（2021新人教B版）高中数学必修第四册11.1.4棱锥与棱台ppt课件.ppt

1、第十一章第十一章 立体几何初步立体几何初步 11.1.4 11.1.4 棱锥与棱台棱锥与棱台 棱柱：有两个面互相平行，且多面体的顶点都在这 两个面上，其余各面都是平行四边形，这样 的多面体称为棱柱 棱柱的分类： 按侧棱与底面是否垂直分类： 按底面多边形的边数分类： 分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、 知识回顾 棱柱底面棱柱底面 棱柱顶点棱柱顶点 棱柱侧棱 棱柱侧面 尝试与发现 如果一个多面体有 ，且其余各面都是 有一个 ，则称这个多面体为棱锥棱锥. 一个面是多边形 公共顶点的三角形 (1)棱锥中， 是多边形的那个面称为棱锥的 ， 有公共顶点的各三角形称为棱锥的 ， 各侧面的公共顶点称为棱锥的 ， 相

2、邻两侧面的公共边称为棱锥的 底面底面 侧面侧面 顶点顶点 侧棱侧棱 侧面 侧棱 顶点 底面 AB C D P 一.1.棱锥的有关概念有一个面是多边形，其余各面 都是有一个公共顶点的三角形 （3）棱锥按照 分类，分为 三棱锥、四棱锥、五棱锥等 三棱锥三棱锥 四棱锥四棱锥 五棱锥五棱锥六棱锥六棱锥 底面的形状 （2）棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母 来表示，图中所示的四棱锥可以记作: 棱锥P-ABCD或棱锥P-AC. AB C D P 一.1.棱锥的有关概念 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体 叫做棱锥. 一.在运动变化的观点下棱柱与棱锥关系 思考问题2：有一个面是多边形，其余各面都是三

3、角形的 几何体一定是棱锥吗? 棱锥两个本质的特征： 答：不一定，如图. 有一个面是多边形； 其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可。 思考问题1：各个面都是三角形的几何体 一定是棱锥吗? 答：不一定，如图. A B D C E F 概念辨析 P D C A B O （4）过棱锥的 ，所 得到的线段（或它的长度）称为棱锥的高高 （5）棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的 侧面积 （6）如果棱锥的 ， 且 ， 则称这个棱锥为正棱锥正棱锥 （7）正棱锥的侧面都 ，而且都是 E 顶点作棱锥底面的垂线 底面是正多边形 棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面 全等 等腰三角形 （8）这些等腰三角形底边上

4、的高也都相等，称为 棱锥的斜高斜高 一.1.棱锥的有关概念 侧面是全等的等腰三角形侧面是全等的等腰三角形. . 等腰三角形底边上的高都相等等腰三角形底边上的高都相等, , 叫正棱锥的叫正棱锥的斜高斜高. . 每条侧棱相等每条侧棱相等 底面是正多边形底面是正多边形 顶点与底面中心的连线垂直于底面顶点与底面中心的连线垂直于底面 正棱锥性质正棱锥性质： M D A B C S O D A B C S O P D C A B O E F M 例例1 1：如图是底面边长为如图是底面边长为 且侧棱长为且侧棱长为 , ,的正六棱锥的正六棱锥P-ABCDEFP-ABCDEF （1 1）写出直线）写出直线PAP

5、A与直线与直线CDCD，直线，直线PAPA与面与面ABCDEFABCDEF之间的关系；之间的关系； （2 2）求棱锥的高与斜高的长；）求棱锥的高与斜高的长； （3 3）求棱锥的侧面积）求棱锥的侧面积 （1）直线）直线PA与直线与直线CD异面，直线异面，直线 解： （2）作出棱锥的高）作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥，所以，因为是正六棱锥，所以O是是 底面的中心，连接底面的中心，连接OC，可知，可知OC=1 . 1OC-PCPO 22 中，可知在POCRt .AABCDEFPA面 设设BC的中点为的中点为M，由，由PBC是等腰三角形可知，是等腰三角形可知，PMMC, 因此因此PM是斜高，从而是斜

6、高，从而 . 2 7 MC-PCPM 22 (3) (3) 因为因为PBCPBC的面积为的面积为 ， 4 7 PMBC 2 1 所以棱锥的侧面积为所以棱锥的侧面积为 3 7 2 教材 P76 练习B 3 VABCD 2 11 已知正四棱锥的底面面积为16，侧棱长为 ， 求这个棱锥的斜高与高 因为底面正方形ABCD的面积是16， 所以BC=4，MB=OM=2， 22 22O BBMO M 又因为VB= ,在RtVOB中, 由勾股定理得 2 11 22 22 (2 11)(22)6 VOVBOB 在RtVOM中，由勾股定理得 22 62210VM 即正四棱锥的高为6，斜高为 2 10 v A B

