（2021新人教B版）高中数学必修第四册素养养成第十一章　立体几何初步第（课件+课后篇巩固提升）.zip

第十一章立体几何初步 11.1空间几何体 11.1.1空间几何体与斜二测画法空间几何体与斜二测画法 课后篇课后篇巩固提升 基础巩固 1.水平放置的ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形 ABC,则ABC 是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.任意三角形 解析如图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故ABC 是钝角三角形. 答案 C 2.如图所示的正方形 OABC的边长为 1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周 长是() A.6 cmB.8 cm C.(2+3)cmD.(2+2)cm 23 解析直观图中,OB=,OB=2.原图形中 OC=AB=3,OA=BC=1,原图形的周长是 22(2 2)2+ 12 2(3+1)=8. 答案 B 3.如图所示,ABC是水平放置的ABC 的直观图,则在ABC 的三边及中线 AD 中,最长的线段是() A.ABB.ADC.BCD.AC 解析还原ABC,即可看出ABC 为直角三角形,故其斜边 AC 最长. 答案 D 4.在用斜二测画法画水平放置的ABC 时,若A 的两边平行于 x 轴、y 轴,则在直观图中,A等于() A.45B.135C.90D.45或 135 解析因为A 的两边平行于 x 轴、y 轴,故A=90,在直观图中,按斜二测画法规则知xOy=45 或 135,即A=45或 135,故选 D. 答案 D 5.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一 个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为() A.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm 解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为 2+3=5(cm),在直观图中与 z 轴平行的线 段长度不变,仍为 5 cm.故选 D. 答案 D 6.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么正三角形 ABC 的直观图ABC的面积是() A.a2B.a2 3 4 3 8 C.a2D.a2 6 8 6 16 解析如图为实际图形,建立如图所示的平面直角坐标系 xOy. 如图,建立坐标系 xOy,使xOy=45,由直观图画法知:AB=AB=a,OC= OC=a,过 C作 1 2 3 4 CDOx于 D,则 CD=OC=a.所以ABC的面积是 S= ABCD= aa=a2. 2 2 6 8 1 2 1 2 6 8 6 16 答案 D 7.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形 ABCD 为. 解析因为DAB=45,由斜二测画法规则知DAB=90,又因四边形 ABCD为平行四边形,且 AB=BC,所以原四边形 ABCD 为正方形. 答案正方形 8.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点 M(4,4)在直观图中的对应点是 M,则点 M的坐标为. 解析在 x轴的正方向上取点 M1,使 O1M1=4,在 y轴上取点 M2,使 OM2=2,过 M1和 M2分别作平行于 y轴和 x轴的直线,则交点就是 M. 答案(4,2) 9.如图,平行四边形 OPQR是四边形 OPQR 的直观图,若 OP=3,OR=1,则原四边形 OPQR 的周长为. 解析由四边形 OPQR 的直观图可知原四边形是矩形,且 OP=3,OR=2,所以原四边形 OPQR 的周长为 2(3+2)=10. 答案 10 10.如图所示的是一个水平放置的正方形 ABCO,它在直角坐标系 xOy 中,点 B 的坐标为(2,2),则用斜 二测画法画出的正方形的直观图中,顶点 B到 x轴的距离为. 解析在直观图中四边形 ABCO是有一个角为 45且长边为 2,短边为 1 的平行四边形,所以顶点 B 到 x轴的距离为. 2 2 答案 2 2 11.观察如下图所示的物体,说出几何体的名称. 解球,正方体,长方体. 能力提升 1.利用斜二测画法得到:三角形的直观图是三角形;平行四边形的直观图是平行四边形;正方形 的直观图是正方形;菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是() A.B. C.D. 解析根据画法规则,平行性保持不变,与 y 轴平行的线段长度减半. 答案 B 2.下图甲所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是乙图中的() 图甲 图乙 解析按斜二测画法规则,平行于 x 轴或 x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变,平行于 y 轴或在 y 轴 上的线段在新坐标系中变为原来的 ,并注意到xOy=90,xOy=45,将图形还原成原图形知选 1 2 C. 答案 C 3.下面每个选项的 2 个边长为 1 的正ABC 的直观图不是全等三角形的一组是() 解析可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论. 答案 C 4.如图,矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 OA=6,OC=2,则原图形是() A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形 解析设 y轴与 BC交于点 D,则 OD=2.在原图形中,OD=4,CD=2,且 ODCD,所以 OC= 22 =6=OA,所以原图形是菱形. (4 2)2+ 22 答案 C 5.如图所示,四边形 OABC 是上底为 2,下底为 6,底角为 45的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形 的直观图 OABC,在直观图中梯形的高为,面积为. 