（2021新人教B版）高中数学必修第四册素养突破第10章 复数 （课件+课堂检测+课时素养评价）.zip

第十章复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 1.虚数单位 为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1,即称i为虚数单位. 2.复数的概念 当a与b都是实数时,称a+bi为复数. 3.复数的表示 复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,bR),其中a称为z的实部,b称为z的虚部,分别记作Re(z)=a, Im(z)=b. 4.复数集 所有复数组成的集合称为复数集,复数集通常用大写字母C表示,因此C=z|z=a+bi,a,bR. 5.复数的分类 【思考】 (1)两个复数一定能比较大小吗? 提示 :不一定 ,只有当这两个复数都是实数时,才能比较大小 . (2)复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示 :不一定 ,对于复数 z=a+bi(a,bR),实部才是 a,虚部才是 b. 6.复数相等的充要条件 两个复数z1与z2,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作z1=z2.这就是说,如果a,b,c,d都是实数,那么 a+bi=c+dia=c,且b=d; 特别地,当a,b都是实数时, a+bi=0a=0,且b=0. 【思考】 若复数z1,z2为z1=3+ai(aR),z2=b+i(bR),且z1=z2,则a+b的值为多少? 提示 :4. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.() (2)若a为实数,则z=a一定不是虚数.() (3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.() 提示 :(1).当b=0时,z=a+bi为实数 . (2). (3).如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,则这两个复数的实部和虚部分别相等,则这两个复数相等. 2.若复数2-bi(bR)的实部与虚部互为相反数,则b的值为() 【解析 】选D.复数 2-bi的实部为 2,虚部为 -b,由题意知 2=-(-b),所以 b=2. 3.若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为() A.1B.1或-4C.-4D.0或-4 【解析 】选C.易知 解得 a=-4. 10.1.2复数的几何意义 1.复平面 (1)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面. (2)实轴和虚轴:在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为实轴,y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为 了方便起见,称y轴为虚轴. 2.复数的几何意义 【思考】 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗? 提示 :不是 . (2)象限内的点与复数有何对应关系? 提示 :第一象限的复数特点:实部为正 ,且虚部为正 ; 第二象限的复数特点:实部为负 ,且虚部为正 ; 第三象限的复数特点:实部为负 ,且虚部为负 ; 第四象限的复数特点:实部为正 ,且虚部为负 . 3.共轭复数 (1)定义:如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数, 则称这两个复数互为共轭复数. (2)表示方法:复数z的共轭复数用表示.即如果z= a+bi,那么=a-bi. (3)几何意义:在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称, 则这两个复数互为共轭复数. 4.复数的模 (1)定义:向量=(a,b)的长度称为复数z=a+bi的模 (或绝对值),复数z的模用|z|表示,因此|z|=_. 如果b=0,|z|=|a|. (2)共轭复数的模的关系:两个共轭复数的模相等,即 |z|=|. 【思考】 复数的模的几何意义是什么? 提示 :复数 z在复平面内对应的点为Z,复数 z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于 0的常数 ,则:满足条件 |z|=r的点 Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆 , |z|r表示圆的外部 ;满足条件 |z-z0|=r的点 Z的轨迹为以 Z0为圆心 ,r为半径的圆 ,|z-z0|r表示圆的外部 . 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.() (2)复数的模一定是正实数.() (3)若|z1|=|z2|,则z1=z2.() 提示 :(1). (2).复数 0的模是 0. (3).反例 :|1-2i|=|1+2i|,但1-2i1+2i. 2.复数z=-1+3i(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 【解析 】选C.复数 z=-1+3i的共轭复数是 -1-3i,对应的点为 (-1,-3),在第三象限 . 3.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=_. 【解析 】|z|= 答案 : 10.2复数的运算 10.2.1复数的加法与减法 复数的加、减法法则及几何意义与运算律 z1,z2,z3C,设 分别与复数z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,dR)相对应,且 不共线 加法减法 运算 法则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i z1-z2=(a-c)+(b- d)i 几何 意义复数的和z1+z2与向量 的坐标 对应 复数的差z1-z2与向 量 的坐标对应 加法减法 运算律 交换律z1+z2=z2+z1 结合律 (z1+z2)+z3=z1+ (z2+z3) 【思考】 (1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? 