(2021新教材)人教A版高中数学必修第二册8.5空间直线、平面的平行同步讲义(机构专用).doc
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1、8.5 空间直线、平面的平行空间直线、平面的平行 知识梳理知识梳理 一、判定定理: 定理 表示 线面平行的判定定理面面平行的判定定理 文字叙述 平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行,则该直线 与此平面平行 一个平面内的两条相交直线与另 一个平面平行, 则这两个平面平行 符号表示 a ba a b a b abA a b 图形表示 二、性质定理: 线面平行的性质定理面面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,则过这条 直线的任一平面与此平面的交线与该 直线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线平行 符号语言 a aa b b =aaa b b 图形语言 作用线
2、面平行线线平行面面平行线线平行 知识典例知识典例 题型一 线面平行判定 例 1如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为梯形, /AB CD,4AB ,2CD ,点M在棱PD上. 求证:/CD平面PAB 【详解】因为/CD AB,CD 平面PAB,AB平面PAB,所以/CD平面PAB; 巩固练习巩固练习 已知三棱柱 111 ABCABC中, 1 AA 平面 ABC,BAAC, 1 2ABAAAC,M 为 AC 中点. 证明:直线 1 /BC平面 1 ABM 【分析】 连接 1 AB交 1 AB于点 O,再证明 1 /OM BC,得证; 【详解】 证明:连接 1 AB交 1 AB于点 O,连接 O
3、M, 11 A ABB为平行四边形, O为 1 AB的中点, 又 M 为 AC 的中点, 1 /OM BC. 又OM 平面 1 ABM, 1 BC 平面 1 ABM. 1 /BC平面 1 ABM. 题型二 面面平行判定 例 2如图,在三棱柱 111 ABCABC中,E、F、G、H分别是AB、AC、 11 AB、 11 AC的中点. (1)求证:B、C、H、G四点共面; (2)求证:平面 1/ EFA平面BCHG; (3)若 1 D、D分别为 11 BC、BC的中点,求证:平面 11/ ABD平面 1 AC D. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【分析】 (1)证
4、明出/GH BC,即可证明出B、C、H、G四点共面; (2)证明/EF BC,可得/EF平面BCHG,证明四边形 1 AEBG是平行四边形,可得出 1 /AE BG,可证明出 1 /AE 平面BCHG,再利用面面平行的判定定理可证明出结论; (3)连接 1 AC交 1 AC于点M,可得出 1 /DM AB,可证明出/DM平面 11BD A,证明出四边形 11 BDC D为平行四边 形,可得出 11 /C D BD,可得出 1 /C D平面 11BD A,然后利用面面平行的判定定理可证明出结论. 【详解】 (1)GH是 111 ABC的中位线, 11 /GH BC. 在三棱柱 111 ABCAB
5、C中, 11 /BBCC且 11 BBCC,则四边形 11 BBCC为平行四边形, 11/ BCBC,/GH BC,因此,B、C、H、G四点共面; (2)E、F分别为AB、AC的中点,/EF BC. EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,/EF平面BCHG. 在三棱柱 111 ABCABC中, 11 /AABB且 11 AABB,则四边形 11 AAB B为平行四边形, 11 /AB AB且 11 ABAB, E、G分别为AB、 11 AB的中点, 1 /AG BE且 1 AGBE, 四边形 1 AEBG是平行四边形,则 1 /AE BG, 1 AE 平面BCHG,BG 平面BCHG, 1
6、/AE平面BCHG. 1 AEEFE,且 1 AE 平面 1 EFA,EF 平面 1 EFA,平面 1/ EFA平面BCHG; (3)如图所示,连接 1 AC,设 1 AC与 1 AC的交点为M,连接DM, 四边形 11 A ACC是平行四边形, M是 1 AC的中点, DQ为BC的中点, 1 /AB DM. DM 平面 11BD A, 1 AB 平面 11BD A,/DM平面 11BD A. 由(1)知,四边形 11 BBCC为平行四边形,则 11 /BC BC且 11 BCBC, DQ、 1 D分别为BC、 11 BC的中点,所以, 11 /BD C D且 11 BDC D, 四边形 11
7、 BDC D为平行四边形, 11 /C D BD, 又 1 DC 平面 11BD A, 1 BD 平面 11BD A, 1/ DC平面 11BD A. 又 1 DCDMD, 1 DC 平面 1 AC D,DM 平面 1 AC D, 平面 11/ ABD平面 1 AC D. 巩固练习巩固练习 如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,棱PD与EC均垂直于底面ABCD,2PDEC,求证:平面/EBC 平面PDA. 【答案】见解析 【分析】 由正方形的性质得出/BC AD,可得出/BC平面PDA,由线面垂直的性质定理得出/CE PD,可得出/CE平面 PDA,再利用面面平行的判定定理可证得结论.