解析因为 OA=6,CB=2,所以 OD=2. 又因为COD=45,所以 CD=2.梯形的直观图如图, 则 CD=1.所以梯形的高 CE=. 2 2 面积为=2. 2 + 6 2 2 22 答案2 2 22 6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ABCD,如图所示,ABC=45, AB=AD=1,DCBC,原平面图形的面积为. 解析过 A 作 AEBC,垂足为 E. 又DCBC 且 ADBC,ADCE 是矩形, EC=AD=1. 由ABC=45,AB=AD=1 知 BE=, 2 2 原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为 1 和 1+,高为 2,原平面图形的面积为 2 2 (1+1+)2=2+. 1 2 2 2 2 2 答案 2+ 2 2 7.如图所示,已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图ABC是边长为 a 的正三角形,那么原ABC 的面积为. 解析法一:过 C作 CMy轴,且交 x轴于 M. 过 C作 CDx轴,且交 x轴于 D,则 CD=a. 3 2 所以CMD=45,所以 CM=a. 6 2 所以原三角形的高 CM=a,底边长为 a,其面积为 S= aa=a2. 6 1 26 6 2 法二:因为 SABC= aa=a2. 1 2 3 2 3 4 由 S直观图=S原图得, 2 4 SABC=SABC=a2=a2. 4 2 4 2 3 4 6 2 答案a2 6 2 8.在水平放置的平面 内有一个边长为 1 的正方形 ABCD,如图,其中的对角线 AC在水平位置,已 知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积. 解四边形 ABCD 的真实图形如图所示, AC在水平位置,ABCD为正方形, DAC=ACB=45, 在原四边形 ABCD 中, DAAC,ACBC, DA=2DA=2,AC=AC=, 2 S四边形 ABCD=ACAD=2. 2 9.一个圆锥的底面直径是 1.6 cm,在它的内部有一个底面直径为 0.7 cm,高为 1 cm 的内接圆柱. (1)画出它们的直观图; (2)求圆锥的母线长. 解(1)画轴.取 x 轴、y 轴、z 轴,记坐标原点为 O,使xOy=45,xOz=90(如图所示). 画底面.以 O 为中心,按 x 轴、y 轴画一个直径等于 1.6 cm 的圆的直观图. 画内接圆柱.以 O 为中心,按 x 轴、y 轴画一个直径等于 0.7 cm 的圆的直观图,然后在 z 轴上取 线段 OO=1 cm,过点 O作平行于 x 轴的 x轴,平行于 y 轴的 y轴,再以 O为中心,利用 x轴、y轴画一 个直径为 0.7 cm 的圆的直观图.再画圆柱的两条母线,使它们与这两个椭圆相切. 成图.画圆锥的两条母线,再加以整理,就得到所要画的直观图(如图所示). (2)设圆锥的高为 h, 则, - 1 = 0.7 1.6 解之得 h=. 16 9 所以圆锥的母线长为 l=. 2+ 2= 0.82+(16 9) 2 = 4 481 45 -1- 11.1.1空间几何体与斜二测画法 课前篇自主预习 一、空间几何体 1.思考 我们以前接触过的几何体有哪些? 提示:正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球. 2.填空 课前篇自主预习 3.做一做 (1)观察如下图所示的物体,将每个建筑物可抽象出的几何体画出 来. 提示: 课前篇自主预习 (2)观察如下图所示的物体,说出几何体的名称. 提示:球,圆柱 课前篇自主预习 二、斜二测画法 1.思考 问题1:在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中一定画成直角 吗? 提示:为了直观,不一定. 问题2:正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么?为 什么? 提示:平行四边形、椭圆形,为增加直观性. 问题3:这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗? 提示:不相同. 课前篇自主预习 2.填空 (1)立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图 形的直观图. (2)一般地,用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,步骤 如下: 建系在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直 观图时,把它们画成对应的x轴与y轴,使得它们正方向的夹角为 45或135 平行 不变平面图形中平行或重合于x轴或y轴的线段在直观图中分别 画成平行或重合于x轴或y轴的线段 课前篇自主预习 长度 规则平面图形中平行或重合于x轴的线段,在直观图中保持原长 度不变,平行或重合于y轴的线段,长度为原来的一半 (3)一般地,用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下: 在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水 平平面上图形的直观图(保留x轴与y轴). 在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴. 过x轴与y轴的交点作z轴对应的z轴,且z轴垂直于x轴. 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z轴平行(或重合)的线段, 且长度不变. 连接有关线段. 擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除). 课前篇自主预习 3.做一做 (1)判断正误. 相等的角,在直观图中仍相等. ( ) 长度相等的线段,在直观图中长度仍相等. ( ) 若两条直线垂直,在直观图中对应的直线也互相垂直. ( ) 解析:根据斜二测画法的意义及作图知,均错. 