提示 :是复数 ,唯一确定 . (2)若复数z1,z2满足z1-z20,能否认为z1z2? 提示 :不能 ,例如可取 z1=3+2i,z2=2i. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)复数与向量一一对应. () (2)复数与复数相加减后结果只能是实数.() (3) 复数的减法不满足结合律,即(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3)可能不成立.() 提示 :(1).复数与以原点为起点的向量一一对应. (2).复数与复数相加减后结果是复数. (3).复数的减法满足结合律. 2.复数(1-i)-(2+i)+3i等于 () A.-1+iB.1-i C.iD.-i 【解析 】选A.原式 =1-i-2-i+3i=-1+i. 3.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 【解析 】选D.因为 z1-z2=5-7i,所以 z1-z2在复平面内对应的点位于第四象限. 10.2.2复数的乘法与除法 1.复数代数形式的乘法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),称z1z2(或z1z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd) +(ad+bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3C,有 交换律z1z2=z2z1 结合律(z1z2)z3=z1(z2z3) 分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 【思考】 在进行复数的乘法运算时,多项式运算中的完全平方公式:(ab)2=a22ab+b2, 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2是否还适用? 提示 :仍然适用 .但运算结果中的 i2要化为 -1. 3.复数代数形式的除法法则 (1)如果z20,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商, 并记作z=(或z=z1z2),z1称为被除数,z2称为除数. (2)一般地,给定复数z0,称为z的倒数,z1除以z2 的商也可以看成z1与z2的倒数之积.显然,利用“分 母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数,以及任 意两个复数的商(除数不能为0). 【思考】 类比根式除法的分母有理化,比如 你能写出复数的除法法则吗? 提示 :设z1=a+bi,z2=c+di(c+di0),则 4.实系数一元二次方程在复数范围内总有解. 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cR,a0) (1)0时,两个实根. (2)0时,两个共轭虚数根:且满足根 与系数关系,即 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)若z1,z2C,且=0,则z1=z2=0.() (2)两个共轭虚数的积是实数.() (3)两个虚数的商还是虚数.() 提示 :(1).反例 :如z1=1,z2=i,满足 =0,但不满 足z1=z2=0. (2).z=a+bi(a,bR,b0),=a2+b2R. (3).两个虚数的商也可能是实数,如2ii=2. 2.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z等于 () A.-iB.iC.-1D.1 【解析 】选A.z=-i. 3.计算:(2-i)(1+i)=_. 【解析 】(2-i)(1+i)=2-i2+i=3+i. 答案 :3+i 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 关键能力关键能力素养形成素养形成 类型一复数的概念 【典例】已知下列命题: 复数 a+bi 不是实数;当 zC 时,z20; 若(x2-4)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,则实数 x=2; 若复数 z=a+bi,则当且仅当 b0 时,z 为虚数; 若 a,b,c,dC 时,有 a+bi=c+di,则 a=c 且 b=d.其中真命题的个数是 _. 【思维引】根据复数的相关概念进行判断. 【解析】根据复数的有关概念判断命题的真假.是假命题,因为当 aR 且 b=0 时,a+bi 是实数.是假命题,如当 z=i 时,则 z2=-10,求实数 x 的值. 3 - 1 【解析】因为 z0,所以 zR,所以 x2-4x+3=0, 解得 x=1 或 x=3. 因为 z0,所以-x0,且 x2-4x+3=0. 3 - 1 对于不等式-x0,x=1 满足, 3 - 1 x=3 不满足,故 x=1. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 关键能力关键能力素养形成素养形成 类型一复数的模 【典例】设 z 为复数,且|z|=|z+1|=1,求|z-1|的值. 【思维引】设 z=a+bi(a,bR),解方程求 a,b,可求|z-1|的值. 【解析】设 z=a+bi(a,bR). 因为 z+1=(a+1)+bi,且|z|=|z+1|=1, 所以即 2+ 2 = 1, ( + 1)2+ 2 = 1, ? 2+ 2 = 1, ( + 1)2+ 2 = 1, ? 即解得 2+ 2 = 1, 2+ 2+ 2 = 0, ? = - 1 2, 2= 3 4, ? 所以|z-1|=|(a+bi)-1|= ( - 1)2+ 2 =. ( - 1 2 - 1 ) 2 + 3 43 【类题通】 复数模的计算 (1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式计算.虽然两 个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解. 【习练破】 (2019沈阳高二检测)设复数 z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若 z1=1-2i,则的虚部为() 2 | 1| A.