8、【详解】 由于四边形ABCD是正方形,/BC AD, BC 平面PDA,AD平面PDA,/BC平面PDA, PD 平面ABCD,CE 平面ABCD,/CE PD, CE 平面PDA,PD 平面PDA,/CE平面PDA, BCCEC ,平面 /EBC 平面PDA. 题型三 性质应用 例 3如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和 AP作平面,交平面BDM于GH,点H在线段BD上.求证:/AP GH. 【答案】证明见解析 【分析】 连接AC交BD于点O,连接MO, 推导出/MO PA 从而/AP平面BMD 由线面平行的性质定理可证明/AP G
9、H 【详解】 证明:如图,连接AC,设AC交BD于点O,连接MO 四边形ABCD是平行四边形, O是AC的中点 又M是PC的中点,/MO PA. 又MO 平面BDM,PA平面 BDM, /PA平面BDM 又PA平面PAHG,平面PAHG平面BDMGH, /AP GH 巩固练习巩固练习 如图,过正方体 1111 ABCDABC D的顶点 1 B、 1 D与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l,则 l与 11 B D的位置关系为_. 【答案】 11 /l B D 【分析】 利用面面平行的性质定理可得出l与 11 B D的位置关系. 【详解】 如图所示,连接 1 D P、 1 B
10、P, 在正方体 1111 ABCDABC D中,平面/ABCD平面 1111 DCBA,且平面 11 B D P平面 111111 ABC DB D,平面 11 B D P 平面ABCDl,所以 11 /l B D. 故答案为: 11 /l B D. 题型四 翻折问题 例 4如图甲,在直角梯形ABED中,/AB DE,ABBE,ABCD,F、H、G分别为AC、AD、DE的 中点,现将ACD沿CD折起,如图乙.求证:平面/FHG平面ABE. 【答案】证明见解析 【分析】 分别证明出/FH平面ABE,/GH平面ABE,然后利用面面平行的判定定理可得出平面/FHG平面ABE. 【详解】 翻折前,在图
11、甲中,ABCD,ABBE,/CD BE, 翻折后,在图乙中,仍有/CD BE, F、H、G分别为AC、AD、DE的中点,/FH CD,/HG AE,/FH BE, BE 平面ABE,FH 平面ABE,/FH平面ABE. AE 平面ABE,HG 平面ABE,HG/平面ABE. 又FHHGH,平面/FHG平面ABE. 巩固练习巩固练习 如图,在平面四边形ABCD中,ABAD,/AD BC,6AD ,24BCAB,EF,分别在BC,AD上,且 EFAB, 现将四边形ABEF沿EF折起, 使BEEC.若1BE , 在折叠后的线段AD上是否存在一点P, 使得/CP 平面ABEF?若存在,求出 AP PD
12、 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】存在; 3 2 AP PD = 【分析】 存在P,使得/CP平面ABEF,此时 3 2 AP PD =,易知 3 5 AP AD =,过P作/MP FD,与AF交M,则 3 5 MP FD =,可 证四边形MPCE为平行四边形,得到/CP ME,因此/CP平面ABEF成立 【详解】 在折叠后的线段AD上存在一点P,使得/CP平面 ABEF,此时 3 2 AP PD =以下为证明过程: 当 3 2 AP PD =时, 3 5 AP AD =,过点P作/MP FD,交AF于点M,连接EM, 则有 3 5 MPAP FDAD . 1BE ,5FD=, 3MP
13、.又3EC ,/MP FD EC,四边形MPCE为平行四边形, /CP ME,又CP 平面ABEF,ME 平面ABEF, /CP 平面ABEF成立. 题型五 比值求解 例 5如图所示,已知,都是平面,且 / / /,两条直线 l,m 分别与平面,相交于点 A,B, C 和点 D,E,F. 求证: ABDE BCEF . 【答案】证明见解析 【分析】 连接 DC,设 DC 与平面相交于点 G,连,BG GE,根据面面平行的性质定理,可得/ /BGAD,利用三角形相 似关系,即可证明结论. 【详解】 证明:连接 DC,设 DC 与平面相交于点 G, 则平面 ACD 与平面,分别相交于直线 AD,B
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