7、C D o M 解： 正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高为PO，底面 为正方形，作PECD于E，则PE为斜高. （1）斜高、侧棱构成直角三角形，如图中RtPEC. （2）斜高、高构成直角三角形，如图中RtPOE. （3）侧棱、高构成直角三角形，如图中RtPOC. 尝试与发现 观 P 1 A 1 D 1 C 1 B A B C D （1）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 所得截面与底面间的多面体称为棱台棱台 （2）原棱锥的底面与截面分别称为棱台的 与 （3）其余各面称为棱台的 （4）相邻两侧面的公共边称为棱台的 （5）棱台可用上底面与下底面的顶点表示， 如棱台AB

8、CD-A1B1C1D1. 二.1.棱台的有关概念 顶点顶点 上底面上底面 下底面下底面 侧面侧面 侧棱侧棱 下底面下底面 上底面上底面 侧面侧面 侧棱侧棱 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥 所 得截面与底面间的多面体 二.在运动变化的观点下棱锥与棱台的关系 棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间 的部分叫做棱台. （7）棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积 （8）棱台可以按底面的形状分类，分为三棱台、四棱台等 （9）由 截得的棱台称为正棱台正棱台 （10）正棱台上、下底面都是 ， 两者中心的连线是棱台的高高 （11）正棱台的侧面都 ，且都 是 （12）这些等腰梯形的高都相等，称为棱台

9、的斜高斜高 （6）过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底 面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的高高 二.1.棱台的有关概念 A 1 A 1 D 1 C 1 B B C D E 正棱锥 正多边形 全等 等腰梯形 M N 思考问题3：下图中的几何体是不是棱台?为什么? 思考问题4：有两个面互相平行，其它各面均 为梯形的几何体一定是棱台吗？ 棱台的两个重要特征棱台的两个重要特征 （1）两底面互相平行 概念辨析 答：不是。 答：不是。 （2）各侧棱延长后相交于一点。 例2（课本第74页例2） 如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面 边长和侧棱长都为1O与O分别是下底面与上底面的

10、中心 （1）求棱台的斜高；（2）求棱台的高 A AB C B C O O A C A EF C 解：（1）因为是正三棱台，所以侧面都 是全等的等腰梯形在梯形ACCA中， 分别过A,C做AC的垂线AE与CF，则 由AC=2，AA=AC=CC=1知 1 2 AEFC，从而 即 3 2 A EC F 3 2 斜高为 （2）根据O与O分别是下底面与上底面的中心，以及下 底面边长和上底面边长分别为2和1,可以算 假设正三棱台ABC-ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱 锥V-ABC得到的，则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高， VO是棱锥V-ABC的高，OO是所求棱台的高. 例2（课本第74页例2） 如图

11、所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长 和侧棱长都为1O与O分别是下底面与上底面的中心 （1）求棱台的斜高；（2）求棱台的高 V O O B B A AB C B C O O 因此棱台的高为 3 6 因此VBO是一个直角三角形，画岀这个三角形， 如图所示，则BO是VBO的中位线.因为棱台的棱长为1， 所以BB=1,VB=2,从而 一个三棱台的上、下底面面积之比为4：9,若棱台的高 是4cm,求截得这个棱台的棱锥的高. 教材P76 练习B 4 解：设截得这个棱台的棱锥的 高为h cm,如图。 , 3 2 , 3 2 , 9 4 1 OC GO AB EF S S ABC EFG ,

12、3 24 , 3 2 1 h h SO SO ,12,2123hhh 截得这个棱台的棱锥的高12cm. 拓展：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截 面与底面相似，并且它们的面积比等于截得的棱锥 的高和原棱锥的高的比的平方。 “补形法补形法”解台体中的计算问题解台体中的计算问题 与台体有关的计算问题，常利用“补形法”将台体还原为 锥体，并结合相似三角形的性质求解.利用了化归与转化的 思想. 正棱台中的直角梯形的应用正棱台中的直角梯形的应用 已知正棱台如图（以正四棱台为例）， O1，O分别为上、下底面中心，作 O1E1B1C1于E1，OEBC于E， 则E1E为斜高. （1）斜高、侧棱构成直角梯形

13、，如图中梯形E1ECC1. （2）斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO. （3）高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较 结构特征结构特征 棱柱棱柱棱锥棱锥棱台棱台 定义定义 底面底面 侧面侧面 侧棱侧棱 平行于底面平行于底面 的截面的截面 过不相邻两过不相邻两 侧棱的截面侧棱的截面 两底面是全 等的多边形 平行四边形 平行且相等 与两底面是全 等的多边形 平行四边形 多边形 三角形 相交于顶点 与底面是相 似的多边形 三角形 两底面是相 似的多边形 梯形 延长线交于一点 与两底面是相 似的多边形 梯形 课堂小结 1.棱锥与棱台的相关概念和结构特征 2.正棱锥与正棱台的相关概念和其中的截面特点 类比思想 棱柱棱柱 棱锥棱锥 转化思想 空间问题平面化空间问题平面化 棱台棱台 谢谢观看