-B.-C.D.- 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 【解析】选 B.因为 z1=1-2i,复数 z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,所以 z2=-1-2i,所以=-i,其虚部为-. 2 | 1| - 1 - 2 12+ ( - 2)2 - 1 - 2 5 5 5 2 5 5 2 5 5 【加练固】 已知复数 z=1-2mi(mR),且|z|2,则实数 m 的取值范围是_. 【解析】由|z|=2,解得-m. 1 + 42 3 2 3 2 答案: - 3 2 , 3 2 类型二复平面的应用 【典例】求实数 a 分别取何值时,复数 z=+(a2-2a-15)i(aR)对应 2- - 6 + 3 的点 Z 满足下列条件: (1)在复平面的第二象限内. (2)在复平面内的 x 轴上方.世纪 【思维引】(1)一个复数在复平面内的第二象限,则实部小于 0,虚部大于 0. (2)一个复数在复平面内的 x 轴上方,则虚部大于 0. 【解析】(1)点 Z 在复平面的第二象限内, 则解得 a-3. 2- - 6 + 3 0, ? (2)点 Z 在 x 轴上方,则 2- 2 - 15 0, + 3 0, ? 即(a+3)(a-5)0,解得 a5 或 a-3. 【内化悟】 如何判断复数的实部、虚部的取值? 提示:按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系,每一个复数 都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就 可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值. 【类题通】 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数 z=a+bi(a,bR)可以用复平面内的点 Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据. (2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或 不等式(组)求解. 【习练破】 在复平面内,z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i(mR). (1)若复数 z 的对应点在虚轴上,求 z. (2)若复数 z 的对应点在实轴负半轴上,求复数 z. 【解析】(1)若复数 z 的对应点在虚轴上, 则 m2-m-2=0,所以 m=-1 或 m=2,当 m=2 时,z=0;当 m=-1 时,z=6i,所以 z=0 或 z=6i. (2)若复数 z 的对应点在实轴负半轴上, 则所以 m=1,所以 z=-2. 2- - 2 0, 2- 3 + 2 = 0, ? 【加练固】 已知 z=m-1+(m+2)i 在复平面内对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范 围是() A.(-1,2) B.(-2,1) C.(1,+)D.(-,-2) 【解析】选 B.因为 z=m-1+(m+2)i 在复平面内对应的点在第二象限,所以 m- 10,解得-2m1,则实数 m 的取值范围是(-2,1). 类型三复数模的几何意义 【典例】设 zC,在复平面内对应点 Z,试说明满足下列条件的点 Z 的集合是什 么图形. (1)|z|=3;(2)1|z|2.世纪 【思维引】根据复数模的几何意义,即复数的模就是复数对应的点到原点的 距离. 【解析】(1)|z|=3,说明向量的长度等于 3,即复数 z 在复平面内对应的点 Z 到原点的距离为 3,这样的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,3 为半径的圆. (2)不等式 1|z|2 可以转化为不等式组 | 2, | 1. ? 不等式|z|2 的解集是圆|z|=2 及该圆内部所有点的集合.不等式|z|1 的解 集是圆|z|=1 及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集,就是满足条件 1|z|2 的点的集合.如图中的阴影部分, 所求点的集合是以 O 为圆心,以 1 和 2 为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环 的边界. 【类题通】 解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点: 一是|z|表示点 Z 到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点 Z 的集合表示的 图形; 二是利用复数的模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决. 【习练破】 若复数 z 满足|z|,则 z 在复平面所对应的图形的面积为_. 2 【解析】满足|z|的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以为半径的圆及其 22 内部所有的点构成的集合,所以所求图形的面积为 S=2. 答案:2 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 关键能力关键能力素养形成素养形成 类型一复数的加、减运算 【典例】(1)计算(2+4i)+(3-4i). (2)计算(-3-4i)+(2+i)-(1-5i). 【思维引】根据复数的加法与减法的运算法则计算. 【解析】(1)原式=(2+3)+(4-4)i=5. (2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i. 【类题通】 复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相 加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. (2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后 把实部与实部、虚部与虚部分别相加减. (3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从 左到右依次进行计算. (4)当一个等式中同时含有|z|与 z 时,一般用待定系数法,设 z=x+yi(x,yR). 