答案:(1) 课前篇自主预习 (2)(多选题)关于“斜二测画法”,下列说法正确的是() A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x轴,长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y轴,长度变为原 来的 C.在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy必须是45 D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 解析:在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy可以是45,也 可以是135.C不正确. 答案:ABD 课前篇自主预习 (3)长方形的直观图可能为下图的哪一个() A. B.C. D. 解析:斜二测画法中,平行性保持不变,平行于x轴的长度不变,平行 于y轴的长度折半.因此长方形的直观图为. 答案:C (4)在用斜二测画法画水平放置的ABC时,A的两边平行于x轴、 y轴,则在直观图中,A=. 解析:由斜二测画法,A=45或A=135. 答案:45或135 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 水平放置的平面图形的直观图 例1按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:画法: (1)在图中作AGx轴于G,作DHx轴于H. (2)在图中画相应的x轴与y轴,两轴相交于点O,使xOy=45. (4)连接AB,AE,ED,DC,并擦去辅助线GA,HD,x轴与y轴,便得 到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE如图. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标 系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以 便于画点. 2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变), 与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端 点,然后连接成线段. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练1如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构 成的平面图形,请画出它的直观图. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:画法: (1)以AB边所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,两轴相交于点O如图 ,画相应的x轴和y轴,两轴相交于点O,使xOy=45如图; (3)连接ED,DC,CE,并擦去辅助线x轴和y轴,便得到平面图形 ABCDE水平放置的直观图ABC-DE如图. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 空间几何体的直观图 例2用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD-ABCD的直观图. 解:画法:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使 xOy=45,xOz=90. (2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上 取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作 x轴的平行线,设它们的交点分别为A、B、C、D,四边形ABCD就是 正方体的底面ABCD. (3)画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行 线上分别截取2 cm长的 线段AA、BB、CC、DD. (4)成图.顺次连接A、B、C、D, 并加以整理(去掉辅助线,将被遮 挡的部分改为虚线),就得到正方 体的直观图(如图). 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对 应的x轴与y轴,两轴交于点O,且使xOy=45(或135),它们确 定的平面表示水平面,再作z轴与x轴垂直. (2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x轴的线段 并且长度不变. (3)平行于y轴的线段画成平行于y轴的线段,且线段长度画成原来 的二分之一. (4)平行于z轴的线段画成平行于z轴的线段并且长度不变. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练2如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直 观图. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:(1)画轴.如下图,画x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90. (2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一 个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD, 在z轴上截取OO,使OO等于三视图中相应高度,过O作Ox的平行线 Ox,Oy的平行线Oy,利用Ox与Oy画出上底面ABCD. (3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO等于三视图中相应的高 度. (4)成图.连接PA,PB,PC,PD,AA,BB,CC,DD,整理得到三视图表示 的几何体的直观图,如下图. