2）连接交于点，若，求 DF长 9. （2021四川省眉山市）四川省眉山市）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，ACBC 2，边长为 2 的

9、正方形 DEFG 的对角线交点与点 C 重合，连接 AD，BE （1）求证：ACDBCE； （2） 当点 D 在ABC 内部，且ADC90时，设 AC 与 DG 相交于点 M，求 AM 的长 ； （3）将正方形 DEFG 绕点 C 旋转一周，当点 A、D、E 三点在同一直线上时，请直接写 出 AD 的长 10. （2021浙江省湖州市）已知在ACD 中，P 是 CD 的中点，B 是 AD 延长线上的一点， DADC ACDEF30 ,6ADEAD的 连结 BC，AP （1）如图 1，若ACB90，CAD60，BDAC，AP，求 BC 的长； （2）过点 D 作 DEAC，交 AP 延长线于点

10、E，如图 2 所示，若CAD60，BDAC， 求证：BC2AP； （3） 如图 3，若CAD45，是否存在实数 m，当 BDmAC 时，BC2AP？若存在， 请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由 11. 【（2021浙江省宁波市）浙江省宁波市）证明体验】 （1） 如图 1，为的角平分线，点 E 在上，求 证：平分 【思考探究】 （2）如图 2，在（1）的条件下，F 为上一点，连结交于点 G若， ，求的长 【拓展延伸】 （3） 如图 3， 在四边形中， 对角线平分， 点 E 在 上，若，求的长 3 ADABCV60ADCABAEAC DEADB AB FCADFBFC 2DG 3CD BD

11、 ABCDAC,2BADBCADCA AC EDCABC 5,2 5,2BCCDADAEAC 12. （2021浙江省绍兴市）浙江省绍兴市）如图，在ABC 中，A40，E 分别在边 AB，AC 上，连 结 CD，BE （1）若ABC80，求BDC，ABE 的度数； （2）写出BEC 与BDC 之间的关系，并说明理由 13. （2021 重庆市重庆市 A）在中，是边上一动点， 连接， 将 绕点逆时针旋转至的位置，使得 （1）如图 ，当时，连接，交于点若平分， ，求的长； （2）如图，连接，取的中点，连接猜想与存在的数量关系， ABCVABACDBCADAD AAE180DAEBAC 190BAC

12、BEACFBEABC 2BD AF 2BEBEGAGAGCD 并证明你的猜想； （3）如图，在（2）的条件下，连接，若，当， 时，请直接写出的值 14. （2021重庆市B）在等边ABC 中，AB6，BDAC，垂足为 D，点 E 为 AB 边上一 点，点 F 为直线 BD 上一点，连接 EF （1）将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60得到线段 EG，连接 FG 如图 1，当点 E 与点 B 重合，且 GF 的延长线过点 C 时，连接 DG，求线段 DG 的长； 如图 2，点 E 不与点 A，B 重合，GF 的延长线交 BC 边于点 H，连接 EH，求证 ： BE+BH BF； （2）如图

13、3，当点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点，点 N 在边 AC 上，且 DN2NC， 点 F 从 BD 中点 Q 沿射线 QD 运动，将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60得到线段 EP，连 接 FP，当 NP+MP 最小时，直接写出DPN 的面积 3DGCE120BACBDCD 150AEC BDDG CE 15. （2021内蒙古通辽市）内蒙古通辽市）已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形（OAOM OA） ，AOBMON90 （1）如图 1，连接 AM，BN，求证：AMBN； （2）将MON 绕点 O 顺时针旋转 如图 2，当点 M 恰好在 AB 边上时，求证：AM2+B

14、M22OM2； 当点 A，M，N 在同一条直线上时，若 OA4，OM3，请直接写出线段 AM 的长 16. （2021 湖北省十堰市）湖北省十堰市）已知等边三角形，过 A 点作的垂线 l，点 P 为 l 上一 动点（不与点 A 重合） ，连接，把线段绕点 C 逆时针方向旋转得到，连 ABCAC CPCP60CQ QB （1）如图 1，直接写出线段与的数量关系； （2）如图 2，当点 P、B 在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； （3） 如图 3，若等边三角形的边长为 4，点 P、B 分别位于直线异侧，且 的面积等于，求线段的长度 17. （2021北京市北京市）如图，在ABC 中，ABAC，B