【习练破】 (1)已知复数 z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若 z1+z2是纯虚数,则实数 a=_. (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=_(a,bR). (3)已知复数 z 满足|z|+z=1+3i,则 z=_. 【解析】(1)由条件知 z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又 z1+z2是纯虚数,所以 解得 a=3. 2- 2 - 3 = 0, 2- 1 0, ? (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i =(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i. (3)设 z=x+yi(x,yR),|z|=, 2+ 2 所以|z|+z=(+x)+yi=1+3i, 2+ 2 所以解得 2+ 2+ = 1, = 3, ? = - 4, = 3, ? 所以 z=-4+3i. 答案:(1)3(2)-a+(4b-3)i(3)-4+3i 类型二复数的加、减运算的几何意义 【典例】如图所示,平行四边形 OABC 的顶点 O,A,C 分别表示 0, 3+2i,-2+4i.求: (1)表示的复数. (2)对角线表示的复数. (3)对角线表示的复数.世纪 【思维引】利用复数的几何意义以及向量的运算求解. 【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i. (2)因为=-,所以对角线表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为对角线=+,所以对角线表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. 【素养探】 在应用复数的几何意义求复数的过程中,经常利用核心素养中的直观想象,一 般是利用复数加法和减法的几何意义,求向量对应的复数或复数对应的向量. 典例的条件不变,求向量表示的复数. 【解析】因为=+,由解析可知,表示的复数为-3-2i,表示的复数为 1+6i,所以向量表示的复数为(-3-2i)+(1+6i)=-2+4i. 【类题通】 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数 z=a+bi(a,bR)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可 能改变. 【习练破】 (2020合肥高二检测)已知复平面内的平面向量,表示的复数分别是- 2+i,3+2i,则|=_. 【解析】因为=+, 所以表示的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i, 所以|=. 12+ 3210 答案: 10 【加练固】如果一个复数与它的模的和为 5+i,那么这个复数是 3 _. 【解析】设这个复数为 x+yi(x,yR), 所以 x+yi+=5+i, 2+ 23 所以所以 + 2+ 2 = 5, = 3, ? = 11 5 , = 3, ? 所以 x+yi=+i. 11 53 答案:+i 11 53 类型三复数模的最值问题 【典例】若复数 z 满足|z+i|1,求|z|的最大值和最小值. 3 世纪 【思维引】利用不等式|z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2|求解. 【解析】因为|z+i|z|-|+i|, 33 又|z+i|1,所以|z|-|+i|1, 33 即|z|-2|1,解得 1|z|3, 即|z|的最大值为 3,最小值为 1. 【类题通】 在涉及复数的模的最值或范围问题时,经常使用的不等式有两个: (1)|z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2|. (2)|z1|-|z2|z1-z2|z1|+|z2|. 【习练破】 已知|z|=1 且 zC,求|z-2-2i|(i 为虚数单位)的最小值. 【解析】因为|z-2-2i|z|-|2+2i|=|1-2|=2-1, 22 所以|z-2-2i|(i 为虚数单位)的最小值为 2-1. 2 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 关键能力关键能力素养形成素养形成 类型一复数的乘法 【典例】计算下列各题. (1)(1-i)(1+i)+(-1+i). (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. (3)(1-2i)(3+4i)(-2+i). 【思维引】根据复数乘法的运算法则计算,注意应用乘法公式. 【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i) =1-i2-1+i=1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i. (3)(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i)=-20+15i. 【类题通】 1.两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开. (2)再将 i2换成-1. (3)然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式. 2.常用公式 (1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,bR). (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,bR). (3)(1i)2=2i. 