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 直观图的还原与计算 例3如图所示,水平放置的平面图形ABCD为某一平面图形的斜二 测直观图,它是一个底角为45、腰和上底长均为1的等腰梯形,求 原来的平面图形的面积. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:如图所示,因为ADBC,所以ADBC. 因为ABC=45,所以ABC=90, 所以ABBC.所以四边形ABCD是直角梯形, 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 延伸探究1把例3中的条件改为:如图所示的直角梯形中, ABC=45,AB=AD=1,CDBC,求原平面图形的面积. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:在斜二测直观图中(如图所示),作AHx轴交于H. AB=AD=1,DCBC,ABC=45. 从而在原平面图形ABCD中(如图所示), 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 延伸探究2已知正ABC的边长为1,那么ABC的平面斜二测直观 图ABC的面积为. 解析:图、分别为实际图形和直观图. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟由原图形求直观图的面积,关键是确定直观图的形状,作 出直观图后,求出其边长和高,进而求出面积;如果由直观图求原图 形的面积,则根据斜二测画法将直观图还原为原图形,再求边长和 高,进而求面积.直观图的面积是原图形面积 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解答平面图形直观图还原问题的易错点 典例一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OABC 的面积为 ,则原梯形的面积为() 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解析:方法一:如图,由斜二测画法原理知, 原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,不一样的是 两个梯形的高. 故选D. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 答案:D 易错防范1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的 长度不一样.原梯形的高OC是直观图中OC的长度的2倍,OC长度 是直观图中梯形的高的 倍,此处易出错. 2.解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是 ( ) A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形 B.平行四边形的直观图仍是平行四边形 C.两条相交直线的直观图可能是平行直线 D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直 解析:斜二测画法保持平行性不变,正方形的直观图是平行四边形, 故选项A错误;平行四边形的对边平行,则在直观图中仍然平行,故 选项B正确;斜二测画法保持相交性不变,故两条直交直线的直观图 仍是相交直线,故选项C错误;两条垂直直线的直观图应是夹角为 45的两条相交直线,故选项D错误。 答案:B 课堂篇探究学习 A.模块 B.模块 C.模块 D.模块 解析:观察所给模块图形,可知选A. 答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 2.如图,模块均由4个棱长为1的小正方体构成,模块由15个 棱长为1的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块 上,使得模块成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能 够完成任务的为 () 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 3.如图,水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABC,已知 AC=6,BC=4,则AB边的实际长度是. 答案:10 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 4.如图RtOAB是一平面图形的直观图,直角边OB=1,则这个平 面图形的面积是. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 5.如图,ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复 成原图形. 解:画法: (1)如图,画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=OA,即CA=CA; (2)在图中,过B作BDy轴,交x轴于D,在图中,在x轴上取 OD=OD,过D作DBy轴,并使DB=2DB. (3)连接AB,BC,则ABC即为ABC原来的图形,如图. 第十一章立体几何初步 11.1空间几何体 11.1.2构成空间几何体的基本元素构成空间几何体的基本元素 课后篇课后篇巩固提升 1.过平面外一条直线作平面的平行平面() A.必定可以并且只可以作一个 B.至少可以作一个 C.至多可以作一个 D.一定不能作 解析因为直线在平面外包含两种情况:直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时,不能 作出符合题意的平面;当直线与平面平行时,可作出唯一的一个符合题意的平面. 答案 C 2.“a,b 是异面直线”是指: ab=,且 a,b 不平行;a平面 ,b平面 ,且 ab=;a平面 ,b平面 ,且 =;a平面 ,b平面 ;不存在平面 ,使 a,且 b 成立.上述说法中() A.正确B.正确 C.正确D.正确 解析说法等价于 a 与 b 既不相交,又不平行,所以 a 与 b 为异面直线.