15、AC，M 为 BC 的中点，点 D 在 MC 上，以点 A 为中心，将线段 AD 顺时针旋转 得到线段 AE，连接 BE，DE （1） 比较BAE 与CAD 的大小；用等式表示线段 BE，BM，MD 之间的数量关系，并 证明； （2）过点 M 作 AB 的垂线，交 DE 于点 N，用等式表示线段 NE 与 ND 的数量关系，并 证明 APBQ ACAPACPBCQ ABCACAPQV 3 4 AP 18. （2021福建省）福建省）如图，在 RtABC 中，ACB90线段 EF 是由线段 AB 平移得 到的，点 F 在边 BC 上，EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，且点 D 恰好在

16、AC 的延长线上 （1）求证：ADEDFC； （2）求证：CDBF 19. （2021吉林省）吉林省）如图，在 RtABC 中，ACB90，A60，CD 是斜边 AB 上的中线，点 E 为射线 BC 上一点，将BDE 沿 DE 折叠，点 B 的对应点为点 F （1）若 ABa直接写出 CD 的长（用含 a 的代数式表示） ； （2）若 DFBC，垂足为 G，点 F 与点 D 在直线 CE 的异侧，连接 CF，如，判断四 边形 ADFC 的形状，并说明理由； （3）若 DFAB，直接写出BDE 的度数 20. （20212021 湖北省江汉油田）湖北省江汉油田）已知和都为等腰三角形， （1）当时

17、， 如图 1，当点 D 在上时，请直接写出与的数量关系；_； 如图 2，当点 D 不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）当时， 如图 3，探究线段与的数量关系，并说明理由； 当时，请直接写出的长 21. （2021山东省威海市山东省威海市） （1） 已知，如图摆放，点 B，C，D 在同一条 直线上， 连接 BE， 过点 A 作， 垂足为点 F，直线 AF 交 BE 于点 G求证： （2）已知，如图摆放， 连接 BE，CD，过点 A 作，垂足为点 F，直线 AF 交 CD 于点 G求的值 ABCVDECV ,ABAC DEDCBACEDCn 60n ACBEAD ACBEAD 90

18、n BEAD / /,3 2,1BEAC ABADDC ABCVADEV 90BACDAE 45ABCADE AFBD BGEG ABCVADEV90BACDAE 30ACBADE AFBE DG CG 22. . (2021内蒙古包头市内蒙古包头市)如图，已知是等边三角形，P 是内部的一点， 连接 BP，CP （1）如图 1，以 BC 为直径半圆 O 交 AB 于点 Q，交 AC 于点 R，当点 P 在上时，连 接 AP，在 BC 边的下方作，连接 DP，求的度数； （2）如图 2，E 是 BC 边上一点，且，当时，连接 EP 并延长，交 AC 于点 F若，求证：； （3） 如图 3， M

19、是 AC 边上一点， 当时， 连接 MP 若， ，的面积为，的面积为，求的值（用含 a 的代数式 表示） ABCVABCV 的 QR BCDBAP CDAPCPD 3ECBEBPCP 74ABBP43EFAB 2AMMC150CMP6ABa 3MPaABCV 1 SBCPV 2 S 12 SS 23.（2021襄阳市）襄阳市） 在中，是边上一点，将 沿折叠得到，连接 （1）特例发现：如图 1，当，落在直线上时， 求证：； 填空：的值为_； （2）类比探究：如图 2，当，与边相交时，在上取一点，使 ，交于点探究值（用含的式子表示） ，并写出探究 过程； （3） 拓展运用：在（2） 的条件下，当，

20、是的中点时，若，求 的长 24. （2021 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区） 在等腰中，是直角三角形， ，连接，点是的中点，连接 ABCV90ACB AC m BC DBC ABDADAEDVBE 1m AEAC DACEBC CD CE 1m AEBCADG ACGBCE CGAEH CG CE 的m 2 2 m DBC6EB EH CG ADEAEDEABC 90CAB 1 2 ABCAEDCDBD、FBDEF （1）当，点在边上时，如图所示，求证： （2） 当， 把绕点逆时针旋转， 顶点 B 落在边 AD 上时， 如图所示， 当，点 B 在边 AE 上时，如图所示，猜想图、图中线段和又有 怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明 25. （2021湖南省娄底市）湖南省娄底市）如图，是等腰的斜边上的两动点， 且 （1）求证：； （2）求证：； （3）如图，作，垂足为 H，设，不妨设 45EADBAE 1 2 EFCD 45EADABCA 60EADEFCD EF、Rt ABCVBC 45 ,EAFCDBCCDBE ABEACD 222 EFBECF AHBC,EAHFAH ，请利用（2）的结论证明：当时， 成立 2AB 45 tantan tan() 1tantan