【习练破】 计算:(1+i) ( - 1 2 + 3 2 )( 3 2 + 1 2) 【解析】(1+i) ( - 1 2 + 3 2 )( 3 2 + 1 2) =(1+i) ( - 3 4 - 3 4 ) + ( 3 4 - 1 4) =(1+i) ( - 3 2 + 1 2) =+i ( - 3 2 - 1 2) ( 1 2 - 3 2 ) =-+i. 1 +3 2 1 - 3 2 类型二复数的除法 【典例】计算: (1). (1 + )(4 + 3) (2 - )(1 - ) (2). 世纪 (1 - 4)(1 + ) + 2 + 4 3 + 4 【思维引】分母实数化可得运算结果. 【解析】(1)方法一:= (1 + )(4 + 3) (2 - )(1 - ) 1 + 7 1 - 3 = (1 + 7)(1 + 3) 10 =-2+i. 方法二:= (1 + )(4 + 3) (2 - )(1 - ) ( 1 + 1 - )( 4 + 3 2 - ) = (4 + 3)(2 + ) 5 ( - 3 + 4)(2 + ) 5 =-2+i. - 10 + 5 5 (2)= (1 - 4)(1 + ) + 2 + 4 3 + 4 5 - 3 + 2 + 4 3 + 4 = 7 + 3 + 4 (7 + )(3 - 4) (3 + 4)(3 - 4) =1-i. 21 - 28 + 3 + 4 25 25 - 25 25 【类题通】 复数乘除法的计算技巧 (1)按照复数的乘法法则,三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算 或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致,在计算时,若符合乘法公 式,则可直接运用公式计算. (2)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实 数化”,这个过程与“分母有理化”类似. 【习练破】 1.(2019全国卷)设 z=,则|z|= () 3 - 1 + 2 A.2B.C.D.1 32 【解析】选 C.因为 z=,所以 z= - i,所以|z|= 3 - 1 + 2 (3 - )(1 - 2) (1 + 2)(1 - 2) 1 5 7 5 = ( 1 5) 2 + ( - 7 5) 2 ,故选 C. 2 2.(2019安阳高二检测)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 是虚数单位),则 z 为 () A.3+5iB.3-5i C.-3+5iD.-3-5i 【解析】选 A.因为 z(2-i)=11+7i,所以 z= 11 + 7 2 - (11 + 7)(2 + ) (2 - )(2 + ) =3+5i. 15 + 25 5 类型三i 的运算性质 【典例】计算:(1)+. 2 + 2 (1 - )2 ( 2 1 + ) 2 020 (2)i+i2+i2 021.世纪 【思维引】利用 i 的乘方的周期性计算. 【解析】(1)原式=+ 2(1 + ) - 2 ( 2 2) 1 010 =i(1+i)+(-i)1 010=i+i2+(-1)1 010i1 010 =i-1+i4252+2=i-1-1=i-2. (2)方法一:原式= (1 - 2 021) 1 - - 2 022 1 - = - (4)505 2 1 - + 1 1 - =i. (1 + )(1 + ) (1 - )(1 + ) 2 2 方法二:因为 in+in+2+in+3=in(1+i+i2+i3)=0(nN*), + 1 所以原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+(i2 017+i2 018+i2 019+i2 020)+i2 021 =i2 021=(i4)505i=1505i=i. 【类题通】 i 的运算性质的应用 (1) i 的周期性要记熟,即 in+in+1+in+2+in+3 =0(nN*). (2)记住以下结果,可提高运算速度 (1+i)2=2i,(1-i)2=-2i; =-i,=i; =-i. 1 - 1 + 1 + 1 - 1 【习练破】i2 021= () A.iB.-1C.-iD.1 【解析】选 A.i2 021=ii2 020=i=i. ( 4)505 类型四实系数一元二次方程在复数范围内的解集 【典例】(1)若 1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根,则 2 () A.b=2,c=3B.b=-2,c=3 C.b=-2,c=-1D.b=2,c=-1 (2)已知关于 x 的方程 x2+(k+2i)x+2+ki=0 有实数根,则实数 k 的值为_. 世纪 【思维引】(1)利用根与系数的关系求解; (2)设方程的实数根,利用复数相等的条件求解. 【解析】(1)选 B.实系数方程虚根成对,所以 1-i 也是一根,所以 b=- 2 2,c=1+2=3. (2)设 x0是方程的实数根,代入方程并整理得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0. 2 0 由复数相等的充要条件得 2 0 + 0+ 2 = 0, 20+ = 0, ? 解得或 0= 2, = - 2 2,? 0 = - 2, = 2 2, ? 所以 k 的值为-2或 2. 22 答案:2 2 【类题通】 解决实系数一元二次方程问题的注意点 (1)和在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,根与系 数的关系和求根公式仍然适用,但是判别式判断方程根的功能就发生改变了. (2)解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件. 【习练破】 已知 a,bR,且 2+ai,b+i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根,求 p,q 的值. 【解析】由根与系数的关系可得即 (2 + ) + ( + ) = - , (2 + )( + ) = , ? = - (2 + ) - ( + 1), = 2 - + (2 + ), ? 因为 p,q 均为实数,所以 - ( + 1) = 0, 2 + = 0, ? 解得从而有 = - 1, = 2, ? = - 4, = 5. ? 【加练固】已知复数 z1满足 z1-4=(3-2z1)i(i 为虚数单位),z=+|z1-2|,求 5 1 一个以 z 为根的实系数一元二次方程. 【解析】由题意,得 z1(1+2i)=4+3i,所以 z1=2-i,所以 z=+|- 4 + 3 1 + 2 5 2 - i|=3+i. 