正确;中 a、b 可能平 行,都不正确;说法等价于 a 与 b 不同在任何一个平面内,即 a,b 异面,正确. 答案 D 3.(多选题)平面 外有两条直线 m 和 n,如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是 m和 n,下列四个命题 中不正确的命题是() A.mnmn B.mnmn C.m与 n相交m 与 n 相交或重合 D.m与 n平行m 与 n 平行或重合 解析由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法,观察如图的正方体: ACBD,但 A1C,BD1不垂直,A 错; A1BAB1,但在底面上的射影都是 AB,B 错; AC,BD 相交,但 A1C,B1D1异面,C 错; ABCD,但 A1B,C1D 异面,D 错. 故选 ABCD. 答案 ABCD 4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是() A.都平行B.都相交 C.在两平面内D.至少和其中一个平行 解析若该直线不属于任何一个平面,则其与两平面平行;若该直线属于其中一个平面,则其必和另一个 平面平行. 答案 D 5.已知异面直线 a 与 b 满足 a,b,且 =c,则 c 与 a,b 的位置关系一定是() A.c 与 a,b 都相交 B.c 至少与 a,b 中的一条相交 C.c 至多与 a,b 中的一条相交 D.c 至少与 a,b 中的一条平行 解析a,c, a 与 c 相交或平行. 同理,b 与 c 相交或平行. 若 ca,cb,则 ab,这与 a,b 异面矛盾. a,b 不能都与 c 平行,即直线 a,b 中至少有一条与 c 相交. 答案 B 6.下列命题中,正确的命题为() A.若直线 a 上有无数个点不在平面 内,则 a B.若 a,则直线 a 与平面 内任意一条直线都平行 C.若 a,则 a 与 有无数个公共点 D.若 a,则 a 与 没有公共点 解析 AD 中,a 与 可相交;B 中 a 与 内的直线可异面;故 ABD 不正确,C 正确. 答案 C 7.(多选题)给出的下列四个命题中,其中不正确的命题是() A.平面 内有两条直线和平面 平行,那么这两个平面平行 B.平面 内有无数条直线和平面 平行,则 与 平行 C.平面 内ABC 的三个顶点到平面 的距离相等,则 与 平行 D.若两个平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交或重合 解析如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,对于 A,在平面 A1D1DA 中,AD平面 A1B1C1D1,分别取 AA1,DD1的中点 E,F,连接 EF,则知 EF平面 A1B1C1D1.但平面 AA1D1D 与平面 A1B1C1D1是相交的,交 线为 A1D1,故命题 A 错. 对于 B,在正方体 ABCD-A1B1C1D1的面 AA1D1D 中,与平面 A1B1C1D1平行的直线有无数条,但平 面 AA1D1D 与平面 A1B1C1D1不平行,而是相交于直线 A1D1,故 B 是错误的. 对于 C,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,分别取 AA1,DD1,BB1,CC1的中点 E,F,G,H,A1,B,C 到平面 EFHG 的距离相等,而A1BC 与平面 EFHG 相交,故 C 是错误的.对于 D,两平面位置关系中不存在重 合,若重合则为一个平面,故命题 D 错. 答案 ABCD 8.在四棱锥 P-ABCD 中,各棱所在的直线互相异面的有对. 解析以底边所在直线为准进行考查,因为四边形 ABCD 是平面图形,4 条边在同一平面内,不可能组成 异面直线,而每一边所在直线能与 2 条侧棱组成 2 对异面直线,所以共有 42=8 对异面直线. 答案 8 9.如图,点 G,H,M,N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形是,表 示直线 GH,MN 平行的图形是(填序号). 解析中 HGMN,中 GMHN 且 GMHN,故 HG、NM 必相交,中 GH、MN 为异面直线. 答案 10.在长方体 ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面 AA1C1C、面 ABC1D1、面 ADC1B1、面 BB1D1D、面 A1BCD1等)所在的平面中,与棱 AA1平行的平面共有个. 解析如图所示,结合图形可知 AA1平面 BB1C1C,AA1平面 DD1C1C,AA1平面 BB1D1D. 答案 3 11.A,B 是直线 l 外两点,过 A,B 且与 l 平行的平面有个. 解析当直线 AB 与 l 相交时,有 0 个;当直线 AB 与 l 异面时,有 1 个;当直线 ABl 时,有无数个. 答案 0,1 或无数 12.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,指出 B1C,D1B 所在直线与正方体各面所在平面的位置关 系. 解 B1C 所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是: B1C 在平面 BB1C1C 内,B1C平面 AA1D1D,B1C 与平面 ABB1A1,平面 CDD1C1,平面 ABCD,平面 A1B1C1D1都相交. D1B 所在直线与正方体各面所在平面都相交. -1- 11.1.2构成空间几何体的基本元素 课前篇自主预习 一、空间中的点、线、面 1.思考 宁静的湖面、海面;生活中的课桌面、黑板面;一望无垠的草原给 你什么样的感觉? 问题1:生活中的平面有大小之分吗? 提示:有. 问题2:几何中的“平面”是怎样的? 提示:从物体中抽象出来的,绝对平,无大小之分. 课前篇自主预习 2.填空 (1)几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物 体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的. (2)长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也称为“体”),包 围着几何体的是“面”,面与面相交给人“线”的形象,线与线相交给人 “点”的形象.