(2021新人教B版)高中数学必修第四册10.2.2复数的乘法与除法ppt课件.ppt
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1、第十章第十章 复数复数 10.2.2 复数的乘法与除法 复数的加减法: 交换律和结合律: .,)()()()(Rdcbaidbcadicbia 1221 zzzz )()( 321321 zzzzzz 两个实数的乘法对加法来说满足分配律. 即a,b, c? R 时,有 (a+b)c=ac+bc , 而且,实数的正整数次幂满足 aman =amn, (am )n=amn, (ab)n =anbn , 其中m,n均为正整数. 我们研究完了复数的加法和减法运算,那么复数的乘法,你想 到怎么算了吗?你想到的算法符合实数乘法相关的运算法则吗? 思考:复数的乘法应该如何规定, 才能使得类似的运算法 则仍成
2、立呢? 设z1=3 ; z2 = 12i ; z3 =-5i ,你认为z1z2的值与z2z3的值分别 等于多少? 由此尝试给出任意两个复数相乘的运算规则. 猜想:z1z2=3(1-2i)=3-3(-3i)=3-6i z2z3=(1-2i)(-5i)=1(-5i)-2i(-5i)=-5i+10i2=-5i-10 设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d?R),称z1z2(或z1z2) 为z1与z2的积,并规定 z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i 按照多项式乘法进行计算, 然后利用 i 2 =-1即可. 按照这种定
3、义,我们在上面尝试与发现中的猜想是正确的. 交换率 1221 zzzz 321321 )()(zzzzzz 结合率 3121321 )(zzzzzzz 分配率 乘法运算率在复数范围内仍然成立: 例1 已知a,b?R,求证:(a+bi)(a-bi)=a2+b2 . 证明:根据复数乘法的定义有 (a+bi)(a-bi)=a2-abi+bai-bi2 =a2+b2 . i2=-1 2 2 ,zzzzCz 两个共轭复数的乘积等于其模的平方. 即 实数 思考:若z1=a+bi,z2=c+di,那么是否有 成 立?给出证明过程. 2121 zzzz ibcadbdacibcadbdacdicbiazz 2
4、1 , 21 ibcadbdacdicbiazz 2121 zzzz即 证明: 复数乘法运算按 照多项式乘法方 式进行运算. n个相同的复数z相乘时,仍称为z的n次方(或n次幂), 并记作zn,即zn=zzzzz. n个 可以验证,当m,n均为正整数时, zmznzm+n,(zm)nzmn,(z1z2)nzn1zn2. 以前我们所学过的和平方公式、平方差公式等,对于 复数来说也是成立的,即 (z1+z2)2z21+2z1z2+z22, z21-z22(z1+z2)(z1-z2). 例如,例1也可按如下方式计算. (a +bi) (a bi)=a2 -(bi)2 =a2 + b2. 类似于实数的
5、乘法运算, 只不过当底为正实数时, 指数为任意实数. 复数乘法运算按 照多项式乘法方 式进行运算. )3)(2() 1 (ii )31)(32() 2(ii )3)(23() 3 (ii)2)(43)(21 () 4(iii 计算下列各式的值 2235i ii21216 iiii553232) 1 ( 2 原式 iiii3119362)2( 2 原式 i )331 ()3(原式 iii1520)2)(211()4(原式 iii125)2(2323)5( 22 原式 5)2(1)6( 22 i原式 解: -5-5i 11-3i -20+15i 5-12i5 i )331 ( 【探究】 i 的指数
6、 变化规律 1,1, 4321 iiiiii _,_,_,_ 8765 iiii 观察发现 i 的指数与运算结果之间有规律了吗?有怎 样的规律? n i 4 14n i 24 n i 34 n i ,1,i ,1i i3=i2 i=-1i=-i; i4=i2i2=11=1 i 的幂次具有周期性,T=4 利用 i 的周期性可以解决高次幂问题。. i4ni4n1i4n2i4n30(nN) 例2 计算(1+i)2与(1-i)2的值. 解:(1+i)2 =12+2i+i2=2i ; (1-i)2 =12-2i+i2=-2i 等式的性质在复数范围内仍然成立: 当z1=z2时,必有 z1z=z2z. 注意
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