若实系数一元二次方程有虚根 z=3+i, 则必有共轭虚根 =3-i.因为 z+ =6,z =10, 所以所求的一个实系数一元二次方程可以是 x2-6x+10=0. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.已知复数 z=a2-(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则实数 a,b 的值分别是 () A.,1B.,5 22 C.,5D.,1 22 【解析】选 C.令得 a=,b=5. 2 = 2, - 2 + = 3, ? 2 2.下列复数中,满足方程 x2+2=0 的是 () A.1B.iC.iD.2i 2 【解析】选 C.因为 x2+2=0,所以 x2=-2,所以 x=i. 2 3.下列命题正确的是() A.若 aR,则(a+1)i 是纯虚数 B.若 a,bR 且 ab,则 a+ib+i C.若 x2+(x2+x)i 是纯虚数,则实数 x=0 D.两个虚数不能比较大小 【解析】选 D.在 A 中,若 a=-1,则(a+1)i 不是纯虚数,故 A 错误; 在 B 中,两个虚数不能比较大小,故 B 错误; 在 C 中,若 x=0,不成立,故 C 错误;D 正确. 4.在下列几个命题中,正确命题的个数为 () 两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等; 两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等; 1-ai(aR)是一个复数; 虚数的平方不小于 0; -1 的平方根只有一个,即为-i; i 是方程 x4-1=0 的一个根; i 是一个无理数. 2 A.3 个B.4 个C.5 个D.6 个 【解析】选 B.命题正确,错误. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.已知 0a2,复数 z=a+i(i 是虚数单位),则|z|的取值范围是 () A.(1,)B.(1,) 35 C.(1,3)D.(1,5) 【解析】选 B.|z|=,因为 0a2,所以 1a2+15,所以|z|(1,). 2+ 15 2.当 m1 时,复数 z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面上对应的点位于() 2 3 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 【解析】选 D.因为 m0,m-10,所以点(3m-2,m-1)在第四象限. 2 3 3.在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B,若 C 为线段 AB 的中点,则 点 C 对应的复数是() A.4+8iB.8+2i C.2+4iD.4+i 【解析】选 C.复数 6+5i 对应的点为 A(6,5),复数-2+3i 对应的点为 B(-2,3). 利用中点坐标公式得线段 AB 的中点 C(2,4),故点 C 对应的复数为 2+4i. 4.若复数 z=(m-2)+(m+1)i 为纯虚数(i 为虚数单位),其中 mR,则|z|=_. 【解析】复数 z=(m-2)+(m+1)i 为纯虚数(i 为虚数单位),所以 m-2=0 且 m+10,解 得 m=2,所以 z=3i,所以|z|=3. 答案:3 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.若复数 z 满足 z+i-3=3-i,则 z 等于 () A.0B.2iC.6D.6-2i 【解析】选 D.z=3-i-(i-3)=6-2i. 2.复数 z1=3+i,z2=-1-i,则 z1-z2等于 () A.2B.2+2i C.4+2iD.4-2i 【解析】选 C.z1-z2=4+2i. 3.设 z1=2+bi,z2=a+i,当 z1+z2=0 时,复数 a+bi 为() A.1+iB.2+i C.3D.-2-i 【解析】选 D.由得所以 a+bi=-2-i. 2 + = 0, + 1 = 0,? = - 2, = - 1, ? 4.在复平面内,O 是原点,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么 对应的复数为_. 【解析】=-=-(+) =3+2i-(-2+i+1+5i)=(3+2-1)+(2-1-5)i =4-4i. 答案:4-4i 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.已知=1+i(i 为虚数单位),则复数 z 等于() (1 - )2 A.1+iB.1-i C.-1+iD.-1-i 【解析】选 D.因为=1+i, (1 - )2 所以 z=-1-i. (1 - )2 1 + - 2 1 + - 2(1 - ) 2 2.(2019铜陵高二检测)若复数 z 满足(1+i)z=|+i|,则在复平面内, 对应 3 的点位于 () A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 【解析】选 A.由题意,得 z=1-i,所以 =1+i, ( 3)2+ 12 1 + 2(1 - ) (1 + )(1 - ) 其在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,故选 A. 3.方程 x2+6x+13=0 的一个根是() A.-3+2iB.3+2i C.-2+3iD.2+3i 【解析】选 A.=36-413=-16,所以 x=-32i. - 6 - 16 2 4.设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若 z=,则 =_. 23 1 + 【解析】z=-1-i, 23 1 + - 2(1 - ) (1 + )(1 - ) 所以 =-1+i. 答案:-1+i 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，答案解析附后。关闭看比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课时素养评价课时素养评价 七七 复数的乘法与除法复数的乘法与除法 (25 分钟50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16