这就是说,可以将点、线、面看作构成空间几何体的基 本元素. 另外,点运动的轨迹可以是线,线运动的轨迹可以是面,面运动的轨 迹可以是体. 课前篇自主预习 (3)一些文字语言与数学符号的对应关系: 课前篇自主预习 3.做一做 (1)如图,图的平面可表示为平面、平面ABC、平面ABD或平面 ABCD. (2)图中,AAB,BAB,CAB, (3)图中,EEF,EAB,则ABEF=E. EF,EF,则=EF. 课前篇自主预习 二、空间中点与直线、直线与直线的位置关系 1.思考 同一个平面内的两条直线,如果不相交,就一定平行.这一结论可以 推广到空间中的两条直线吗? 提示:不能,还存在异面的情况,即不同在任何一个平面内的两条直 线叫做异面直线. 课前篇自主预习 2.填空 (1)空间中点与直线的位置关系. (2)空间中直线与直线的位置关系. 课前篇自主预习 温馨提示:不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线. 如图所示, 虽然有a,b,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为ab=O, 所以a与b不是异面直线. 课前篇自主预习 3.做一做 (1)判断正误. 没有公共点的两条直线是平行直线. ( ) 互相垂直的两条直线是相交直线. ( ) 既不平行又不相交的两条直线是异面直线. ( ) 不在同一平面内的两条直线是异面直线. ( ) 解析:异面直线既不平行,也不相交,故错误.正确;互相垂直不一 定相交,因为有异面垂直,故错误;不在同一平面内的两条直线相 交、平行或异面,故错误. 答案: 课前篇自主预习 (2)若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是() A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 解析:若直线a和b共面,则由题意可知ab;若a和b不共面,则由题意 可知a与b是异面直线. 答案:D 课前篇自主预习 (3)一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关 系是() A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 解析:如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AA1与BC是异面直线, 又AA1BB1,AA1DD1, 显然BB1BC=B,DD1与BC是异面直线. 答案:B 课前篇自主预习 三、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 1.思考 (1)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义 吗? 提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况; 而后者仅指直线与平面平行. (2)分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系? 提示:这两条直线没有公共点,故它们的位置关系是平行或异面. 课前篇自主预习 2.填空 (1)直线在平面内 不难看出,图中,点A,B确定的直线l上的所有点都在平面内,这称为 直线l在平面内(或平面过直线l),记作l; (2)直线在平面外 直线m上至少有一个点不在平面内,这称为直线m在平面外,记作 m;图中的m与有且只有一个公共点(称为直线m与平面相交), 一般简写为m=B. 课前篇自主预习 (3)直线与平面平行 一般地,如果l是空间中的一条直线,是空间中的一个平面,则l 与l=有且只有一种情况成立.而且,当l时,要么l,要么l与 只有一个公共点;当l=时,称直线l与平面平行,记作l. (4)平面与平面相交 如图与有公共点,这称为平面与平面相交,记作. 更进一步可以看出,一个点是与的公共点,当且仅当这个点在直 线k上,这可记作=k. 课前篇自主预习 (5)平面与平面平行 如果与是空间中的两个平面,则与=有且只有一种情 况成立.而且,当时,与的公共点组成一条直线;当=时, 称平面与平面平行,记作. (6)直线与平面的位置关系列表比较 课前篇自主预习 温馨提示:一般地,直线a在平面内时,应把直线a画在表示平面的 平行四边形内,切勿画出来;直线a与平面相交时,应画成直线a与平 面只有一个公共点,被平面遮住的部分画成虚线或不画; 直线a与平面平行时,应画成直线a与表示平面的平行四边形的一 条边平行,并画在表示平面的平行四边形外. 课前篇自主预习 (7)两个平面的位置关系列表比较 温馨提示:画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平 行四边形的对应边平行,两个平行四边形上下放置. 课前篇自主预习 3.做一做 (1)判断正误. 若直线l上有无数个点不在平面内,则l. ( ) 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这 个平面平行. ( ) 若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没有公共 点. ( ) 解析:中当直线l与平面相交时,也满足条件,但此时l不平行于, 不正确,中有另一条在这个平面内的情况,不正确,正确. 答案: 课前篇自主预习 (2)若M平面,M平面,则与的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 解析:因为M,M,所以与相交于过点M的一条直线. 答案:B (3)空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有 条. 解析:空间三个平面两两相交,则有一条交线或三条交线,三条交线 平行或相交于一点. 答案:1或3 课前篇自主预习 四、直线与平面垂直 1.思考 鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有 关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁 班对矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查 一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反 的方向)检查两次,如图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒 和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直. 课前篇自主预习 问题1:用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗? 提示:不能. 问题2:上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么? 提示:直线垂直于平面内的两条相交直线. 问题3:若直线垂直于平面内的无数条直线,直线与平面垂直吗? 提示:不一定. 课前篇自主预习 2.填空 (1)直线与平面垂直的定义 自然语言:一般地,如果直线l与平面相交于一点A,且对平面内 的任意一条过点A的直线m,都有lm,则称直线l与平面垂直(或l是 平面的一条垂线,是直线l的一个垂面),记作l. 其中,点A称为垂足. 图形语言:如图. 画直线l与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形 的一边垂直. 符号语言:任意a,都有lal. 课前篇自主预习 (2)投影、点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面之间 的距离的定义 给定空间中一个平面及一个点A,过A可以作而且只可以作平面 的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面内的射影(也称为投 影),线段AB为平面的垂线段,AB的长为点A到平面的距离. 特别地,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为 这条直线到这个平面的距离;当平面与平面平行时,一个平面上任 意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离. 课前篇自主预习 3.做一做 直线l平面,直线m,则l与m不可能() A.平行 B.相交C.异面D.垂直 解析:直线l平面,l与相交, 又m,l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知lm. 故l与m不可能平行. 答案:A 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 文字、图形、符号三种语言的转化 例1用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面,相交于一点P,且平面与平面交于PA,平面与平 面交于PB,平面与平面交于PC; (2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC. 解:(1)符号语言表示:=P,=PA,=PB,=PC. 图形表示:如图所示. (2)符号语言表示:平面ABD平面BCD=BD,平面ABC平面 ADC=AC.图形表示:如图所示. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 反思感悟学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能. 要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能 用“”或“”,直线与平面间的位置关系只能用“”或“”.由图形语 言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 变式训练1(1)若点M在直线a上,a在平面内,则M,a,间的关系可记 为. (2)根据右图,填入相应的符号:A平面ABC,A 平面BCD,BD平面ABC,平面ABC平面ACD= . (3)根据下列条件画出图形:平面平面=MN,ABC的三个顶点满 足条件AMN,B,BMN,C,CMN. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 解:(1)Ma,a,M (2)AC (3)如图所示. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 空间两条直线位置关系的判定 例2已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置 关系?并画图说明. 解:直线a与c的位置关系有三种情况. 直线a与c可能平行,如图;可能相交,如图;可能异面,如图. 反思感悟判定两条直线位置关系的方法 判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用平面 几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连接平 面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是 异面直线来判断. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 变式训练2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系: (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是; (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是; (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是; (4)直线AB与直线B1C的位置关系是. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 解析:对于(1),因为A1D1B1C1,B1C1BC,所以A1D1BC,即四边形 A1D1CB为平行四边形,所以A1BD1C. 对于(2),因为直线A1B平